增加Δ算子的G?del n值命題邏輯系統(tǒng)理論的平均真度

王勇勇，惠小靜

延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000

1 引言

眾所周知，數(shù)理邏輯一直以來都是一種極具形式化的理論，其自身最大的特點(diǎn)就是符號(hào)化，為了攻克這一難題，王國(guó)俊在計(jì)量邏輯學(xué)中，從對(duì)基本概念入手，給出了公式真度的定義[1-2]。為此，眾多研究人員在不同的邏輯系統(tǒng)中投身于真度理論的研究，并取得了豐碩的成果[3-4]。

到目前為止，在關(guān)注度高的邏輯系統(tǒng)中，因?yàn)樵贕?del命題邏輯系統(tǒng)和Goguen命題邏輯系統(tǒng)中否定性太強(qiáng)，因此對(duì)其進(jìn)一步或深入探究遇到了巨大的障礙。為了克服這一難題，研究引入一種新的算子Δ[5-6]，此算子具有去模糊化的特性，即當(dāng)a＜1時(shí)，Δa=0。當(dāng)a=1時(shí)，Δa=1[15]。因此，基本邏輯系統(tǒng)BL在增加了Δ算子后擴(kuò)張為BLΔ系統(tǒng)。現(xiàn)如今，在該系統(tǒng)中增加對(duì)合否定連接詞后，便可形成SBL_，因此在該系統(tǒng)中Δ演繹定理和強(qiáng)完備性定理的成立就顯而易見了，彌補(bǔ)了G?del系統(tǒng)和Goguen系統(tǒng)的不足，從而，使得有關(guān)研究可以成功展開。模糊推理的已知條件均可以轉(zhuǎn)化為模糊命題，最終得到的結(jié)果也是模糊命題，因此推理研究的重點(diǎn)內(nèi)容是對(duì)命題集某個(gè)命題的蘊(yùn)涵關(guān)系。與此同時(shí)，它實(shí)質(zhì)上刻畫的就是模糊命題的真值。因此，時(shí)常將命題和真值同樣對(duì)待。在對(duì)其進(jìn)行探究的實(shí)際過程中，事實(shí)上是對(duì)命題的真值進(jìn)行研究。因此，在模糊推理中，為了實(shí)現(xiàn)模糊到分明的轉(zhuǎn)化，真度作為真值的另一種表現(xiàn)方式，引入Δ這個(gè)特殊算子在這里就顯得尤為重要。

正因?yàn)檫@樣，惠小靜在研究中利用Δ算子的特殊性，提出了增加Δ算子的G?deln值命題邏輯系統(tǒng)的概念，同時(shí)也證明，在此系統(tǒng)里Δ演繹定理與強(qiáng)完備性定理也是成立的，因此也為在此系統(tǒng)中研究計(jì)量邏輯理論提供了可能，而且為日后探究帶有Δ算子的G?deln值命題邏輯系統(tǒng)的其他性質(zhì)提供了突破口[6]。李駿等在邏輯系統(tǒng)中提出了有限理論間的平均真度的概念[7-8]；惠小靜等討論了G?deln值命題邏輯系統(tǒng)的Δ真度，這將為研究增加Δ算子的平均真度奠定基礎(chǔ)[9]。

本文首先給出了增加Δ算子G?deln值命題邏輯系統(tǒng)的平均真度的定義，接著討論了在該系統(tǒng)下平均真度的一些并與交的相關(guān)性質(zhì)，這為以后近一步在該系統(tǒng)中研究平均真度及建立度量空間打下了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

2 預(yù)備知識(shí)

定義1[5]（G?delΔn值命題邏輯系統(tǒng)）在值命題邏輯系統(tǒng)中增加了Δ連接詞，公理是在G?del原有的公理之上增加以下公式：

若L是G?del命題邏輯系統(tǒng)的公理化擴(kuò)張，那么把LΔ稱為L(zhǎng)的擴(kuò)張，其擴(kuò)張方式就如G?del擴(kuò)張為G?delΔ一樣，G?delΔ系統(tǒng)中以下Δ演繹定理成立。

