巖石的動態(tài)壓縮行為與超高速動能彈毀傷效應計算*

王明洋，李 杰，李海波，邱艷宇

(1.陸軍工程大學爆炸沖擊防災減災國家重點實驗室，江蘇 南京 210007；2.南京理工大學機械工程學院，江蘇 南京 210094；3.中國科學院武漢巖土力學研究所巖土力學與工程國家重點實驗室，湖北 武漢 430071)

巖石中爆炸、侵徹以及超高速撞擊等強動載效應均與沖擊波的傳播和介質的壓縮與破壞等復雜現(xiàn)象相關[1-2]。沖擊壓縮非等熵過程可能足以導致介質的破壞、熔化、汽化、以及能量的輻射輸運效應。因此，巖石在不同加載水平和不同加載速率下的動態(tài)壓縮行為，無論對地下核爆炸工程效應和鉆地武器效應與工程防護，還是地球物理和天體物理等相關問題研究，均具有極其重要的理論與實際價值。

地下爆炸實驗表明[3-4]：在堅硬巖石中(這里的堅硬巖石是指具有縱波速度cP≈6 000 m/s，剪切波速cS≈3 500 m/s和體積密度ρ≈2 500～2 800 kg/m3的巖石)，正常裝填密度的標準炸藥爆炸時，波的傳播具有如下特征：

(1)在爆炸空腔附近(約2RZ，RZ為裝藥半徑)，波陣面升壓時間tr/t+<0.05(tr為升壓時間，t+為正壓時間)，波陣面壓力約為37 GPa，波陣面?zhèn)鞑ニ俣燃s為8.2 km/s，波具有沖擊波特征，波的壓力衰減指數(shù)約為n≈2.5(球對稱應力的峰值按冪函數(shù)規(guī)律衰減：σr,max∝r-n)；

(2)當波傳播至(2～3)RZ～(100～120)RZ距離處，波陣面升壓時間tr/t+≈0.05～0.2，波陣面壓力降至約5～20 GPa，波陣面?zhèn)鞑ニ俣冉抵两咏v波速度，波具有“短波”和“弱波”特征，波的壓力衰減指數(shù)n≈1.4～1.8；

(3)當波傳播至(100～120)RZ以外的區(qū)域時，波陣面升壓時間tr/t+>0.2，波陣面壓力降至約5 GPa以下，波陣面?zhèn)鞑ニ俣葹榭v波速度，波具有固體中的彈塑性波特征，波的壓力衰減指數(shù)n≈1.1～1.2。

超高速撞擊實驗展示了相似的規(guī)律[5]：在速度vj≈10 km/s的彈體的撞擊下，彈體和巖石靶體之間形成峰值壓力50 GPa以上的沖擊波并向地下傳播(見圖1)，波的傳播規(guī)律如圖2所示，在50 GPa以上的強沖擊區(qū)，波的壓力衰減指數(shù)約為3.6，在5～20 GPa的過渡壓力范圍內衰減指數(shù)約為1.4～1.8，在小變形彈塑性變形區(qū)衰減指數(shù)約為1.1～1.2。

目前，尚沒有一種理論能完整地描述爆炸或超高速撞擊問題中從近區(qū)至遠區(qū)應力狀態(tài)的全過程演變。例如，對于侵徹計算理論，大致可以分為彈塑性的空腔膨脹理論[6-7]和流體動力學的聚能射流理論[8-10]等。實驗研究表明[1-2]，流體動力學模型適用于非常高的壓力區(qū)(30 GPa以上，對應侵徹速度大致在5 000 m/s以上)，此時巖石在動載作用下的行為接近于流體動力行為，空腔膨脹模型則被證明對于動態(tài)應力幅值超過彈性限不多的情況是適用的。在中間過渡區(qū)域(5～20 GPa，對應侵徹速度大致在1 700～5 000 m/s范圍內)巖石行為的描述問題仍然是一個沒有解決的問題。在該壓力范圍內巖石從彈性狀態(tài)轉到塑性狀態(tài)，甚至轉到流體動力學狀態(tài)。Shemyakin[3,11-12]研究指出在爆炸作用近區(qū)巖石行為由彈性狀態(tài)向塑性狀態(tài)轉變時，不是轉向理想的塑性狀態(tài)，而是轉向顯著增強的塑性狀態(tài)，這種增強的本質在于受限內摩擦。這個問題的實質是把在動力學中所采用的從彈性壓縮狀態(tài)過渡到流體狀態(tài)的假定用更符合實際的模型來代替，以便更好地描述在動載作用下在彈性限以外物體的動力行為。

目前正在研制的超高速動能武器對地打擊速度達(5～15) 馬赫左右[13-15]，正處于由低應力彈塑性區(qū)至高應力流體區(qū)的過渡區(qū)范圍。因此，在建立侵徹物理力學模型時，勢必需要界定所建立計算方法的適用性范圍問題以及這些范圍與彈靶物理力學參數(shù)間的依賴程度的問題。本文以內摩擦理論為基礎，系統(tǒng)研究侵爆近區(qū)巖石動態(tài)可壓縮性行為，嘗試建立超高速動能彈對地打擊毀傷效應的侵深、成坑及地沖擊安全厚度等設計計算方法。

1 巖石沖擊壓縮行為

1.1 沖擊絕熱曲線及實驗方法

為了解決巖石中爆炸、侵徹以及超高速撞擊問題，必須通過實驗確定物質的可壓縮性方程和物態(tài)方程。由于沖擊波加載的持續(xù)時間非常短，尤其對于近區(qū)強沖擊波，衰減快、距離短，所以需要尋找新的測量方法，以便能在高速過程條件下測量各種物理參量，并要同時建造一些儀器。

