基于CI-TOPSIS的梯形直覺模糊多準(zhǔn)則群決策分類方法

朱佳翔，蔡建飛，林徐勛

(常州大學(xué)商學(xué)院，江蘇 常州 213164)

1 引言

決策領(lǐng)域中逼近理想點(diǎn)法(TOPSIS)是一種逼近于理想解的排序法，目前文獻(xiàn)中出現(xiàn)的TOPSIS方法常用于解決脆值理論中質(zhì)量、性能及效益的評(píng)價(jià)決策問題，在現(xiàn)實(shí)環(huán)境下多準(zhǔn)則分類決策(MCS)方面的研究較少。Hwang等[1]結(jié)合TOPSIS法，提出了一種理想環(huán)境下經(jīng)典的多準(zhǔn)則決策方法。然而，在現(xiàn)實(shí)環(huán)境下決策者的判斷與偏好往往不能用具體的數(shù)值來估計(jì)，因此，理想環(huán)境下的許多決策在現(xiàn)實(shí)環(huán)境下是不可行的?；诖耍S多學(xué)者考慮在不確定現(xiàn)實(shí)環(huán)境中運(yùn)用經(jīng)典模糊集理論[2]進(jìn)行決策，如方樹平和董九英[3]、趙樹平等[4]、裴植等[5]和汪新凡[6]應(yīng)用經(jīng)典模糊集與TOPSIS法去解決現(xiàn)實(shí)環(huán)境下不確定多準(zhǔn)則決策問題，但對(duì)現(xiàn)實(shí)決策環(huán)境中不確定因素的復(fù)雜性，以及決策者的主觀性等因素考慮不足。與經(jīng)典模糊集相比，直覺模糊集具有更強(qiáng)的表達(dá)能力和靈活性。自Atanassov[7]提出直覺模糊集(IFS)以及區(qū)間直覺模糊集概念以來，許多學(xué)者將直覺模糊集擴(kuò)展應(yīng)用到模糊TOPSIS領(lǐng)域，提出IFS TOPSIS等創(chuàng)新方法[8]。Atanassou[9]定義了區(qū)間直覺模糊集(IVIFS)的運(yùn)算律。Tan Chunqiao等[10-11]給出了不確定環(huán)境下一種新的基于IVIFS及TOPSIS的多準(zhǔn)則決策方法。Xu Zeshui[12]界定了區(qū)間直覺模糊權(quán)重幾何均值算子(IIFWGA)及區(qū)間直覺模糊權(quán)重排序幾何均值算子(IIFOWGA)等。Wei Guiwu等[13]應(yīng)用IIFWGA幾何聚類函數(shù)處理動(dòng)態(tài)多屬性決策問題。但上述方法主要用于解決一般群決策問題，對(duì)決策分類問題研究較少，對(duì)多準(zhǔn)則分類決策(MCS)方面的研究更少。

