基于尖點突變理論的巖溶區(qū)嵌巖樁溶洞頂板安全厚度研究

梁冠亭，肖開乾，鄭宏偉，夏文輝

(1.武漢市市政建設(shè)集團(tuán)有限公司，湖北 武漢 430056；2.武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，湖北 武漢 430072)

我國巖溶地質(zhì)分布廣泛、巖溶地質(zhì)狀況復(fù)雜多樣，在巖溶區(qū)開展基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)時，樁基礎(chǔ)因其承載力高、沉降小等特點被廣泛應(yīng)用于西部山區(qū)的橋梁工程建設(shè)中。而溶洞頂板安全厚度的計算是工程設(shè)計的關(guān)鍵技術(shù)之一，因此開展巖溶區(qū)嵌巖樁溶洞頂板安全厚度的研究對實際工程的指導(dǎo)具有重要的意義。

目前，國內(nèi)眾多學(xué)者針對該問題開展了大量的研究，且在試驗研究、數(shù)值研究及理論研究方面都取得了較為豐碩的成果。在試驗研究方面，趙明華等[1]根據(jù)相似理論，設(shè)計了溶洞頂板破壞模式的大比例模型試驗，得到了不同厚度條件下溶洞頂板的破壞特性；張慧樂等[2]、張智浩等[3]基于室內(nèi)模型試驗，探討了不同形狀、跨徑、大小的溶洞對嵌巖樁樁端承載極限承載力的影響。在數(shù)值研究方面，黎斌等[4]采用三維有限元法對嵌巖樁樁端荷載作用下溶洞頂板的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析；唐煒等[5]基于有限差分軟件FLAC3D，并采用強度折減法分析了溶洞頂板的穩(wěn)定性和塑性區(qū)發(fā)展規(guī)律；尹凱麗等[6]則采用ANSYS軟件對覆蓋型溶洞進(jìn)行了正交數(shù)值模擬試驗。然而由于工程地質(zhì)的不確定性以及計算參數(shù)選取的復(fù)雜性，使得數(shù)值方法在實際工程的應(yīng)用存在局限性，因此有必要開展巖溶區(qū)嵌巖樁溶洞頂板穩(wěn)定性評價理論方法的研究。蔣沖等[7]根據(jù)Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則，建立了巖溶區(qū)路基溶洞頂板安全厚度確定方法；趙明華等[8]結(jié)合樁端巖層極限狀態(tài)下的傳力機制，分析了巖溶區(qū)嵌巖樁樁端極限破壞模式，給出了溶洞發(fā)生沖切破壞和冒頂破壞時樁端的極限承載力計算公式。以上研究雖然已經(jīng)較為系統(tǒng)，能較好地指導(dǎo)工程實踐，但考慮到樁端巖層破壞的不規(guī)則、不連續(xù)及不均勻的突發(fā)特點[9]，何忠明等[10]根據(jù)極限平衡的思想，基于尖點突變理論建立了路堤填筑過程中溶洞頂板失穩(wěn)判定的數(shù)學(xué)模型；趙明華等[11]、龔先兵等[12]將溶洞頂板視為固支梁，基于突變理論推得了嵌巖樁巖溶頂板安全厚度和極限承載力的計算公式。然而，潘岳等[13]認(rèn)為均布荷載作用下兩端固支梁結(jié)構(gòu)沒有跳躍失穩(wěn)機制，不屬于突變理論討論范疇。

鑒于此，本文根據(jù)巖溶區(qū)嵌巖樁-溶洞體系的工程特點，將結(jié)構(gòu)系統(tǒng)簡化為頂板兩端受滑動支座約束，且水平向作用地應(yīng)力的平直梁模型，基于尖點突變理論分析頂板失穩(wěn)破壞機制，推導(dǎo)了滿足頂板穩(wěn)定的必要條件和充分條件，求得了溶洞頂板的最小安全厚度。最后，通過工程算例驗證本文方法的可行性。

