巖石偏心圓孔單裂紋平臺圓盤的動態(tài)裂紋擴展與止裂*

李 煉,羅 林,吳禮舟,王啟智1,,

(1.四川大學土木工程及應用力學系,四川 成都 610065;2.重慶交通大學山區(qū)橋梁與隧道工程國家重點實驗室,重慶 400074;3.成都理工大學地質災害防治與地質環(huán)境保護國家重點實驗室,四川 成都 610059;4.中鐵二院工程集團有限責任公司,四川 成都 610031)

Brian等[1]認為預測材料的失效是工程中最古老的問題之一，也是解決得最不完美的問題之一。余壽文[2]把在外載荷及環(huán)境作用下，材料和構件中缺陷的受力與變形視為使裂紋起裂與擴展的推動力，比喻為“矛”；把材料抵抗裂紋擴展的能力比喻為“盾”，認為這一用斷裂準則聯(lián)系著的矛盾兩體，決定了裂紋的力學行為，從而也就確定了構件和結構的安全及壽命。這一比喻不管對靜態(tài)斷裂，還是動態(tài)斷裂而言都是非常貼切的。巖石動態(tài)斷裂研究涉及土木、礦業(yè)、能源、軍事和防護等許多工程學科，以及地質學、地球物理學等科學領域。例如，地球物理學研究地震斷層的高速擴展，需要了解巖石的動態(tài)斷裂力學參數及其在地震斷裂帶上巖性的分布。

動態(tài)斷裂全過程包括裂紋的動態(tài)起裂、快速擴展和止裂過程。Das[3]認為由地震產生的地面加速度，導致了地震破裂速度的劇烈變化，從而影響地震災害的程度，這是地震學家研究地震斷裂動力學的主要動機。在另一篇文章中，Das[4]則明確表示更快的破裂速度將會導致更為嚴重的地震破壞，地震帶來的災害程度很大程度上與巖石破裂速度到底有多快相關，因此在進行抗震結構設計時，必須加以考慮。Robinson等[5]研究2011年的昆侖山地震，發(fā)現地震破裂起始時速度較為緩慢，加速到超剪切波速后，以接近6 km/s的速度擴展近100 km，在裂紋止裂前，速度減速擴展。在涉及到裂紋傳播速度與裂紋止裂時，存在著兩方面的分歧。一方面認為：裂紋止裂之前觀察到了裂紋傳播速度的減速[6-7]；而另一方面則觀察到突然快速止裂[8-10]。Ravi-Chandar等[9]詳細說明了造成這種分歧的可能原因，即實驗室中實驗的試樣相對來說是比較小的，在裂紋擴展過程中應力波的邊界反射、加載波與卸載波的相互交叉都會給裂紋尖端造成一個非常復雜的應力歷程，并且會隨試樣構型而改變，這就可能造成觀測到不同的速度歷程。然而，隨著實驗技術的發(fā)展，更多的學者傾向于認為裂紋在止裂前存在減速的過程，但是是否由反射應力波的影響造成，其影響多大卻有待更深入的研究。

在動態(tài)斷裂研究中，動態(tài)應力強度因子(dynamic stress intensity factor)表征了動態(tài)斷裂過程中裂紋尖端的應力應變場，為了研究脆性材料的動態(tài)斷裂行為，許多學者將研究的重點放在了動態(tài)應力強度因子上。理論分析表明：裂紋尖端的應力分布與裂紋速度有關，動態(tài)應力強度因子也就與速度有關。當裂紋在以某一速度勻速擴展時，動態(tài)應力強度因子可以表示成裂紋速度的函數，Freund[10]給出了這一復雜的表達式。實驗研究發(fā)現，動態(tài)應力強度因子和裂紋擴展速度之間存在一定的關系，不同的實驗得到不同的結論[11-13]。Fineberg等[14]研究帶裂紋板靜態(tài)加載下的裂紋擴展速度，認為由于邊界應力波反射的影響，線彈性動態(tài)斷裂力學有局限性，在公式中引入加速度的概念。Arakawa等[15]研究靜態(tài)加載下動態(tài)應力強度因子與裂紋速度的關系，發(fā)現裂紋在擴展過程中，速度有加速上升和減速下降的變化，并且同一速度對應2個不同的動態(tài)應力強度因子。Singh等[16]研究動態(tài)加載下雙材料界面間的斷裂過程，得到裂紋快速擴展的速度變化和動態(tài)應力強度因子的時間歷程，認為裂紋速度的減速現象是由反射應力波造成的。通常，裂紋速度隨著時間變化，其影響改變了裂紋尖端的動態(tài)應力場，研究裂紋的速度變化是理解動態(tài)裂紋擴展的關鍵。