目前已有大量的文獻論述借助于爆炸或沖擊加載對于固體進行動力實驗的方法，利用霍普金森桿可以實現(xiàn)GPa量級的中應變率(102～103s-1)的沖擊壓縮加載[16]，而借助于輕氣炮的飛片撞擊實驗(飛行速度達到幾千米每秒的板的撞擊)或者通過置于所研究材料的物體表面上炸藥的爆炸,則可得到壓力高達103GPa范圍內的(超)高應變率的固體壓縮實驗資料[17-18]，以及在此基礎上計算的固體狀態(tài)方程。

在借助沖擊波進行的固體動力實驗中，通常會得到對應于平面波的壓力狀態(tài)。應力和應變狀態(tài)主要根據(jù)主應力σ1和σ2=σ3以及體積應變ε(ε=ε1,ε2=ε3=0)來確定，在實驗中通過測量沖擊波的傳播速度D和粒子的位移速度v，然后應力σ1和應變ε借助于朗肯-雨貢紐(質量和動量守恒)方程來確定[11,17-18]：

(1)

式中：下標0表示沖擊波陣面前的量值，在巖石介質中，即使是很弱的沖擊波，其峰值壓力也要達到GPa量級,因而初始壓力基本可以忽略。

當物體具有接近液體的力學行為時，可以認為σ1=σ2=σ3=p，但對于固體介質，在通過公式(1)確定物質的動態(tài)壓縮曲線p(ε)時，需要考慮介質的強度：

(2)

從式(2)可得：

(3)

式中：τs為剪切強度，對于理想塑性介質τs為常數(shù)，例如[18]工業(yè)純鐵的τs≈0.375 GPa ，對于巖石，隨著壓力的增加，τs也逐漸增加并最終趨近極限τp，一般對于花崗巖[19]，τp≈0.97～1.19 GPa，這樣當σ1=20 GPa時，平均應力p與σ1的差別約為7%，當σ1=30 GPa時，平均應力p與σ1的差別約為5%，當σ1=50 GPa，p與σ1的差別約為2%。

在確定固體的沖擊絕熱曲線時，通常忽略其強度，采用適用于液體的關系式[17-18]：

(4)

這在較強沖擊波(σ1≥30 GPa)情況下是正確的。

這時沖擊波波速[17-18]：

D=a+bv

(5)

但當沖擊波壓力低于30 GPa時,則不能忽略固體屬性----材料強度的影響。在以實驗中得到的σ1(ε)曲線作為巖石動態(tài)可壓縮性研究的基礎時，須對依賴關系補以動力關系p(ε)(p=(σ1+σ2+σ3)/3)，那么就可以在固體的平面壓縮實驗中確定固體進入流體動力學狀態(tài)的變形ε的大小。到目前為止，關于固體從彈性(或非線性彈性)狀態(tài)過渡到力學流動狀態(tài)的判斷基本都是建立在σ1-σ2=2τs準則基礎之上的(τs≈τp=const)[11]，該式與體積壓縮定律p=p(ε)構成了固體動力壓縮的全部描述，如果對體積壓縮定律取最簡單的形式p=Kε(K=const為體積壓縮模量，按照文獻[11,17]的實驗數(shù)據(jù)，可以在直到幾個GPa的范圍內取這一關系式)，則在對稱的條件下(σ2=σ3)得到下列關系：

(6)

這樣可以在平面壓縮曲線σ1(ε)上尋找對應式(6)斜率的ε值，并讓與這一變形值相應的應力σ1作為動力流限。文獻[11]指出該方法確定的動力流限比其他方法得到的值大5～10倍。

1.2 巖石動態(tài)壓縮加載的實驗結論

在目前已有的堅硬巖石(輝綠巖、石灰?guī)r、花崗巖、大理石)中應力和質點速度測量數(shù)據(jù)的基礎上[1,3,11-12,19]，可以發(fā)現(xiàn)如下特點：

(1)相對較低加載速率(約101～102s-1)對巖石強度的影響要比“中高速”加載速率(大于103s-1以上)強的多[9]；隨著加載速度的增加，慣性力的影響也在增強，巖石強度的應變率效應并不明顯(見圖3)，增強的本質在于受限內摩擦；

(2)應力幅值超過30～50 GPa的波,可以認為是沖擊波，此時固體在動力載作用下的行為接近于流體動力學狀態(tài)[11](材料強度的影響可以忽略，應力張量退化為標量)；

(3)具有應力幅值5～20 GPa的波可以認為是弱波[1,3,11-12](將壓力遠遠小于介質的體積壓縮模量的波稱為弱波)，在這一壓力范圍內，巖石處于從彈性狀態(tài)到流體動力學狀態(tài)的過渡區(qū)域，弱波在固體中以接近彈性縱波的傳播速度傳播(D≈cP)；

(4)文獻[1,3,11-12]指出,堅硬巖石中壓力過渡區(qū)5～20 GPa傳播的沖擊波接近短波，其與高應力流體區(qū)的沖擊波或低應力彈塑性區(qū)的彈塑性波的差別在于側向變形：在沖擊波中有應變ε=ε1,ε2=ε3=0；在短應力波中有ε1?ε2=ε3≠0；在低應力彈塑性波中則有ε1+ε2+ε3=p/3K，p?K；

(5)實驗證明[1,3,11-12]，對短波和弱波其各向壓縮與體積變形的關系可認為是弱非性形關系：

p=Kε(1+lε)

(7)

式中：lε?1，l=l(p)，當l=0時，對應彈性的體積應變關系，當l≈1時對應弱的非線性關系。

(6)在工程實踐中，數(shù)量級數(shù)5～20 GPa的壓力范圍具有重要的意義。對應于這一壓力范圍的有采礦和土木工程建設中的實際爆破工作、彈體撞擊巖土體等，這一壓力范圍對應于大約1 000 km深度范圍內地球巖體壓力的變化。