1 計算模型及基本假定

對于如圖1所示的溶洞頂板與嵌巖樁作用系統(tǒng)，控制頂板破壞的作用力有頂板自重及頂板上的荷載與地應(yīng)力。取單位寬度頂板，視為如圖2所示的平直梁，簡化為平面應(yīng)變問題處理，并做如下假定：

(1)頂板兩端約束簡化為滑動支座，巖體水平向地應(yīng)力簡化為分布荷載作用在溶洞頂板兩端。

(2)溶洞頂板巖層自重及其上覆土層作用力視為均布荷載作用在頂板上。

(3)嵌巖樁視為簡單的端承樁，不考慮上部樁周土側(cè)摩阻力，樁端阻力簡化為集中力作用在頂板上。

圖1 溶洞頂板與嵌巖樁的作用系統(tǒng)Fig.1 System of cave roof and rock-socketed pile

圖2 溶洞頂板破壞的力學(xué)模型Fig.2 Mechanical model of cave roof failure

圖1、圖2中：γ1為上覆土層的自重，h1為上覆土層的厚度，γ為巖層的重度，h2為基樁嵌巖深度，h為溶洞頂板厚度，L為溶洞頂板的跨徑，q為頂板巖層及其上覆土層自重，q=γ1h1+γ(h2+h)，F(xiàn)為樁端阻力，f為梁的撓度，σh為地應(yīng)力強度，巖體的水平地應(yīng)力大小N=σh·h。

2 尖點突變模型的建立

2.1 勢函數(shù)

梁軸線撓曲線方程f(s)可按照傅里葉級數(shù)展開：

(1)

由于梁在荷載作用下發(fā)生微彎曲，結(jié)合頂板兩端滑動支座的約束條件，在二級近似的條件下，梁的軸線撓曲線可近似用式(2)表示[14]：

(2)

式中：s——弧長；

Δ——梁軸線中點的撓度。

從彈性穩(wěn)定理論知，梁結(jié)構(gòu)的總勢能為彎曲變形能與荷載勢能改變量之和，即：

Ω=U-W1-W2-W3

(3)

式中：U——梁的彎曲應(yīng)變能；

W1，W2，W3——均布力q、集中力F、水平力N所做的功。

梁撓度曲線在s處的曲率用弧長坐標(biāo)表示為：

(4)

故梁的彎曲變形能為：

(5)

式中：D——溶洞頂板的抗彎剛度，可按式(6)計算：

(6)

式中：E，μ——頂板所在巖層的彈性模量、泊松比。

均布力q所做的功為：

(7)

集中力F所做的功為：

W2=Fδ

(8)

設(shè)梁受水平作用力N后，兩端的位移為ΔL，并進(jìn)行Taylor級數(shù)展開，將式(2)代入得：

(9)

積分可得水平力N所做的功：

(10)

將式(5)、(7)、(8)和(10)代入式(3)中，并略去高階項，整理得：

(11)

2.2 尖點突變模型平衡曲面和分叉集方程

對式(11)作變量代換，令：

(12)

可得巖溶區(qū)嵌巖樁溶洞頂板結(jié)構(gòu)系統(tǒng)勢函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式：

Ω=x4+ux2+vx

(13)

式中：x——系統(tǒng)的狀態(tài)變量；

u，v——系統(tǒng)的控制變量。

x，u，v構(gòu)成三維空間，如圖3所示。

圖3 尖點突變模型平衡曲線和分叉集Fig.3 Equilibrium curve and bifurcation set of cusp catastrophe model

對勢函數(shù)Ω求一階導(dǎo)數(shù)，得到系統(tǒng)作準(zhǔn)靜態(tài)形變時的平衡方程：

(14)

其圖形為尖點突變模型平衡曲面M(圖3)。平衡曲面M上有2條垂直切線的點集S的方程為：

(15)