巖石材料一般為準脆性材料，通常其抗拉強度比抗壓強度要低一個數量級[17]。與金屬材料不同，對巖石進行直接拉伸實驗較難，因此多采用間接拉伸的方式進行實驗，圓盤類試樣也多用于測試巖石的動態(tài)斷裂韌度[18-21]。周妍等[22-23]采用圓孔內單邊裂紋平臺巴西圓盤(holed single cracked flattened Brazilian disc, HSCFBD)新試樣，分別對其進行了靜態(tài)和動態(tài)斷裂韌度的測試，得到砂巖的靜態(tài)、動態(tài)斷裂韌度值。李煉等[24]采用HSCFBD試樣首次研究了砂巖的動態(tài)斷裂全過程，實驗成功檢測到試樣的破裂歷經裂紋的動態(tài)起裂、擴展和止裂。

本文中，在采用HSCFBD試樣研究巖石動態(tài)斷裂的全過程的基礎上，進一步研究裂紋的快速擴展與止裂過程。結合平臺圓環(huán)類試樣的優(yōu)點，提出偏心圓孔單裂紋平臺圓盤(cracked eccentrically holed flattened disc, CEHFD)這一新型試樣，內圓孔偏離圓心一定距離，使其斷裂帶加長，增加其斷裂擴展路徑和檢測范圍，且可使止裂點遠離邊界減小其反射應力波相互作用帶來的影響。

1 動態(tài)斷裂實驗

1.1 偏心圓孔單裂紋平臺圓盤

CEHFD試樣構型如圖1所示。圖中R為外圓半徑，r為內圓孔半徑，2β為平臺加載角度。圓盤圓心為O，內圓孔圓心為O′，O與O′之間的距離為內圓孔偏離外圓心的距離，本文定義為偏心距離d；a0為預制裂紋長度；斷裂帶長度L=R+d-r。p(t)為動態(tài)載荷，是時間的函數。

實驗中所有試樣均由青砂巖材料制作，顆粒細致且緊密，如圖2所示。經測定該產地青砂巖的泊松比μ=0.21，彈性模量E=17.67 GPa，密度ρ=3.055 g/cm3。膨脹波波速cd=2 551.6 m/s，畸變波波速cs=1 546.0 m/s，Rayleigh波波速cR=1 411.0 m/s。

實驗選用試樣的尺寸具體為：厚度B=(30±0.2) mm，R=(75±0.2) mm，r=(15±0.2) mm，a0=(8±0.1) mm，平臺角2β=30°，d=(20±0.2) mm，L=R+d-r=80 mm。采用裂縫加工系統(tǒng)預制裂紋，選用直徑為0.15 mm超細精鋼砂切割線。使用塞尺測量預制裂紋寬度，裂縫寬度為0.2 mm，滿足國際巖石力學學會規(guī)定的采用巖石試樣測量斷裂韌度對裂紋尖端寬度尺寸的要求。

1.2 實驗加載裝置及測量儀器

動態(tài)實驗采用直徑為100 mm的分離式霍普金森壓桿(split Hopkinson pressure bar, SHPB)作為沖擊加載裝置，其裝置如圖3所示。SHPB壓桿材料為42CrMo，彈性模量Eb=210 GPa，泊松比μb=0.3，密度ρb=7 850 kg/m3，一維縱波的理論波速c0=5 172 m/s。入射桿的長度li=4 500 mm，透射桿的長度lt=2 500 mm。入射桿上應變片與試樣接觸左端面的距離l1=1 500 mm，透射桿上應變片與試樣接觸右端面的距離l2=1 000 mm。實驗均在0.1 MPa加載氣壓下進行，產生的壓縮應力波由入射桿上應變片和透射桿上應變片測量，信號經超動態(tài)應變儀進行記錄后，轉化為電壓信號并由瞬態(tài)記錄儀進行采集，分別為入射波εi(t)、反射波εr(t)和透射波εt(t)。

為了在動態(tài)加載的條件下有效地檢測到裂紋擴展的完整過程，采用裂紋擴展計(crack propagation gauge, CPG)檢測裝置[23-24]，并進行了改進，使其既能完整地對整個斷裂帶進行檢測，又能準確地獲得實驗數據，如圖4所示。同時，在試樣的特殊位置設計粘貼應變片(strain gauge, SG)，有利于實驗數據和實驗現象的分析。CPG具體尺寸及SG粘貼位置見圖4。