1.3 巖石動態(tài)壓縮內摩擦機理

為了描述在沖擊波壓縮下固體的可能狀態(tài)，研究由密集排列且相互間膠結的“小球”組成的固體模型。在巖石中單個的晶?；蛘邘r石塊體可以充當“小球”的角色。在壓縮狀態(tài)時，既可以發(fā)生這些“小球”的體積變形，也可以發(fā)生它們之間的相互滑移，這時“小球”之間的聯(lián)系被破壞，出現(xiàn)了摩擦。

眾所周知，在應變率加載情況下，材料的強度特性等要比準靜態(tài)加載情形下要增強很多，這可以歸結為橫向慣性約束，即對于沖擊波壓縮的固體，要采用受限壓縮的模型。首先研究這樣的介質的單軸壓縮，試樣為柱狀，周圍是剛性壁，柱體的軸向應力為σ1，而徑向及環(huán)向的應力為σ2=σ3，因此我們有ε1=ε=γ(ε1為軸向應變、ε為體積應變，γ為剪切應變)。在壓縮時根據(jù)施加的外力的增加會出現(xiàn)如下幾種情況：

(1)彈性狀態(tài)，這種情況下粒子間的內聚力沒有被破壞，介質的晶粒----“小球”之間發(fā)生壓縮而產(chǎn)生彈性變形，此時應力σ1及σ2由胡克定律確定：

(8)

式中：ν為泊松比，α*為側壓力系數(shù) 。

(2)松散介質狀態(tài)(內摩擦狀態(tài))，當外力增大至σ1-σ2=2τe(τe為彈性極限)時，粒子間的內聚力被破壞，但是摩擦力不應該忽略，此時

(9)

(3)流體動力學狀態(tài)，這種情況下粒子之間的摩擦可以忽略不計，此時有如下關系：

σ1-σ2=2τs

(10)

由于σ1?τs，因此

(11)

形象地講，在壓力升高時固體的單元從彈性狀態(tài)經(jīng)過松散介質狀態(tài)(具有內摩擦的介質狀態(tài))轉入到流體動力學狀態(tài)。在α*=ν/(1-ν)時會發(fā)生從彈性狀態(tài)到具有內摩擦狀態(tài)的轉變；在α*→1時摩擦因數(shù)減小，而α*=1(φ=0)對應于流體動力學狀態(tài)。

在不同的加載狀態(tài)，固體具有不同的聲速，具有內摩擦的應力狀態(tài)下，介質聲速為:

(12)

如果在沖擊壓縮范圍內取平均應力和平均應變的關系如公式(7)所示，由于：

(13)

(14)

將公式(13)代入公式(7)可以得到σ1(ε)關系：

(15)

巖石由內摩擦狀態(tài)轉變?yōu)樗苄粤鲃訝顟B(tài)的邊界由廣義Mises屈服條件σ1-σ2=2τs來確定，如果用形式τs=τs(p)的塑性條件代替τs=const，就有引入摩擦力學模型的含義，強動載下τs與靜水壓力p的典型關系為[20]：

(16)

表1 不同巖石的極限抗剪強度參考值[21]Table 1 Ultimate reference shear strength of rock[21]

圖4給出了如公式(16)所示的具有雙曲線特征的Mohr圓包絡線，隨著滑移面上法向應力(壓應力)的提高，τs將變得越來越平緩直至達到極限變成水平線，即介質不再抵抗切變的繼續(xù)增大。圖4中A、B、C表征了巖體變形的三個特征點，A點時晶粒間的粘聚力破壞，B點對應內摩擦狀態(tài)，C點對應流體動力學狀態(tài)。

2 流體彈塑性內摩擦侵徹理論

2.1 侵徹阻抗函數(shù)

侵徹阻抗是彈靶相互作用的函數(shù)，侵徹阻抗函數(shù)與侵徹近區(qū)巖石的動態(tài)可壓縮應力狀態(tài)本質相關。體積壓縮關系式(7)，本構關系(8)～(10)，強度準則(16)共同與介質守恒方程構成了流體彈塑性理論完備方程組。如果取參數(shù)τe=0.3 GPa、τ0=0.2 GPa、τp=1.5 GPa、ν=0.3、K=60 GPa、l=1為例進行計算，可得到α*、p、σ1、τ隨ε變化的曲線，如圖5所示(由于內摩擦階段沒有準確的α*計算公式，計算過程中，內摩擦區(qū)域的α*采用了公式α*=f(p)=ap3+b的形式進行擬合，a、b的取值根據(jù)內摩擦區(qū)域的邊界條件確定，b=0.428，a=1.9×10-3)。

從圖5可以看出，隨著體積壓縮應變的增加，爆炸或者侵徹作用近區(qū)巖石行為由彈性狀態(tài)經(jīng)過具有內摩擦的介質狀態(tài)轉入到顯著增強的塑性流動狀態(tài)。在塑性狀態(tài)起始階段，巖石雖達到塑性屈服狀態(tài)(σ1-σ2=2τs)，但隨著體積應變(或壓力)的增加，由于受限內摩擦作用，其強度仍在顯著增強，α*也在提高(圖5(a))，但隨著應變進一步提高，α*將變得越來越平緩直至無限接近于1，以α*接近于1的程度，可將塑性流動狀態(tài)區(qū)分為擬流體過渡區(qū)域(α*≤0.8)和流體動力學區(qū)域(α*>0.8)。在擬流體過渡區(qū)域，巖石體積壓縮關系的弱非線性開始顯現(xiàn)(圖5(b)中p=Kε(1+lε)開始偏離線性關系)，其平面壓縮曲線σ1(ε)上對應式(6)的斜率也逐步減小(圖5(c))，在流體動力學區(qū)域，其值接近于K，這也說明了為什么利用公式(6)確定的動力流限比其他方法(一般情況下利用由廣義Mises屈服條件σ1-σ2=2τs判斷進入流限)得到的值大5～10倍的原因。在流體動力學區(qū)域，巖石的強度τs接近τp(圖5(d))。