定理1[5]（Δ演繹定理）記L是G?delΔ的公理化擴(kuò)張，那么對(duì)任意理論Γ，公式A和B，有：

定理2[5]（強(qiáng)完備性定理）令L是G?delΔ的公理化擴(kuò)張，那么對(duì)理論Γ和公式A，以下條件等價(jià)：

（2）對(duì)任何一個(gè)L代數(shù)Κ和任意理論Γ的每個(gè)模型e，它們都有e()A=1。

定義3[9]設(shè)公式包括m個(gè)原子公式是公式 ΔA所誘導(dǎo)出的函數(shù)，令：

命題1[9]在G?del系統(tǒng)中，設(shè) A,B,C∈F(S)，則有：

（1）若ΔA是重言式當(dāng)且僅當(dāng)τn(ΔA)=1，ΔA是矛盾式當(dāng)且僅當(dāng)τn(ΔA)=0；

定義4設(shè)Γ為理論，如果Γ全由重言式組成，則稱Γ是完全相容理論；若Γ全由矛盾式組成，則稱Γ是完全不相容理論。

定義5設(shè)Γ是全體理論之集，分別定義一元運(yùn)算?：?！：投\(yùn)算→：?！力！Ｈ缦拢?/p>

注1顯然，如果定義4中的理論都只包含一個(gè)公式時(shí)，則Γ上的?運(yùn)算和→運(yùn)算在F(S)也同樣適用，因此Γ上的?運(yùn)算和→運(yùn)算與F(S)上相應(yīng)運(yùn)算的唯一區(qū)別就是前者范圍更廣，后者是基礎(chǔ)。

注2由上可知可以，在Γ上分別引進(jìn)二元運(yùn)算∨、∧如下：

3 有限理論的平均真度

定義6設(shè)理論 Γ={A1,A2,…,Ak}，令則稱τGn(ΔΓ) 為理論Γ的Δ平均真度。

特別的，當(dāng)Γ只含一個(gè)公式 B時(shí)，τGn(ΔΓ)=

定理3在系統(tǒng)Gn中，設(shè)理論Γ={A1,A2,…,Ak}，則：

（2）同樣由定義6、定義4及命題1的（1）知τGn(ΔΓ)=0當(dāng)且僅當(dāng)，所以都是矛盾式，同理可得Γ是完全不相容理論。

推論1在系統(tǒng)Gn中，設(shè)理論Γ={A1,A2,…,Ak}，則：

證明很顯然由定義3和定義6得到：

例1 在系統(tǒng)G4中，設(shè)Γ1={A1,A2,A3}，且，求 τG4(ΔΓ)1。

解由定義3知：

因此由定義6知：

例2 在系統(tǒng)G4中，設(shè)Γ2={A1,A2,A3}，且 A1=p，，求

解由定義3知：

因此由定義6知：

定理4在系統(tǒng)Gn中，設(shè)理論Γ1={B1,B2,…,Bl}，，則：

證明由定義4、定義6及命題1的（3）可得：

定理5在系統(tǒng)Gn中，設(shè)理論則

證明由定義4及命題1的（4）知：

定理6在系統(tǒng)Gn中，設(shè)理論Γ1={B1,B2,…,Bl}，，則有：

證明（1）因?yàn)?,…,s},則由定義6及命題1的（5）得：

（2）利用定義6及命題1的（6）同理可證。

推論2 在系統(tǒng) Gn中，設(shè)有 Γ1,Γ2,Γ3∈F(S),α,β∈[0,1]，則：

證明（1）由定理6的（1）可得：，因此移項(xiàng)可得：

定理7 在系統(tǒng)Gn中，設(shè)理論若則

證明因?yàn)椋杂? ，又根據(jù)定理6（1）可得移項(xiàng)可得

定理8在系統(tǒng)Gn中，設(shè)理論Γ={A1,A2,…,Ak}，則0≤τGn(ΔΓ)≤1。

定理9在系統(tǒng)Gn中，設(shè)理論Γ1={B1,B2,…,Bl}，Γ2={C1,C2,…,Cs},Γ3={D1,D2,…,Dk}，則：

證明由定義6知：

因此

又因?yàn)閷?duì)任意 b,c,d∈Gn,有所以，從而：

又因?yàn)?/p>

所以有：

4 結(jié)束語(yǔ)

本文首先引入了新的算子Δ，然后利用Δ算子運(yùn)算的特殊性，在增加了Δ算子的G?delΔn值命題邏輯系統(tǒng)理論中，提出了平均真度的概念及一些重要性質(zhì)，這也為進(jìn)一步研究G?delΔn值命題邏輯系統(tǒng)的平均真度理論奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。