目前多準(zhǔn)則分類決策(MCS)方面的研究主要集中在單個(gè)決策者的MCS問題研究，關(guān)于多決策者的多準(zhǔn)則群決策分類(MCGS)問題的研究較少。Greco等[14]研究利用級(jí)別高于關(guān)系的MCS方法對(duì)方案進(jìn)行分類。Almeida-Dias等[15]研究利用基于距離的MCS方法對(duì)決策方案進(jìn)行分類。上述單個(gè)決策者的決策分類方法，在實(shí)際決策中往往因個(gè)人知識(shí)經(jīng)驗(yàn)不足而導(dǎo)致決策失誤。因此，許多學(xué)者展開了對(duì)多決策者的群決策M(jìn)CS問題研究，如Greco等[16]研究利用集合運(yùn)算方法獲得決策分類區(qū)間。Kadzinski等[17]研究利用代表函數(shù)對(duì)決策方案進(jìn)行精確分類。Cai Fuling等[18]給出一種交互式案例分類信息的群決策分類方法。上述方法大多基于單類型偏好信息的MCS問題展開，信息遺漏現(xiàn)象嚴(yán)重，忽略準(zhǔn)則之間的依賴屬性，缺少對(duì)多類型偏好信息的研究，而且在研究中未兼顧決策者的偏好，因此難以解決實(shí)際決策方案中的分類難題?；诖耍疚奶岢龌贑I-TOPSIS的梯形直覺模糊多準(zhǔn)則群決策分類方法，是一種融合Choquet積分與TOPSIS的決策方法創(chuàng)新，克服決策過程中信息的遺漏，充分保留決策過程中信息的完備性，以及充分考慮群決策分類準(zhǔn)則之間相應(yīng)依賴屬性與決策者的決策偏好。依據(jù)決策者偏好的級(jí)別和比較信息，用以確定具有最大可信度群體一致案例比較信息集，并逐步引導(dǎo)決策者給出部分及全部方案的精確分類，有效避免群決策分類準(zhǔn)則評(píng)價(jià)值過低時(shí)方案被分配到較好類別，以及有效避免因個(gè)人知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)局限性所導(dǎo)致的決策失誤。

2 問題描述

在模糊不確定環(huán)境下為兼顧決策者偏好與其他主觀因素，假設(shè)多個(gè)決策者擁有相同方案集、準(zhǔn)則集以及方案的準(zhǔn)則評(píng)價(jià)值。決策者事先將現(xiàn)有方案分配至給定的類別、準(zhǔn)則評(píng)價(jià)值以及類邊界，并通過決策者自身所掌握知識(shí)及經(jīng)驗(yàn)確定方案的分類結(jié)果，以致分類結(jié)果中包含各個(gè)決策者的偏好及地位?；陔x散Choquet積分TOPSIS(CI-TOPSIS)的模糊多準(zhǔn)則群決策的分類流程如圖1所示。

圖1 基于CI-TOPSIS的模糊多準(zhǔn)則分類流程圖

假設(shè)模糊不確定決策環(huán)境下決策者提供的案例比較信息具有不同的模糊可信度[20]。給定A={a1,a2,…,am}為待分類方案集，ai是第i個(gè)待分類方案，分類準(zhǔn)則集為G={g1,g2,…,gn}，其中，gj(ai)是方案ai在準(zhǔn)則gj下的評(píng)價(jià)值，wj是第j個(gè)準(zhǔn)則的權(quán)重，αj=min{gj(ai)}，βj=max{gj(ai)}，i=1,2,…,m。假設(shè)決策偏好隨著gj(ai)的增大而增大，對(duì)于準(zhǔn)則gj，假設(shè)決策者具有相同的偏好閾值pj、無差異閾值qj以及否決閾值vj，j=1,2,…,n。若Ck與Ck+1類別之間通過邊界bk=(g1(bk),g2(bk),…,gn(bk))加以區(qū)分，參閱文獻(xiàn)[22]可設(shè)定分類集合為：C={C1,C2,…,Ch}。設(shè)定T={e1,e2,…,eL}為L個(gè)決策者的集合，設(shè)定η={η1,η2,…,ηL}為歸一化處理后的決策權(quán)重。由于要考慮決策者偏好，可將決策者es認(rèn)為方案ai1優(yōu)于方案ai2，設(shè)定為ai1pesai2；決策者es認(rèn)為方案ai1與方案ai2無差異，設(shè)定為ai1Iesai2，最終將決策者提供的所有案例比較信息Infr歸結(jié)到集合InfSet?；陔x散Choquet積分的TOPSIS(CI-TOPSIS)算子相關(guān)知識(shí)準(zhǔn)備，在第3章有詳盡描述與論證。

3 知識(shí)準(zhǔn)備

3.1 梯形直覺模糊集

令模糊集A是論域X上映射，X∈[0,1]。對(duì)于任何x∈X，A(x)為模糊集A上的隸屬度函數(shù)。令X={x1,x2,…,xn}是準(zhǔn)則集，P(x)是X上的權(quán)重集。