S集在控制平面上的投影為分叉集(圖3)。

聯(lián)立式(14)、(15)消去x，即可得到結(jié)構(gòu)系統(tǒng)尖點突變模型的分叉集方程：

Δ=8u3+27v2=0

(16)

從圖3中可以看出，M分成三葉：上葉、中葉和下葉，在中葉上有：

(17)

在上葉和下葉上有：

(18)

2.3 巖體水平地應(yīng)力

根據(jù)圖2對溶洞頂板破壞模型的受力分析可知，溶洞頂板巖層及其上覆土層自重q、樁端阻力F以及巖體的水平地應(yīng)力N是控制頂板失穩(wěn)破壞的關(guān)鍵因素，根據(jù)張震等[15]基于李四光等學(xué)者對全國各地區(qū)地應(yīng)力分布規(guī)律的推算結(jié)果，最大水平地應(yīng)力σhmax和最小水平地應(yīng)力σhmin可按式(19)計算：

(19)

式中：H——溶洞的埋深，H=h1+h2+h。

2.4 巖溶區(qū)嵌巖樁溶洞頂板最小安全厚度

(1)巖溶區(qū)嵌巖樁溶洞頂板穩(wěn)定的必要條件

由圖3可知，只有當(dāng)u≤0，式(14)才有實數(shù)解，此時系統(tǒng)才有條件跨越分叉集，進(jìn)而導(dǎo)致溶洞頂板失穩(wěn)，因此u>0是巖溶區(qū)嵌巖樁溶洞頂板穩(wěn)定的必要條件，即：

(20)

為安全起見，選取最大水平地應(yīng)力σhmax作為加載在溶洞兩端的水平地應(yīng)力，整理可得溶洞頂板最小安全厚度要滿足：

(21)

式中，η可按式(22)計算：

(22)

(2)巖溶區(qū)嵌巖樁溶洞頂板穩(wěn)定的充分條件

根據(jù)突變理論，當(dāng)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)滿足分叉集方程式(15)時，溶洞頂板必然發(fā)生失穩(wěn)[16]。因此可分別令分叉集方Δ>0，Δ=0，Δ<0對溶洞頂板的穩(wěn)定性進(jìn)行討論。

1)當(dāng)Δ>0，平衡曲面方程式(14)只有1個實數(shù)根，此時系統(tǒng)變形是連續(xù)的，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的平衡態(tài)，溶洞頂板不會發(fā)生突變。

2)當(dāng)Δ=0，式(14)將有3個實根，其中有2個相等的實根，即：

(23)

式中x1對應(yīng)不穩(wěn)定平衡點，x2，x3對應(yīng)穩(wěn)定平衡點，當(dāng)系統(tǒng)受到擾動時發(fā)生突變時，必定從一個分支跨越到另一個分支，突變值為：

(24)

此時，系統(tǒng)存在一個極限穩(wěn)定狀態(tài)，溶洞頂板處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

3)當(dāng)Δ<0，式(14)有3個不相等的實根，對應(yīng)3個平衡狀態(tài)，此時系統(tǒng)跨過分叉集，溶洞頂板將發(fā)生失穩(wěn)。

根據(jù)上述分析，巖溶區(qū)嵌巖樁溶洞頂板穩(wěn)定的充分條件是Δ>0，整理后可得：

(25)

式(25)是一個關(guān)于溶洞頂板最小安全厚度h的超越方程，可通過數(shù)值方法進(jìn)行求解。

綜上所述，巖溶區(qū)嵌巖樁溶洞頂板最小安全厚度的充要條件為式(21)和式(25)。

2.5 安全儲備的討論

由于巖溶區(qū)嵌巖樁溶洞頂板的安全厚度受到諸多因素的影響，如巖石節(jié)理裂隙發(fā)育、溶洞地下水情況、溶洞自身形態(tài)等，且由于對頂板計算模型進(jìn)行了相應(yīng)的簡化，如假定了樁端阻力為集中力作用在頂板上等，與實際情況存在著差異。因此，工程中一般采用安全系數(shù)的方法，建議安全系數(shù)k一般取3.0～4.0[17]。