利用前述流體彈塑性理論完備方程組,可以建立涵蓋彈塑性—內摩擦擬流體和流體動力壓力的(超)高速侵徹阻抗函數(shù)。對于動能武器的(超)高速撞擊，侵徹近區(qū)巖石受到劇烈壓縮，在巖石材料達到其極限強度τs前，其體積應變關系為線彈性體積壓縮關系，即l=0，考慮到在較為寬廣的范圍內D≈cP以及公式(1)，可以給出：

ε=v/D≈v/cP

(17)

將其代入體積壓縮關系式(7)，得到壓力與變形的關系(彈體撞擊巖石的侵徹阻抗函數(shù))：

(18)

(19)

式中：H可稱為動力硬度，通常對堅硬巖石，泊松比ν=0.25～0.35，H=(1.67～3.0)τp。

當巖石壓力p接近或超過動力硬度H時，其體積應變關系為弱的非線性關系，即l=l(p)≠0，若l=1 ，將其代入公式(7)，得到達到動力屈服極限后壓力與變形的關系：

(20)

2.2 超高速侵徹速度界定

利用公式(20)的極限關系來考察彈體侵徹的流體力學模型，Alekseevskii[22]和Tate[23-24]提出描述細長彈體高速侵徹的一維模型：

(21)

式中：ρj和ρt分別為彈體和靶體的密度，v為彈靶接觸點的運動速度，vj為彈體撞擊速度，Yj為彈體的動態(tài)硬度。

當撞擊速度很高導致碰彈靶接觸點產(chǎn)生的壓力遠遠超過彈靶的強度時，可以忽略彈靶的強度，最終得到流體力學模型的最終侵徹深度：

(22)

式中:h為侵徹深度，L為射流長度。

當侵徹速度很高、彈靶交界面處于理想流體狀態(tài)時，流體力學模型相當好地描述了聚能射流在障礙物中的侵徹過程，但當射流速度降低時，就開始與實驗情況存在明顯的偏差，為了得到靶體相對侵速轉入流體動力學狀態(tài)的最小彈體侵徹速度(動能)閾值，忽略靶體強度影響，給出修正的流體動力學模型：

(23)

(24)

可見，在H→0或v→的情況下，α→1，則公式(24)變成適用于理想液體的關系式。由此可以利用α來度量流體動力學模型偏離程度，定量得到靶體相對侵速轉入流體狀態(tài)的最小動能相對閾值。

由公式(24)可得：

(25)

根據(jù)式(25)第一個方程可知α=0.7時，v≈c，c通常稱為某種侵徹臨界速度，與靶體中彈性縱波速度ce或流體動力學聲速c0存在確定關系：

(26)

(27)

(28)

(3)Ma*≥3.0(Ma>4.5，α>0.95)為超高速流體動力學侵徹區(qū)間，采用流體動力學的聚能射流模型，作用在彈體頭部表面上的阻抗F為：

F=σr=H+ρtv2/2

(29)

2.3 超高速侵深計算方法

2.3.1 固體侵徹

在彈體侵徹速度較小時，可將彈體假設為剛體，則彈體垂直侵徹的運動方程和初始條件為[1,25]：

(30)

式中：mj、F、vj0分別為彈體初始質量、彈體阻抗和彈體初始速度，r0為彈體直徑，h為某時刻侵深。

引入固體侵徹阻抗函數(shù)公式(27)積分得到剛性彈固體侵徹深度計算公式：

(31)

式中：αs=4τs/3，βs=κρtcP，該公式具有同Bernard公式[1]相同的形式，應當注意的是，此處采用的是簡單的平面壓縮模型，對于實際彈體侵徹，還應當考慮彈頭的形狀計算作用在彈體表面的實際壓力，這會造成αs、βs實際參數(shù)的不同，限于篇幅此處不考慮彈頭形狀的影響。

計算表明，當vj0/cP≥0.1時，公式(31)中對數(shù)項(阻抗函數(shù)公式(27)中強度項4τs/3)的影響小于5%，侵徹阻抗主要由速度項決定，因此公式(31)可簡化成：

(32)

公式(32)從理論上說明了對于某一侵徹速度范圍基本呈線性關系。

若隨著彈體侵徹速度的增加，在超過臨界速度vcr出現(xiàn)彈體質量一定的磨蝕，侵徹的深度隨速度增加反而減小。文獻[26-27]根據(jù)實驗建議了下列彈體侵蝕函數(shù)：

(33)

式中：αe為無量綱參數(shù)，可根據(jù)實驗確定。則彈體的運動方程和阻抗函數(shù)可以寫成：

(34)

積分得到彈體侵深的解析表達式：

(35)

2.3.2 擬流體侵徹

隨著彈體速度增加，當彈速vj0/c≥1.5 時，進入擬流體侵徹階段。在運用公式(28)研究超高速侵深問題中，物理上是以內摩擦角φ=φ(v)變化表征彈靶狀態(tài)從半流體至流體變化影響。由公式(27)可知，以Ma≈1.5，α*=ν/(1-ν)作為從彈性狀態(tài)到內摩擦狀態(tài)的下邊界，以Ma≈4.5，α→0.95接近流體動力時，κ=1作為擬流體狀態(tài)的上邊界。在1.5