定義1 對(duì)于論域X上ρ的模糊隸屬度μ，μ:P(x)→[0,1]。必須滿足下列條件。

(1)

其中，μ(xi)是xi一個(gè)子集的模糊隸屬度，對(duì)于每個(gè)子集A?X，可得到式(2)。

μ(A)=

(2)

根據(jù)式(1)由μ(x)=1單獨(dú)確定ρ的值，等價(jià)于求解式(3)。

(3)

如果論域X上的集合B是獨(dú)立的，對(duì)于任意B?X則有：

(4)

Zimmermann運(yùn)用梯形模糊數(shù)來定義LR型模糊隸屬度函數(shù)如定義2。

定義2 令L、R是遞減函數(shù)，其區(qū)間值在[0,1]上。當(dāng)x>0時(shí)，L(x)<1；當(dāng)x=0及L(+∞)=0時(shí)，L(1)=0或L(x)>0。LR型梯形模糊數(shù)x的模糊隸屬度函數(shù)表達(dá)式如式(5)。

μX(x)=

(5)

其中，m10、β=m4-m3>0。LR型梯形模糊數(shù)x可表示為(m1,m2,m3,m4)LR。

定義3 對(duì)于一個(gè)LR型梯形模糊數(shù)x=(m1,m2,m3,m4)LR，假定L(x)=R(x)=1-x，可表示為

(6)

其中，m10、β=m4-m3>0分別為左擴(kuò)展、右擴(kuò)展。

3.2 相關(guān)算子

在上述梯形直覺模糊集相關(guān)理論基礎(chǔ)上，給出廣義梯形直覺模糊幾何聚類算子與CI-TOPSIS算子。

同上，鑒于論文篇幅所限，此處證明省略。

(7)

(1)若Infr=asapasb，則實(shí)現(xiàn)方案asa與方案asb之間差異最大化，則需通過如下約束實(shí)現(xiàn)。

(2)若Infr=asaIasb，則削弱方案asa與方案asb之間差異，則需通過如下約束實(shí)現(xiàn)。

其中，mindr可使得方案asa，asb之間差異最小化。

(8)

(9)

i=1,2,…,m

(10)

3.3 基于CI-TOPSIS算子的梯形直覺模糊群決策分類步驟

進(jìn)一步給出基于CI-TOPSIS算子的梯形直覺模糊群決策分類步驟如下：

步驟1分析問題，給出分類方案集A={a1,a2,…,am}、評(píng)價(jià)準(zhǔn)則集G={g1,g2,…,gn}、決策的權(quán)重η={η1,η2,…,ηL}，方案的評(píng)價(jià)值gj(ai)，偏好閾值pj、否決閾值vj、無差異閾值qj，并對(duì)各分類集合C={C1,C2,…,Ch}和邊界bk(k=0,1,…,h)進(jìn)行定義。

步驟2 決策者根據(jù)知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，給出部分方案的案例比較信息，再確定各個(gè)決策者的偏好的模糊隸屬度及其參數(shù)ρ，通過參數(shù)大小的比較，確定具有最大可信度的群體一致案例比較信息集(ConInfSet)。