將CPG粘貼在裂紋前端，為了研究應力波邊界反射對裂紋動態(tài)斷裂過程的影響，在距離加載端面d=5 mm的位置每間隔5 mm粘貼3個應變片SG1、SG2、SG3。在試樣另外一面裂紋尖端粘貼2 mm×2 mm的應變片SG4。實驗選用CPG共有25根金屬絲，并聯(lián)總電阻R=1.5 Ω。隨著裂紋的擴展，金屬絲依次發(fā)生斷裂，CPG的并聯(lián)總電阻就會增加ΔR，CPG兩端電壓發(fā)生變化，通過監(jiān)測電壓階躍變化的起跳點即可確定裂紋擴展到該位置的時刻，已知2根金屬絲間距，可以計算出2根金屬絲間的裂紋擴展速度，從而得到CPG檢測范圍內裂紋擴展的速度歷程。

1.3 動態(tài)斷裂全過程

圖5所示為動態(tài)實驗中試樣在第1次加載波作用下完全斷裂時的入射桿上SGi和CPG電壓信號U，簡稱為一次斷裂，以CEHFD-2試樣為例。SGi記錄了加載應力波在入射桿中傳播的3個來回，1個來回即為一次應力波加載。

圖6所示為動態(tài)實驗中試樣在第2次加載波作用下才完全斷裂時的入射桿上SGi和CPG的電壓信號，簡稱為二次斷裂。以CEHFD-3試樣為例?？芍贑PG的檢測范圍內，試樣在第1次加載波的作用下起裂擴展，CPG金屬絲并未完全斷裂，表明裂紋在CPG檢測范圍內的某一個點不再擴展，即止裂。將這一階段裂紋的起裂、擴展和止裂定義為階段Ⅰ。隨后，當第2次加載波到達試樣時，試樣再次受到加載波的作用，裂紋再次起裂擴展，剩余未斷裂的金屬絲全部斷裂，超出CPG的檢測范圍。將這一階段定義為階段Ⅱ。階段Ⅰ的裂紋起裂-擴展-止裂即為完整的動態(tài)斷裂全過程。

由于實驗試樣尺寸有限，需要有較長裂紋擴展距離，才有可能檢測到裂紋的止裂現象，因而檢測止裂的前提條件是有足夠的斷裂帶長度，斷裂帶太短，其裂紋擴展距離短，導致裂紋尚在擴展階段，試樣已經完全斷裂，且接近試樣邊界區(qū)域，應力波和卸載波反射后較為復雜，即使出現止裂，若止裂點太靠近這一區(qū)域，復雜應力波也將使止裂難以研究。同時，較長的斷裂帶增大了裂紋擴展速度的檢測范圍，有利于研究裂紋擴展階段的速度變化歷程。在距離試樣透射端5 mm處等距離貼有3個應變片，即SG1、SG2和SG3，電壓信號如圖7所示。應變片受到應力波作用，產生應變，檢測到應力波最大值均在裂紋止裂以后，可知，裂紋止裂過程，沒有受到反射應力波的影響。止裂前的速度變化也沒有受到反射應力波的干擾。

1.3.1裂紋起裂和止裂時刻

將加載應力波開始作用于試樣時的時刻定義為初始時刻t0,且：

(1)

根據文獻[25-26]中的方法確定入射波和反射波的波頭，分別為ti和tr。

由于CPG第1根金屬絲距離裂紋尖端有一段距離，即金屬絲與基底前沿之間的距離l0，第1根絲斷裂對應的時刻t1并不是裂紋的起裂時刻，而是裂紋擴展l0距離后第1根金屬絲斷裂的時刻，如圖4所示。文獻[23-24]在求起裂時刻時均假設裂紋起裂后以某一速度勻速擴展，通過CPG求出這一平均速度va，起裂時刻tf=t1-l0/va。

圖9(a)所示為CEHFD-2試樣在階段Ⅰ的CPG電壓信號，即圖5中該試樣裂紋起裂-擴展過程，CPG的25根金屬絲全部斷裂，試樣一次斷裂，未有止裂。圖9(b)所示為CEHFD-3試樣在階段Ⅰ的CPG電壓信號，即圖6中該試樣裂紋起裂-擴展-止裂過程，CEHFD-3試樣在第18根絲后止裂。經計算得到CEHFD-3試樣的t0=846.3 μs，其它時間參量均以這一時刻作為起點計算。以t0作為起點，CEHFD-3試樣的起裂時刻tf=(929.1-846.3) μs=82.8 μs，CPG斷裂第1根絲斷裂時刻為t1=103.6 μs，階段Ⅰ最后一根絲斷裂時刻t18=309.8 μs，這一時刻后裂紋止裂，因此假設這一斷裂點為裂紋的止裂點，這一時刻即為止裂時刻ta。