(36)

因此，利用公式(36)對公式(21)右項修正可得在定常狀態(tài)下侵徹深度為:

(37)

(38)

2.4 超高速成坑范圍計算方法

在Ma>1.5侵徹范圍，動能彈侵徹巖石介質的成坑大小(粉碎區(qū)和徑向裂紋大小與侵徹深度)及形狀直接影響彈丸動能輻射至巖石中地沖擊的能量效率。

2.4.1 瞬時成坑范圍計算

L.I.Slepyan[9]采用如圖8所示的模型研究了超高速彈體打擊巖石的瞬時成坑范圍，圖8中Ⅰ為擬流體區(qū)，該區(qū)域的破碎巖石可以視為無黏性不可壓縮理想流體；Ⅱ為裂紋區(qū)，該區(qū)域內的質點位移很?。虎鬄閺椥詤^(qū)，仍舊保持著巖石的初始物理力學特征。并作如下假設：(1)區(qū)域Ⅰ和Ⅱ的邊界是由巖石類材料的動力硬度H控制，當介質內的壓力p≤H時介質處于區(qū)域Ⅱ和Ⅲ中的裂紋和彈性狀態(tài)，p=H正是擬流體區(qū)與裂紋區(qū)的邊界，并且隨著彈體的侵徹，該邊界不斷沿著x軸移動。(2)彈體運動是在流體介質分流過程中進行的，并且流體是有勢的。以彈體為參考點，裂紋發(fā)生的邊界是以恒定速度前進的，這是由裂紋邊界壓力恒值與裂紋區(qū)介質的固定不動所決定的。(3)邊界Γ是無限延伸的，盡管不能得到邊界Γ的具體形狀，但是可以得到其半徑R0，也就是破碎區(qū)的半徑。因此，上述問題轉化為擬流體破碎介質在Ⅰ為邊界的管道中遇到彈體阻礙時的流動問題。

下面是在Slepyan提出的模型基礎上，通過對模型中流體項的修正，得到區(qū)域Ⅰ內的伯努利方程和連續(xù)方程為：

(39)

式中：v為向后噴射射流的速度極限，對應于p=0的情況；為破碎介質噴射的壓縮射流系數(shù)，表征了介質向后噴射過程中粒子速度的變化情況。

由式(39)得到：

(40)

公式(40)中射流系數(shù)的計算可借助Gurevich[28]的研究結果。對于彈體侵徹這類圓錐體的軸對稱問題求解極其復雜，但是實驗與數(shù)值分析表明，平面問題與軸對稱問題的壓縮射流系數(shù)基本相等，可以將等效楔形體所致的壓縮射流系數(shù)視為相應圓錐體的壓縮射流系數(shù)。平面問題壓縮射流的系數(shù)由下列公式確定：

(41)

2.4.2 成坑徑向裂紋區(qū)半徑計算

地下或表面接觸爆炸研究表明[29]，輻射至地下爆炸地震波能量與形成空腔或成坑裂紋區(qū)的邊界大小密切相關，即與爆心至裂紋區(qū)構成的體積相關。因此，無論是確定超高速動能彈對地撞擊形成地沖擊能量效率，還是為防護工程設計找到等效計算方法，均還需確定成坑徑向裂紋區(qū)半徑Rc的大小。

如圖8所示，設超高速粉碎區(qū)Ⅰ(流體)半徑為R0，其邊界壓力為p=H，介質的參數(shù)：楊氏模量E，Lamb系數(shù)為λ,μ(μ=G)，比表面能γ，斷裂韌度為Kc。根據(jù)文獻[30]可得裂紋區(qū)內表面位移u(R0)為：

(42)

根據(jù)裂紋增長需要的能量與外力功之間的關系:

(43)

化簡式(43)可得：

(44)

根據(jù)裂紋穩(wěn)定條件，對式(44)求導解得：

考慮到本問題為軸對稱問題，且假定ν=1/3,n=6π，將上述值代入式(44)得：

(45)

(46)

由公式(46)可估算成坑徑向裂紋區(qū)半徑。

2.5 超高速動能彈地沖擊等效計算方法

巖石介質屬于脆性材料，其抗拉強度遠低于抗壓強度或抗剪強度，沖擊波在自由表面產(chǎn)生反射拉伸波，當反射拉伸波強度、作用時間滿足一定條件時，自由面處將發(fā)生層裂或剝離現(xiàn)象。巖石中超高速侵徹實驗表明，隨著撞擊速度的增加，不再形成穩(wěn)定侵徹彈道，只在表面形成半球形或碟形彈坑，撞擊速度高到一定程度，其彈坑形態(tài)呈現(xiàn)為淺深度、大直徑的碟形或漏斗形。其成坑形狀如圖9中虛線所示的錐形漏斗，深度為h，半徑為Rl(對于堅硬巖石，Rl接近于成坑裂紋區(qū)半徑Rc)，成坑半錐角的余切值：

cotθ=h/Rl

(47)

根據(jù)式(46)、(37)，在Ma≥2.0時，計算得到成坑半錐角余切值cotθ隨撞擊相對速度Ma增加的變化曲線，如圖10所示。由圖10可見，隨著撞擊速度的增加，超高速成坑形狀以相似于地下淺埋爆炸向接觸爆炸形狀趨勢轉變，這為建立超高速地沖擊效應等效方法提供了物理基礎。此外，除彈坑形狀接近之外，根據(jù)實驗[3-5]，對于1 700～5 100 m/s左右的超高速彈撞擊巖石，實際工作中產(chǎn)生沖擊波的壓力范圍與地下化學爆炸產(chǎn)生的壓力較為接近。因此，可以將超高速彈體撞擊巖石效應，與巖石中淺埋化學裝藥爆炸效應進行等效轉換，利用淺埋爆炸研究超高速動能彈地沖擊效應。