步驟4 將方案的分類區(qū)間及備選方案μ(c1)=0.45提供給決策者。

步驟6 通過如式(10)所示接近度系數(shù)，可獲得剩余方案的精確分類。

步驟7 如果決策者對(duì)群決策方案的分類結(jié)果存在疑慮，或?qū)Y(jié)果不滿意則算法終止，重新回到步驟1進(jìn)行新一輪決策。

4 實(shí)例分析

某投資公司對(duì)20個(gè)風(fēng)險(xiǎn)投資項(xiàng)目:A={a1,a2,…,a20}進(jìn)行評(píng)價(jià)，由于資源的有限性不能同時(shí)支持所有項(xiàng)目，因此必需這20個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行投資風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估，經(jīng)市場調(diào)研投資公司已經(jīng)給出每個(gè)項(xiàng)目的未來預(yù)期收益、投資成本、成功概率以及期望收益率等數(shù)據(jù)。給定5個(gè)模糊評(píng)價(jià)詞語為：C1=“差”，C2=“一般”，C3=“較好”，C4=“好”，C5=“很好”。給定的3個(gè)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則分別為：g1=“風(fēng)險(xiǎn)分析”，g2=“成長分析”，g3=“社會(huì)影響分析”，g4=“環(huán)境影響分析”。其中，每個(gè)準(zhǔn)則又由其他準(zhǔn)則組成，投資公司賦予子準(zhǔn)則以不同的權(quán)重，并制定了各個(gè)準(zhǔn)則的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，綜合問卷調(diào)查與專家咨詢給出模糊決策矩陣如表1所示。

表1 風(fēng)險(xiǎn)投資項(xiàng)目模糊評(píng)價(jià)矩陣

給定三個(gè)決策者T={e1,e2,e3}參與決策，決策權(quán)重設(shè)定是根據(jù)決策者在該領(lǐng)域知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)及貢獻(xiàn)的綜合評(píng)分，可預(yù)先運(yùn)用AHP法進(jìn)行權(quán)重的測度。如果參照劉佳鵬等[19]，統(tǒng)一將三個(gè)決策者T={e1,e2,e3}權(quán)重設(shè)定為(1/3, 1/3, 1/3)，則會(huì)產(chǎn)生分類結(jié)果的偏差。論文篇幅所限，運(yùn)用AHP法以及對(duì)決策者權(quán)重測度的探討，此處省略。假設(shè)已經(jīng)根據(jù)AHP 法測度出三個(gè)決策者T={e1,e2,e3}權(quán)重集為(0.48,0.24,0.28)；同時(shí)設(shè)定無差異閾值qj=2.8，偏好閾值pj=5.4及否決閾值vj=10.0，j=1,2,3，分類邊界見表2。根據(jù)梯形直覺模糊信息對(duì)這20個(gè)備選投資項(xiàng)目方案進(jìn)行評(píng)價(jià)。

利用上述分類方法，該風(fēng)險(xiǎn)投資項(xiàng)目的計(jì)算結(jié)果如下：

表2 案例分類邊界

表3 方案的分類區(qū)間

表4 剩余方案的分類區(qū)間

(4)表3與表4比較發(fā)現(xiàn)：a3的分類區(qū)間縮小到C3，a6的分類區(qū)間縮小到C4，a19的分類區(qū)間縮小到C2，其他方案保持不變，此時(shí)，決策者無法再次確定剩余方案的精確分類。通過接近度系數(shù)獲得剩余方案的精確分類如表5所示，評(píng)價(jià)為“好”的投資項(xiàng)目C4組合為：a3、a6，a9、a16、a20。若決策者對(duì)群決策方案的分類結(jié)果存在疑慮，或者對(duì)結(jié)果不滿意，則算法終止，重新回到步驟1進(jìn)行新一輪決策。

根據(jù)已給定的未來預(yù)期收益、投資成本、成功概率以及期望收益率等指標(biāo)，不同決策方法下C4(好)項(xiàng)目組合投資期望效益比較如表6所示。

表5 方案的精確分類

表6 不同決策方法下C4(好)類投資的期望效益比較

從表5可見，ConInfSet={Inf1,Inf2,Inf3,Inf4,Inf5}，方案a6，a9，a17，a20的分類情況發(fā)生了變化。其中方案a6被分配到C4類，方案a9被分配到C4類，方案a17被分配到C3類，方案a20被分配到C4類，其他方案的分類結(jié)果未變。由表6可知，本文提出的方法與傳統(tǒng)權(quán)重確定的方法相比，以C4(好)分類組合投資方案為例，給定的預(yù)算投入在50%、60%、70%三種情景下，其組合投資期望回收期皆縮短了2年，投資期望成本分別降了113.8百萬元、185.73百萬元、337.8百萬元，投資期望收益分別提升704.46百萬元、749.52百萬元、534.18百萬元，說明本文提出的決策分類方法避免了將好的方案分配到較差類別，或評(píng)價(jià)值過低時(shí)的方案被分配到較好的類別，避免因個(gè)人知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)局限性所導(dǎo)致的決策失誤。