表1 動態(tài)實驗數據Table 1 Dynamic experimental data

1.3.2裂紋擴展速度

CEHFD-2和CEHFD-3試樣階段Ⅰ裂紋在起裂后快速擴展，其裂紋長度、裂紋擴展速度與時間關系曲線如圖11～12所示。這里做了一個假設，假設裂紋在2根CPG兩根金屬絲間的速度是勻速且是直線擴展，其每2根金屬絲間的速度按下式計算：

(2)

式中：Δl為2根金屬絲間的間距，Δl=l/24=1.67 mm。這里需要注意的是tf與t1之間裂紋擴展距離為l0=3 mm。

可知，由于一次斷裂情況下，裂紋沒有止裂過程，其a(t)曲線可近似為直線，如圖11(a)所示，其裂紋速度增大到最大值后發(fā)生振蕩，如圖11(b)所示，可近似將裂紋擴展階段的運動看作勻速，其平均速度為va=527.97 m/s (0.37cR)。二次斷裂情況下的裂紋擴展在階段Ⅰ，經歷了裂紋的起裂-擴展-止裂的過程，隨著時間的增加a(t)曲線并不是均勻變化，如圖12(a)所示，這就意味著不可將裂紋作勻速擴展進行處理。可以明顯看到，在裂紋開始起裂后，裂紋加速上升達到最大速度，在裂紋止裂前，速度緩慢下降，直至速度為零，裂紋止裂，如圖12(b)所示。CEHFD-3最大速度為vmax=666.67 m/s (0.47cR)，最小速度為vmin=42.19 m/s (0.03cR)。

2 動態(tài)應力強度因子

實驗-數值-解析法是一種將實驗記錄、數值模擬和解析公式相結合的研究方法[29]，綜合考慮材料慣性效應和裂紋擴展速度對動態(tài)應力強度因子的影響，該方法避開了動態(tài)應力強度因子難以直接進行測量和計算的問題，將原本對實驗設備的苛刻要求分擔到動態(tài)實驗、數值模擬和近似解析3方面，使實驗中的重點變?yōu)閯討B(tài)荷載歷程、裂紋起裂止裂時刻和擴展速度等易于檢測的信號的記錄測量，而動態(tài)應力強度因子等難以直接檢測的力學參數則通過有限元等動態(tài)數值模擬分析，并結合解析公式得到。

2.1 實驗動態(tài)荷載

壓縮空氣炮驅動炮彈撞擊SHPB入射桿，入射桿上應變片SGi采集的信號，即入射波εi(t)；彈性壓縮波向前傳播到達界面后一部分反射回入射桿，再次通過應變片SGi時采集的信號，即反射波εr(t)。另一部分彈性壓縮波通過試樣，造成試樣的高速變形后傳播進入透射桿，透射桿上應變片SGt采集的信號，即透射波εt(t)。根據SHPB的一維彈性應力波假設，由入射端的加載波波形可以得到入射端荷載pi(t)，由透射端的加載波波形可以得到透射端荷載pt(t):

(3)

式中:Eb、Ab分別為SHPB彈性模量及橫截面面積。如圖13所示得到CEHFD-3試樣的pi(t)曲線。其左端動載荷pi(t)最大值pmax=37.98 kN，時間tmax=44.7 μs。由于本次實驗試樣為尺寸較大的圓孔圓盤類試樣，應力波傳播反射的路徑長且次數多，因而傳播時間較長；試樣帶有預制裂紋，巖石動態(tài)斷裂時會消耗能量，作用于試樣兩端的載荷存在顯著的時間與空間不均勻性，即左端的加載載荷pi(t)與右端的加載載荷pt(t)在時間和數量上差異性較大。本文的研究方法為實驗-數值-解析法，不需要滿足準靜態(tài)法研究中的應力均勻性假設，入射波εi(t)和反射波εr(t)是在近乎一維線彈性的SHPB壓桿中傳播的，在荷載疊加方法合理的情況下，pi(t)更接近試樣入射端的真實荷載[30]，將pi(t)作為實驗的動態(tài)加載荷載p(t)。