將超高速撞擊時形成的彈坑作為引起地沖擊的震源，基于沖擊成坑深度確定等效裝藥埋深，基于沖擊成坑半徑確定彈坑拋擲指數(shù)，進而計算等效裝藥當量，只要沖擊彈坑形態(tài)與爆炸彈坑體積和形態(tài)相同(彈坑深度相同、彈坑半徑相同)，即可認為二者輻射出的地沖擊效應等效。因此，以彈坑體積和形態(tài)為等效指標，可建立超高速撞擊與標準裝藥爆炸的能量等效關系。

巖土中爆炸彈坑計算公式，多為半理論半經(jīng)驗模型，應用最為廣泛的有：列文斯頓(Livingston)漏斗計算公式、鮑列斯科夫(Боресков)公式、蘭格福斯(Langefors)公式、弗拉索夫(Власов)公式、波克羅夫斯基(Покровский)公式等。這些公式很相似，且研究方法也比較接近。超高速動能彈丸對地打擊的毀傷效應接近于觸地爆或淺埋爆，其地沖擊能量主要耗散在介質的變形和破壞，因而可以忽略面力效應和重力效應，于是彈坑裝藥量的計算公式[7]簡化為：

(48)

式中：Q為等效裝藥量；k3為爆破多方指數(shù)，9#硝銨炸藥爆破花崗巖取k3=1.8～2.55 kg/m3；nz=Rl/h為彈坑拋擲指數(shù)；h為彈藥埋深，這里取超高速撞擊成坑深度，按照式(37)計算；Rl為漏斗坑半徑，這里取超高速撞擊成坑半徑，按照式(46)計算。

將等效裝藥的能量與超高速彈丸動能進行對比，得到超高速動能彈等效裝藥的能量換算系數(shù)：

(49)

式中：Qv為炸藥爆熱，9#硝銨炸藥與TNT炸藥的爆熱均為4 184 kJ/kg；δ=1為熱功當量。經(jīng)過理論分析與數(shù)值計算，發(fā)現(xiàn)等效裝藥與超高速撞擊的能量換算系數(shù)，即式(49)，可以表述為更普遍的形式：

η≈kaeMa

(50)

式中：ka為多方指數(shù)，由彈靶初始參數(shù)和邊界條件確定，當彈/靶材料、彈丸質量、長徑比、彈形系數(shù)固定時，ka值恒定不變，它代表等效裝藥能量與彈丸動能相同時的撞擊速度。

因此，可以算得超高速撞擊彈丸的等效裝藥能量，進而依據(jù)爆炸地沖擊效應進行安全防護層厚度的估算。超高速武器的最小安全防護層厚度Hm主要由直接侵徹深度(即沖擊成坑深度)h和地沖擊不震塌厚度hs兩部分構成，可寫成如下形式[3,32-33]：

Hm=h+hs

(51)

地沖擊不震塌厚度hs可利用超高速武器流體侵徹與淺埋爆炸的等效關系來確定[33-34]：

(52)

式中:m為填塞系數(shù)；kp為破壞系數(shù)，對中等強度巖石，kp≈0.53；對有被覆的地下工程，kc≈2.5。

3 (超)高速侵徹實驗與等效計算

3.1 巖石的超高速侵徹與撞擊成坑實驗

為驗證理論成果的準確性，利用二級輕氣炮開展了卵形長桿高強鋼彈對花崗巖的侵徹效應實驗。

靶體采用產(chǎn)自山東五蓮縣的花崗巖，用圓柱形鋼制套筒包裹，并利用已有經(jīng)驗公式估算成坑范圍和侵徹深度，滿足半無限侵徹要求。實驗前測得花崗巖參數(shù)為：密度ρt=2 670 kg/m3，體積聲速c0=4 200 m/s，單軸抗壓強度約150 MPa， 巖石直剪剪切強度約50.0 MPa，剪切模量G≈27.0 GPa，斷裂韌度Kc≈1.7 MPa·m1/2，泊松比ν≈0.2，動力硬度H≈3 GPa，特征速度c≈1 500 m/s。

實驗分兩階段進行，第一階段進行了1 100～1 800 m/s 著靶速度范圍內的高速侵徹實驗，采用如圖11所示的卵形長桿彈體，彈體全長L=54 mm，直徑d0=2r0= 10.8 mm，彈體長徑比L/d0=5，彈頭形狀系數(shù) CRH=3.0，彈體初始質量(不含彈托)mj=32.45 g ，密度ρj=7 850 kg/m3。彈體材料采用高強合金鋼30CrMnSiNi2A，經(jīng)過熱處理后硬度為 HRC50。

具體實驗方案和過程可參閱文獻[26]，圖12為實驗后回收的彈體照片，可見撞擊速度越高，彈體侵蝕越嚴重，實驗測得不同發(fā)射速度下彈體侵徹深度和回收彈體的質量，如表2所示。

第二階段進行了1 800～4 200 m/s著靶速度范圍內的超高速侵徹實驗，靶體采用與第一階段實驗相同的材料。但為提高彈體速度，第二階段實驗縮小了彈體尺寸。其中彈體直徑為7.2 mm，彈體質量9.67 g。實驗后采用視覺定性觀察與三維光學掃描系統(tǒng)定量量測相結合的方法測試靶體破壞情況。

序號發(fā)射速度/(m/s)發(fā)射速度Ma侵徹深度h/L彈體殘余質量m/mj11 1960.7982.2000.97521 4260.9512.7040.96831 4300.9532.8850.96541 6001.0673.0350.95051 6541.1032.4810.95061 7521.1681.6190.31371 7891.1931.5390.28881 8081.2051.7300.316

