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    探析數(shù)學(xué)解題中無處不在的導(dǎo)數(shù)

    2018-10-16 02:59鄧澤宇
    環(huán)球市場信息導(dǎo)報 2018年29期
    關(guān)鍵詞:切線極值最值

    鄧澤宇

    在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中,筆者發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)具有化繁為簡的神奇作用,可快速解決多種復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題,其也是高考重點考核內(nèi)容之一。本文基于對導(dǎo)數(shù)概念的理解,分析導(dǎo)數(shù)在函數(shù)問題、不等式、線切和幾何等問題的具體應(yīng)用,希望能給廣大讀者提供一些新的解題思路。

    導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中有重要位置,在多種題型中都可以應(yīng)用。作為高中生的我們往往因為對公式記憶不敏感、無法準(zhǔn)確理解習(xí)題中的信息點而導(dǎo)致解題過程中出現(xiàn)困難。為更好的發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的解題價值,我們需要對其定義與概念進行深入理解,從而分析其在各種習(xí)題中的運用方式。

    一、對導(dǎo)數(shù)的理解

    導(dǎo)數(shù)作為數(shù)學(xué)微積分的基礎(chǔ)內(nèi)容,在相關(guān)計算過程中,自變量的增加或趨向為零時,因變量本身的增量為自變量增量之間的極限值。若一個函數(shù)中有導(dǎo)數(shù)的存在時,可以稱其為可導(dǎo)或可微分,導(dǎo)數(shù)存在的函數(shù)一定是具有連續(xù)性的,同樣如果不具有連續(xù)性的函數(shù)絕對是不可導(dǎo)函數(shù)。導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是求極限值的過程,而導(dǎo)數(shù)的四則運算法則,大多數(shù)來自于極限值的運算規(guī)律。高中階段如果熟練掌握導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識點,會在很多數(shù)學(xué)問題起到推進作用,尤其是解決曲線方程或函數(shù)等一類的問題,效果更是十分顯著。

    二、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)問題中的運用

    (一)單調(diào)性的判斷

    合理的運用導(dǎo)數(shù),其方法本身就能夠提高判斷函數(shù)單調(diào)性與值域的效率。在判斷函數(shù)單調(diào)性的日勺候,可以通過利用導(dǎo)數(shù)來進行處理,利用導(dǎo)數(shù)符號來對函數(shù)增加或減弱進行評判,這也是奧數(shù)里結(jié)合相關(guān)意義來研究曲線變化規(guī)律時其中一種方式。基于這一角度來說,它可以對數(shù)形結(jié)合本身的概念與思想進行充分表達。在判斷函數(shù)單數(shù)性的時候,比較常用的方法是“定義法”。例如:求f(x)=X3-3x函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間。通過分析,首先對函數(shù)f(x)求導(dǎo),并得出不等式f(x)>0以及f(x)<0的解,f(x)>0的解為增區(qū)間,而f(x)<0的解為減區(qū)間。根據(jù)對函數(shù)定義的理解,并根據(jù)上述分析可知f(X)=x3-3x得f(x)=3x-3=3(x+1)(x-1),由此可得出上述函數(shù)單調(diào)增區(qū)間是(-∞,-1)以及(1,+∞),以此得出-10,則在區(qū)間中函數(shù)f(x)為單調(diào)遞增,其切點斜率增大函數(shù)呈現(xiàn)上升趨勢。若在(a,b)內(nèi),f(x)<0,則該函數(shù)單調(diào)遞減,故f(x)=0有極大值或極小值。

    (二)最值與極值的區(qū)分

    在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用時,最值也是常用問題,其作為高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中的關(guān)鍵難點,在解決該問題時常常需要多種技能,結(jié)合對應(yīng)合理的解題方式。而利用導(dǎo)數(shù)解決最值問題時,可將繁瑣的解題步驟逐步簡化,使解題過程更加清晰明確,有利于我們對于知識點掌握。

    例如:求函數(shù)f(x)=x2-x+1在區(qū)間[-3,0]上的最值,運用導(dǎo)數(shù)計算可知函數(shù)y=x2-x+1,y=2x-1,令y=0,所以x=1/2,f(-3)=13,f(1/2)=3/4,f(0)=1,得出在區(qū)間內(nèi)最大值為13,最小值為3/4。

    例2:函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值是M,最小值是m,若M=m,則f(X)是否等于零,由題可知M=m,所以y=f(x)是常數(shù)函數(shù),得出f(X)=0。

    在相關(guān)內(nèi)容學(xué)習(xí)時,有部分同學(xué)會對相似的數(shù)學(xué)概念有所混淆。例如:平均與瞬間兩手凌化率,有同學(xué)常常以為函數(shù)在其中一點的導(dǎo)數(shù)值就是瞬間速率,而在函數(shù)問題中,極值與最值的概念也常常分不清,將最值當(dāng)做極值,忽略其區(qū)間的限制,從而導(dǎo)致解題的失敗。如果f(x)在[a,b]中最值時從(a,b)中可取,則最值就是極值,但是最值也可能在[a,b]的兩端a,b上得到。

    [1]例如:函數(shù)f(x)=x4-4x(|x|<1),求是否有最值,通過導(dǎo)數(shù)運算得f(x)= 4x3-4=4(x-1)(x2+x+1),則f(x)=0,得x=1。又x∈(-1,1),可知該方程無解,故函數(shù)f(x)在(-1,1)上既無極值也無最值。最值與極值是不同概念,除了掌握定義,還需要強化我們的歸納推理能力,加強對公式的理解。(王明權(quán).淺析高中導(dǎo)數(shù)教學(xué)[J].亞太教育,2016(03):45.)