為了驗(yàn)證該本文方法的有效性，與趙樹平等[4]方法進(jìn)行對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)趙樹平等[4]僅能根據(jù)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則進(jìn)行總排序，排序結(jié)果為：a9?a3?a6?a14?a20?a17?a16?a10?a2?a4?a8?a11?a13?a15?a12?a19?a7?a5?a1?a18，顯然，趙樹平等[4]方法并不能將上述20個(gè)項(xiàng)目按照模糊詞語“好”、“較好”、 “很好”、“一般”、“差”進(jìn)行精確分類。再次將本文方法與劉佳鵬等[19]進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)劉佳鵬等[19]的方法雖能對(duì)各個(gè)方案精確分類，但沒有考慮決策者權(quán)重差異性對(duì)分類結(jié)果的影響，如僅給定三名決策者的權(quán)重是相等的，同為(1/3, 1/3, 1/3), 一旦決策者之間提供的信息產(chǎn)生誤差，分類結(jié)果也將產(chǎn)生沖突，無法將分類信息納入到群體一致案例比較信息集。

通過實(shí)例與上述不同方法比較，驗(yàn)證了提出方法的科學(xué)性，充分考慮了決策者的偏好以及準(zhǔn)則間的相互依存、相互作用，最終尋找出最理想的分類結(jié)果。此外，一旦決策者e1提供的信息Inf1和決策者e2，e3提供的信息Inf2，Inf3之間存在沖突時(shí)，若決策者e1具有較大的權(quán)重，則被納入群體一致案例比較信息集；若決策者e1與其他決策者擁有同等權(quán)重，則Inf2，Inf3也被選入群體一致案例比較信息集，這就導(dǎo)致上述兩種分類結(jié)果的差異。因此，本文采用的基于CI-TOPSIS的梯形直覺模糊多準(zhǔn)則群決策分類方法充分考慮決策者的主觀偏好與信息比較之間的級(jí)別關(guān)系，克服了決策過程中信息的遺漏，充分保留了決策過程中信息的完備性，更適用于直覺模糊群決策環(huán)境下的決策實(shí)踐，可應(yīng)用推廣到更多決策領(lǐng)域。

5 結(jié)語

模糊群決策分類方法廣泛應(yīng)用于政治、經(jīng)濟(jì)與社會(huì)生活各個(gè)領(lǐng)域，可有效避免個(gè)人知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)局限性所導(dǎo)致的決策失誤。本文給出的基于CI-TOPSIS的梯形直覺模糊多準(zhǔn)則群決策分類方法創(chuàng)新在于：(1)該方法是基于梯形直覺模糊集理論而非直覺模糊集或模糊集理論，充分保留了決策過程中信息的完備性，不會(huì)導(dǎo)致信息的遺漏與遺失；(2)在模糊決策環(huán)境下，可根據(jù)梯形直覺模糊聚類算子定義案例比較信息的可信度，確定具有最大可信度的群體一致性案例比較信息集；(3)考慮決策者提供信息的可信度，通過接近度系數(shù)獲得方案的精確分類。因此，該模糊群決策分類方法在決策實(shí)踐中是非常有效和科學(xué)的，可應(yīng)用推廣到更多決策領(lǐng)域。本文因篇幅所限未討論模糊決策環(huán)境下的信息冗余問題，當(dāng)信息的冗余程度達(dá)到一定的程度，很可能對(duì)群決策產(chǎn)生一定的影響，使得決策方案的分類區(qū)間不夠精確，這將是進(jìn)一步研究所要討論的問題之一。