序號發(fā)射速度/(m/s)發(fā)射速度Ma侵徹深度h/L靶體表面破碎區(qū)直徑Rc/d011 829.41.2200.80625.6922 231.01.4871.25038.1932 600.31.7340.86136.8142 806.91.8711.44439.5852 878.21.9191.66746.5363 199.62.1331.61153.8273 542.12.3611.72265.2884 135.62.7571.80678.47

注：序號3實驗結果異常，未列入圖13中。

對于1 800 m/s以上的著靶速度范圍，實驗結束后彈體均完全破壞，彈坑底部亦無彈體殘留物。彈坑邊緣極不規(guī)則，呈現(xiàn)顯著的剝離成坑。這種不規(guī)則的彈坑邊緣為應力波在表面多次反射拉伸形成。部分實驗可觀察到未完全與基體分離的巖石剝離層。實驗中可將靶體表面彈坑尺寸視為裂紋區(qū)半徑，表3給出了侵徹深度和靶體表面裂紋區(qū)半徑的三維掃描的結果，圖13～14則分別給出了侵徹深度、靶體表面裂紋區(qū)半徑與彈體速度的關系曲線。

從實驗結果(表2～3)可清晰地看出，對于30CrMnSiNi2A合金鋼彈侵徹花崗巖，當彈體速度vj/c≤vcr/c≈1.1時，侵徹深度隨著侵徹速度線性增加，從回收彈體的質量來看，侵徹速度越大，回收彈體的質量越小，但與彈體初始質量相比，整個區(qū)間內彈體的質量損失小于 5%，屬剛性侵徹階段。當vj超出臨界速度vcr時，回收彈體的質量陡降，同時伴隨著侵徹深度的急劇減小，屬彈體磨蝕階段。當彈體侵徹速度vj達到vj/c≈1.5時，彈頭被完全磨蝕，進入擬流體侵徹階段，隨著侵徹速度的增加，侵深再次緩慢增大，但增長幅度較為緩慢，呈非線性增長，在超過流體動力學極限一定幅值后侵深再緩慢降低，逐漸趨向流體動力學侵徹極限。

圖13給出了固體(Ma≤1.5，公式(35))和擬流體侵徹范圍(1.5≤Ma≤4.5，公式(37))內侵徹深度理論計算結果與花崗巖中實驗的結果對比。圖14則給出了擬流體侵徹范圍(1.5≤Ma≤4.5)內成坑徑向裂紋區(qū)半徑理論計算結果(公式(46))與花崗巖中實驗結果對比。結果表明，相較于射流模型、A-T模型，利用內摩擦理論修正的擬流體侵徹計算模型----(侵徹深度計算公式(37)與撞擊成坑計算公式(46))計算結果與實驗結果吻合更好。

3.2 巖石的超高速侵徹地沖擊實驗

與中高速鉆地武器相比，超高速武器除了產(chǎn)生成坑和侵徹效應，還將以地沖擊方式釋放大量能量[31-33]。為揭示巖石靶中地沖擊傳播規(guī)律，開展了巖石的超高速侵徹地沖擊實驗。

實驗采用直徑7.2 mm的尖卵形彈，彈體質量9.67 g(同超高速侵徹和撞擊成坑第二階段實驗)。為了布置靶內的壓力傳感器，靶體采用花崗巖制成分層靶(花崗巖參數(shù)同前)，靶體截面為邊長600 mm的正方形，總厚度800 mm，總共分為6層，分層靶體層間采用環(huán)氧樹脂進行粘結，并預埋PVDF薄膜壓力傳感器。靶體由內徑1 000 mm，壁厚10 mm的鋼制靶圈和C30素混凝土進行約束。地沖擊傳播的初始階段，靶體處于受慣性約束的受壓狀態(tài)，此時膠層對靶體中地沖擊的影響主要受兩者波阻抗及厚度控制?；◢弾r的波阻抗約為1.13×107kg/(m2·s)，樹脂的波阻抗約為2.71×106kg/(m2·s)，其波阻抗之比約為4∶1，則壓縮波在膠層中反射四次之后即可滿足膠層前后界面應力差小于10%。由于樹脂層厚度小于440 μm，樹脂中波速約為2.4 km/s，則壓縮波在膠層中一次往返需約0.367 μs。實驗實測壓縮波最小升壓時間約10 μs，在這個過程中，壓縮波已在試件中傳播約27次，滿足均勻化條件，可認為分層靶體對地沖擊峰值壓力的影響很小。

實驗獲得了3 558 m/s撞擊速度下地沖擊波壓力數(shù)據(jù)，如圖15所示。

當花崗巖處于固體內摩擦區(qū)域時，根據(jù)文獻[29]可取內摩擦狀態(tài)下的泊松比ν≈ 0.35，衰減系數(shù)理論預測結果n2=1.46，而花崗巖中彈塑性球面波的衰減系數(shù)為1.1～1.2[8]。根據(jù)前述花崗巖的材料參數(shù)，對10～30 cm的地沖擊，其峰值超過了花崗巖的抗壓強度，而未達到花崗巖的彈性極限(約3 GPa[27])。按本文前面分析的巖石靶中沖擊波傳播規(guī)律，測試的地沖擊波數(shù)據(jù)應處在擬流體區(qū)域與彈塑性區(qū)域之間，則其衰減系數(shù)亦應在兩者之間。

將撞擊速度為3 558 m/s的各測點壓力峰值按冪函數(shù)擬合，衰減規(guī)律如圖16所示，其中應力單位為MPa，距離單位為cm，得到：

pmax=16.1r-1.4

(54)