    三、導(dǎo)數(shù)對于不等式與實際問題的解決

    (一)利用導(dǎo)數(shù)求證不等式

    在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,函數(shù)與不等式都是較為常見的題型,而且通過對近幾年來考試內(nèi)容的分析與判斷,相關(guān)題型逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)榫C合題,兩種題型之間關(guān)系也轉(zhuǎn)變的更加密切,例如:證明不等式f(x)>g(x)時,可利用M(x)=f(x)-g(x)為輔助函數(shù)來對M(X)進行求導(dǎo),以此來判斷M(x)大于0或小于0,從而對M(x)單調(diào)性進行判斷,對不等式f(x)>g(x)進行證明。通過上述案例可發(fā)現(xiàn),在相應(yīng)問題中可以直接通過導(dǎo)數(shù)方式來對不等式問題進行求證,導(dǎo)數(shù)求證方法通常適用于可成立于某區(qū)間的不等式。

    (二)實際問題中導(dǎo)數(shù)的運用

    在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,會遇到許多與生活有關(guān)的習(xí)題,如這道較實際的問題:某種圓柱形的飲料罐的容積一定時,如何確定它的高與底半徑,使得所用材料最節(jié)???在解決此問題時,首先要將問題中的未知量用字母來代替,設(shè)圓柱的高為h,底面半徑為R。根據(jù)圓柱體的表面積公式s(R)=2πRh+2πR2及圓柱體積公式V=πR2h(定值),經(jīng)過整理、簡化可以得出S只有一個極值,并且使最小值點,從而可知當(dāng)飲料罐的高與底的直徑相等時,所用材料最節(jié)省。所以在解析此類題時,要利用數(shù)形結(jié)合技巧,按照題目考慮其圖像及所用公式,再根據(jù)題目中條件與問題之間的關(guān)系建立關(guān)系式,將文字語言轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)公式來求得最終結(jié)果。(張圣官.導(dǎo)數(shù)——高中數(shù)學(xué)的一個交匯點[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2005(3):28-30.)

    四、導(dǎo)數(shù)在解題時的應(yīng)用

    (一)斜率問題的處理

    高中學(xué)習(xí)時,導(dǎo)數(shù)與物理、幾何、代數(shù)等問題之間又有著密切的關(guān)系,運用導(dǎo)數(shù)運算可以在幾何問題中求線切,在物理學(xué)習(xí)中可以求出速度與加速度。

    以切線問題為例:曲線Y=x4的一條切線q與直線x+4y-8=0垂直,求q的方程,在上述題目中,可以先設(shè)切點為P(X0,Y0),因為直線斜率,所以求得直線斜率為,又因為切線q與直線垂直,所以可知切線的斜率為4,所以Y=x4在點P(X0,Y0)處的導(dǎo)數(shù)為4,在令y|x-x0=4x03=4,可以得出x0=1,y0=1,再根據(jù)點斜式方程y-y0=k(x-x0),可以求出切線q的方程為4x-y-3=0。

    例2:求曲線y=x3+x2+1在P(-1,1)處的切線。本題可以可知點P在曲線上,所以解出y'=3x2+2x,進而可得K=yIx=-1=3-2=1,所以可以得出切線方程為y-1=x+1,即x-y+2=0。因此只要運用導(dǎo)數(shù)運算得出曲線所對應(yīng)的方程式。在切線問題中,導(dǎo)數(shù)可以簡化做題步驟,優(yōu)化學(xué)習(xí)過程。

    (二)生活中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

    在其他領(lǐng)域中,導(dǎo)數(shù)也可以稱作紀(jì)數(shù),不管是經(jīng)濟學(xué)、幾伺學(xué)中很多問題者巨汀以利用導(dǎo)數(shù)來進行學(xué)習(xí),如果想要更準(zhǔn)確的將導(dǎo)數(shù)知識融合在實際問題的解決過程中,首先需要掌握導(dǎo)數(shù)的公式與相關(guān)概念,在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,三角函數(shù)、極值、切線等數(shù)學(xué)問題都可以通過運用導(dǎo)數(shù)辦法來將習(xí)題剖析,逐一梳理原本困難的步驟,將解題過程多樣化,從而提升高中數(shù)學(xué)做題效率,進而提高數(shù)學(xué)成績。在生活問題中也可以利用導(dǎo)數(shù)概念進行分析,從而得到解決方案。例如:常出現(xiàn)求利潤最大、效率最高等問題時,可稱其為優(yōu)化問題或者最值問題,利用導(dǎo)數(shù)定義將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,進而求得函數(shù)中最值。

    綜上所述,掌握導(dǎo)數(shù)的概念并能在習(xí)題中熟練運用可以解開很多有關(guān)函數(shù)的問題,同時對于其他方面的習(xí)題,導(dǎo)數(shù)同樣對其產(chǎn)生著非常積極的作用,如果高中階段能夠順利掌握導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識點,定會在做題過程中起到事半功倍的作用。

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