3 工程算例

某高速公路一座跨越巖溶區(qū)的橋梁，本文選取其0#橋臺的1根樁進(jìn)行驗算，其基本工程概況如圖4所示，該樁作用在圓柱形溶洞正上方，計算參數(shù)取值如表1所示。

圖4 工程概況Fig.4 Engineering overview

計算參數(shù)取值樁長l/m14.7嵌巖深度h/m1樁徑d/m1.5溶洞跨徑L/m18設(shè)計荷載F/kN9 186中風(fēng)化石灰?guī)r彈性模量E/GPa17中風(fēng)化石灰?guī)r泊松比μ0.25中風(fēng)化石灰?guī)r重度γ/( kN·m-3)28填筑土重度γ1/( kN·m-3)17亞黏土、黏土重度γ1/( kN·m-3)18砂礫重度γ1/( kN·m-3)20

結(jié)合上述工程，采用本文的方法，安全系數(shù)k取4.0。根據(jù)巖溶區(qū)嵌巖樁溶洞頂板最小安全厚度的必要條件，按式(21)計算可得溶洞頂板的最小安全厚度為h=3.02 m，將求得的頂板最小安全厚度代入式(15)中可得分叉集方程Δ>0，即溶洞頂板穩(wěn)定的充分條件滿足要求。

為進(jìn)一步驗證該方法的可靠性，將本文計算與按梁板理論計算的結(jié)果進(jìn)行對比。按照文獻(xiàn)[17]中的計算方法，安全系數(shù)k仍取4.0，當(dāng)溶洞頂板按抗沖切進(jìn)行驗算時，可得溶洞頂板的最小安全厚度h=9.72 m；當(dāng)溶洞頂板按抗剪切進(jìn)行驗算時，可得溶洞頂板的最小安全厚度h=2.04 m；當(dāng)溶洞頂板按彎拉進(jìn)行驗算時，可得溶洞頂板的最小安全厚度h=6.83 m?？梢姡凑諅鹘y(tǒng)梁板理論計算求得的頂板最小安全厚度變化范圍較大，若取頂板分別按抗沖切、抗剪切、抗彎驗算求得的最小安全厚度的最大值h=9.72 m作為工程設(shè)計時的安全厚度，計算結(jié)果過于保守。

本文計算得到的頂板最小安全厚度h=3.02 m，介于頂板按抗剪切驗算與頂板按抗沖切驗算所求得最小安全厚度之間。而實際工程中樁端巖層厚度為3.54 m，處于穩(wěn)定狀態(tài)，故未對溶洞進(jìn)行處置，目前該工程運行竣工多年且運行良好，因此本文計算方法在工程設(shè)計中是合理可行的。

4 結(jié)論

(1)根據(jù)巖溶區(qū)嵌巖樁-溶洞體系的工程特點，將結(jié)構(gòu)系統(tǒng)簡化為頂板兩端受滑動支座約束，且水平向作用地應(yīng)力的平直梁模型，基于尖點突變理論分析頂板失穩(wěn)破壞機制，為巖溶區(qū)嵌巖樁溶洞頂板穩(wěn)定性的研究提供新的定量分析方法。

(2)根據(jù)巖溶區(qū)嵌巖樁溶洞頂板穩(wěn)定的充分條件和必要條件，導(dǎo)得溶洞頂板的最小安全厚度，該方法綜合考慮了上覆巖土體自重及樁端荷載對溶洞頂板穩(wěn)定性的影響，并通過工程實例驗證了本文方法的可行性，可為同類工程提供參考。

(3)本文計算方法將溶洞頂板視為平直梁模型，對現(xiàn)有梁板結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化，但仍未考慮溶洞實際尺寸效應(yīng)的影響，對尺寸效應(yīng)的研究將是筆者今后研究的重點。