即衰減指數(shù)n=1.4，與理論預測結果吻合。

實驗中從彈體完全熔化的強沖擊波壓力，過渡至擬流體區(qū)其壓力峰值更高，衰減系數(shù)更大，因實驗彈體較小，這一過渡區(qū)域范圍很小而未能布設傳感器，這將在后期的工作中展開研究。

3.3 巖石的超高速侵徹地沖擊效應的等效計算

依據(jù)前文給出的超高速動能彈地沖擊等效計算方法，可以算得超高速彈撞擊巖石的等效淺埋爆炸的裝藥量。按照巖石中爆炸應力波公式計算等效裝藥爆炸應力波形，考察其與超高速彈體撞擊巖石應力波形的擬合情況，可以驗證等效方法的有效性。根據(jù)實驗統(tǒng)計，巖土爆炸應力波成指數(shù)衰減，其中應用最多的是文獻[33-34]提供的計算公式：

(54)

(55)

式中：pmax為峰值壓力，α=1/ta為衰減系數(shù)，ta=r/cP為波到達時間，tr為升壓時間，fv為耦合系數(shù)，ρt材料密度，cP縱波速度，Q為等效TNT當量；r為爆心至測點距離，n為衰減指數(shù)。

根據(jù)超高速彈體撞擊花崗巖的實驗(彈丸速度為3 558 m/s)，選取等效裝藥爆炸計算參數(shù)：靶體密度ρt=2 670 kg/m3，聲速cP=4 200 m/s，淺埋爆炸時取耦合系數(shù)fv=0.69，可取η=1.72，即等效TNT當量為1.72倍彈體動能，Q=25.22 g，D分別為10、15、20、25、30、70 cm，考察區(qū)域對應巖石的彈塑性應力狀態(tài)區(qū)，取衰減指數(shù)n=1.4，tr=0.3ta。由公式(55)計算的等效裝藥爆炸應力波形時程曲線(見圖17)與超高速撞擊應力波形時程曲線(見圖15)具有很好的一致性；應力波在空間位置上的衰減曲線幾乎完全重合(見圖18)。

綜上所述，由于等效裝藥轉換方法算得的地沖擊波形與超高速動能彈地沖擊波形十分吻合，因此，本文中提出的等效方法基本合理有效?；谠摰刃Х椒梢杂嬎愠咚賱幽軓椡璐驌艋◢弾r掩體的最小防護層厚度。如果設超高速動能彈丸材料為30CrMnSiNiA，密度為7 850 kg/m3，長徑比為5，質量0.1～1.0 t，花崗巖山體單軸抗壓強度為150 MPa，密度為2 670 kg/m3，縱波速度4 200 m/s，斷裂韌度2.7 MPa·m1/2，動力硬度3 GPa，爆破指數(shù)2.0 kg/m3。按照式(51)算得速度為1 700 m/s(5 馬赫)、3 400 m/s(10 馬赫)、5 100 m/s(15 馬赫)時，最小防護層厚度與超高速彈丸質量的關系如圖19所示。

4 結 論

(1)對受限狀態(tài)下，巖石的動態(tài)壓縮機理進行研究，依據(jù)已有的堅硬巖石動態(tài)壓縮實驗數(shù)據(jù)，提出在低應力彈塑性區(qū)到高應力流體區(qū)之間存在半流體過渡區(qū)域，這一過渡區(qū)的范圍對于巖石來講大約在5～20 GPa，對應侵徹速度范圍大約(5～15) 馬赫。

(2)在半流體過渡區(qū)，巖石處于一種顯著增強的塑性狀態(tài)，即隨著壓力的增加，巖石強度也在緩慢提高，不能忽略，但隨著應變的進一步提高， 其增速將變得越來越平緩直至無限接近于理想流體狀態(tài)，這種增強的本質在于受限內摩擦。物理上是以內摩擦角φ=φ(v)變化表征彈靶狀態(tài)從半流體至流體的變化，隨著侵徹速度的提高，φ值無限接近于0。

(3)在內摩擦機理研究的基礎上，提出了涵蓋彈塑性、內摩擦半流體和流體階段的(超)高速動能武器對地侵徹壓力/阻抗函數(shù)，提出了隨彈靶相對侵速提高，靶體由固體侵徹轉入半流體侵徹、流體侵徹的速度范圍：Ma≤1.5為固體侵徹；1.5≤Ma≤4.5為半流體侵徹；4.5≤Ma為流體侵徹。

(4)針對不同彈速侵徹區(qū)間，給出了相應侵徹深度計算方法與公式，揭示了彈體質量磨蝕變化帶來的侵徹深度逆轉、侵徹深度趨向極限等基本機理。

(5)在Slepyan提出的模型基礎上，通過對模型中流體項進行修正，并根據(jù)彈靶相互作用近區(qū)邊界地沖擊能量輸運關系，推導得到了成坑半徑和徑向裂紋區(qū)半徑的計算公式，揭示了彈靶射流作用帶來的彈坑擴增基本機理。

(6)系統(tǒng)進行了彈體侵速1 100～4 200 m/s的30CrMnSiNi2A合金長桿鋼彈侵徹花崗巖的(超)高速侵徹實驗，測得了侵深、彈體磨蝕及彈坑尺寸的關鍵毀傷參數(shù)，實驗驗證了理論計算公式的準確性。

(7)給出了超高速動能彈地沖擊等效計算方法，結合實驗數(shù)據(jù)驗證了等效方法的有效性，基于等效計算方法估算出5 馬赫、10 馬赫、15 馬赫超高速撞擊速度下最小防護層厚度與彈丸質量的關系曲線。