2.2 數值-動態(tài)有限元模擬

高加載率情況下，快速擴展裂紋尖端附近質點受到裂紋尖端應力集中區(qū)影響，因此，對于裂紋尖端的運動，裂紋速度的影響很重要[10]。Freund[10]認為可以將裂紋速度對動態(tài)應力強度因子的影響分離出來，對該時刻靜止裂尖的動態(tài)應力強度因子時間歷程進行普適函數的修正:

(4)

CEHFD試樣1/2有限元模型如圖14所示，采用PLANE82平面應變單元，裂紋尖端應力場和應變場的奇異性采用1/4節(jié)點奇異單元，模型共有3 860個單元和11 837個節(jié)點，選用時間子步步長為0.1 μs。對試樣端面進行位移耦合，使其在加載過程中始終保持一個平面，以模擬實驗過程中SHPB壓桿對試樣端面的平面加載。起裂時裂紋尺寸a(tf)=a0= 8 mm；擴展時裂紋尺寸:

a(tn)=a0+l0+(n-1)Δl

(5)

可令：a(tn)=an，止裂時裂紋尺寸a(ta)=aa。

2.3 解析-普適函數修正

普適函數是由Freund[10]基于Green函數基本解的概念，認為在一般荷載作用下的Ⅰ型裂紋，在不超過瑞雷波速cR時，以任意速度擴展的動態(tài)應力強度因子等于適用于具有該處靜止裂尖的動態(tài)應力強度因子與瞬時裂紋速度的普適函數的乘積。其近似計算公式為:

(6)

式中：cR為材料的瑞雷波速，cd為材料的膨脹波速。

3 結果分析

3.1 動態(tài)斷裂韌度的確定

不考慮外界溫度影響，動態(tài)起裂準則為：

(7)

動態(tài)擴展韌度與速度有關，是抵抗動態(tài)裂紋擴展的材料參數。動態(tài)擴展準則為：

(8)

Freund[10]和Ravi-Chandar[33]提出動態(tài)止裂韌度定義：不能維持裂紋繼續(xù)擴展的最大動態(tài)應力強度因子即為動態(tài)止裂韌度。動態(tài)擴展準則為：

(9)

砂巖動態(tài)起裂韌度和止裂韌度見表2，可知，動態(tài)起裂韌度與加載率有關，隨著加載率的增大而增大；動態(tài)止裂韌度小于動態(tài)起裂韌度，且止裂韌度隨著裂紋最大擴展速度的增加而降低，并且有較大的離散性。

表2 砂巖的動態(tài)起裂和止裂斷裂韌度Table 2 Dynamic initiation and propagation toughness of sandstone

3.2 裂紋止裂過程

假定材料性能值KⅠC或(GⅠC)，即為“盾”；結構提供的裂紋驅動力K(或G)，即為“矛”。裂紋的力學行為決定于矛盾兩體的較量，當“盾”作用大于“矛”作用時，顯然沒有足夠的驅動力使裂紋擴展。一般來說，止裂的量度有兩種[10]：一種是從結構的角度考慮?！岸堋辈蛔儯懊彪S著裂紋尺寸的增大其作用減弱，“矛”小于“盾”時產生止裂。另一種是從材料的角度考慮?！岸堋彪S著裂紋尺寸的增大而增大，當“盾”明顯超過“矛”時實現止裂。

實際當中，對某些材料，R通常不是常數且與裂紋速度有關，而快速奔跑裂紋的所有動能都用于裂紋擴展也不太可能。對于許多材料來說，K和R都與裂紋長度和速度有關，止裂時刻的K并不是一個材料常數[33]。實驗結果止裂韌度的離散性也證明了這一點。

4 結 論

(1)為了更好地研究巖石材料的I型動態(tài)斷裂行為，特別是裂紋的快速擴展與止裂過程中裂紋尖端的運動情況，本文提出一種利用巖芯的新型試樣CEHFD，成功地檢測到裂紋的動態(tài)起裂-擴展-止裂這一完整的動態(tài)斷裂過程。

(2)實驗表明，在整個斷裂過程中，裂紋并非勻速擴展，裂紋擴展速度在裂紋起裂后加速上升，在裂紋止裂前有明顯的減速現象，裂紋并非突然止裂。在試樣透射端附近粘貼應變片，檢測到應力波最大值均出現裂紋止裂以后，可知，止裂前的減速過程并不是由反射應力波造成的，裂紋止裂過程并沒有受到反射應力波的影響。