半空間內(nèi)含有部分脫膠的橢圓夾雜及圓孔對SH波的散射*

齊 輝，陳洪英，張希萌，趙元博，項 夢

(哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

工程結(jié)構(gòu)中存在各種缺陷(孔洞、夾雜、脫膠等)，通過研究彈性波的散射，可為實際工程的設(shè)計、施工等提供理論依據(jù)。已有許多學(xué)者對彈性波的散射做了研究，累積了豐富的經(jīng)驗。Y.H.Pao等[1]研究了圓柱體中孔洞以及夾雜周圍的動應(yīng)力集中因子的問題，O.Coussy[2-3]對圓柱夾雜與基體之間存在的脫膠現(xiàn)象進行了分析研究。目前，對于全空間、半空間圓形孔洞、橢圓孔洞的研究已經(jīng)積累了大量理論成果[4-17]，而含有部分脫膠的橢圓夾雜幾乎沒有，橢圓與圓孔同時存在的研究成果更是尚未發(fā)現(xiàn)，脫膠的存在通常是結(jié)構(gòu)直接發(fā)生破壞的原因。研究以橢圓為代表的具有不規(guī)則邊界的復(fù)合缺陷，對于工程結(jié)構(gòu)上的設(shè)計、施工以及健康檢測等具有實際價值。

本文中通過利用“保角映射”技術(shù)，將橢圓夾雜映射為圓夾雜，并通過“虛設(shè)點源”方法與Green函數(shù)法相結(jié)合，求出橢圓夾雜及圓形孔洞的位移及應(yīng)力場，根據(jù)橢圓夾雜未脫膠部分應(yīng)力及位移連續(xù)、脫膠部分應(yīng)力自由、圓孔周圍應(yīng)力自由的邊界條件，建立無窮線性代數(shù)方程組并進行求解，最后，構(gòu)造出“脫膠模型”，得到總的散射波場。通過具體算例分析不同參數(shù)對動應(yīng)力集中因子的影響。

1 問題的描述

(1)

2 控制方程

位移函數(shù)W與時間因子的依賴關(guān)系為e-iw t，結(jié)合保角映射原理，滿足控制方程[1]：

(2)

結(jié)合保角映射原理，應(yīng)力表達式則可以表示為：

(3)

(4)

3 區(qū)域Ⅰ內(nèi)散射波

(5)

(6)

(7)

式中:Bn、Cn是待定系數(shù)，通過脫膠橢圓夾雜及圓孔的邊界條件確定，把式(6)、(7)分別代入式(3)、(4)可以得到應(yīng)力表示。

由橢圓夾雜產(chǎn)生的應(yīng)力表達式為：

(8)

(9)

由圓形孔洞產(chǎn)生的應(yīng)力表達式：

(10)

(11)

式中:z1=ω(η)。

(12)

圓形孔洞產(chǎn)生的散射波可以表示為[16]：

(13)

橢圓夾雜產(chǎn)生的散射波應(yīng)力可以表示為：

(14)

(15)

圓形孔洞產(chǎn)生的散射波應(yīng)力可以表示為：

(16)

(17)

4 區(qū)域Ⅱ內(nèi)的駐波

(18)

代入應(yīng)力表達式，則其應(yīng)力表示為：

(19)

(20)

式中:Dn為待求的未知系數(shù)。

5 Green函數(shù)Ⅰ的構(gòu)造

如圖2所示，出平面線源荷載作用在含有橢圓夾雜的彈性半空間內(nèi)的任意一點，利用GⅠ來表示其產(chǎn)生的位移場的基本解，同時，滿足控制方程(2)，邊界條件可以表示為：

(21)

(22)

(23)

將式(22)、(23)分別代入(3)、(4)式得到應(yīng)力表達式:

(24)

(25)

(26)

(27)

要求得這三個待定系數(shù)Bn、Cn、Dn，需要建立線性代數(shù)方程組，本文中分別根據(jù)橢圓夾雜周邊的位移連續(xù)、徑向應(yīng)力連續(xù)、圓孔周邊的徑向應(yīng)力自由的邊界條件，得到問題解的積分方程組：

(28)

將應(yīng)力及位移代入式(28)，可得:

(29)

用exp(-imθ)同時乘以式(29)等式兩邊，同時在(-π,π)上對所求等式積分，可求得待定系數(shù)Bn、Cn、Dn的線性代數(shù)方程組，對方程式控制精度截斷有限項，求得未知待定系數(shù)，得到Green函數(shù)的解。

6 入射波和反射波

(30)

(31)

7 動應(yīng)力集中因子

(32)

8 算例及分析

9 結(jié) 論

利用復(fù)變函數(shù)法、Green函數(shù)法以及“保角映射”技術(shù)，通過構(gòu)造“脫膠模型”，結(jié)合多極坐標移動技術(shù)，分析了圓孔對于橢圓附近動應(yīng)力集中因子的影響，得到了SH波對于半空間內(nèi)含有部分脫膠的橢圓夾雜及圓孔散射的解析解，通過研究分析表明：

(1)入射角度、入射波頻率、夾雜埋深、不同缺陷之間的距離及脫膠角度、夾雜較基體的軟硬程度均對動應(yīng)力集中因子存在影響;

(2)入射頻率越高，動應(yīng)力集中因子越大；

(4)圓形孔洞距離橢圓夾雜的距離越遠，橢圓夾雜附近的動應(yīng)力集中因子越?。?/p>

(5)不同的脫膠角度對動應(yīng)力集中因子的影響均不同；

(6)夾雜較基體的軟硬程度不同，對動應(yīng)力集中因子的影響差別較大，因此在工程施工中應(yīng)選擇合適的材料。