多目標(biāo)跟蹤下的分布式MIMO雷達(dá)資源聯(lián)合優(yōu)化算法

宋喜玉,任修坤,鄭娜娥,田英華

(戰(zhàn)略支援部隊(duì)信息工程大學(xué),450001,鄭州)

分布式MIMO雷達(dá)寬分布的天線結(jié)構(gòu)及空間多通道的特點(diǎn)使其具有強(qiáng)大的目標(biāo)探測(cè)和識(shí)別能力,成為雷達(dá)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[1-2]。雷達(dá)資源分配是發(fā)揮其系統(tǒng)優(yōu)勢(shì)的關(guān)鍵所在[3-6]。因此,分布式MIMO雷達(dá)的資源優(yōu)化問題值得研究。分布式MIMO雷達(dá)的資源優(yōu)化可以分為兩類:一類是基于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的陣元選取與布置[7-9];另一類是基于發(fā)射參數(shù)的功率、帶寬和時(shí)長資源的分配[10-12]。對(duì)于第一類資源而言,目前的研究一般是將陣元選取問題視為背包問題,采用啟發(fā)式算法(heuristic algorithm,HA)和陣元分組的方法進(jìn)行陣元選取[7,13],在此基礎(chǔ)上,宋喜玉等進(jìn)一步研究了多目標(biāo)不同跟蹤優(yōu)先級(jí)條件下的陣元選取問題[8]。對(duì)于第二類資源優(yōu)化的研究成果主要集中在功率分配方面。嚴(yán)俊坤等采用梯度投影法直接對(duì)功率分配問題進(jìn)行求解[14]。GARCIA等采用連續(xù)參數(shù)凸近似(sequential parametric convex approximation,SPCA)算法進(jìn)行多目標(biāo)定位和速度估計(jì)[15-16]。

基于此,本文對(duì)分布式MIMO雷達(dá)系統(tǒng)任意雷達(dá)布陣形勢(shì)下的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與發(fā)射參數(shù)聯(lián)合優(yōu)化問題進(jìn)行了研究,提出了HA與SPCA算法相結(jié)合的優(yōu)化算法,考慮了發(fā)射功率總量與陣元選取數(shù)量的影響。本文分別在目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡確定與隨機(jī)兩種環(huán)境下實(shí)驗(yàn),對(duì)算法性能進(jìn)行了仿真驗(yàn)證和評(píng)估。與現(xiàn)有研究相比,本文的研究問題能夠更加符合實(shí)際應(yīng)用環(huán)境,且研究方法可以估算出雷達(dá)系統(tǒng)的跟蹤能力和資源需求量,對(duì)實(shí)際應(yīng)用具有重要參考意義。

1 數(shù)學(xué)模型

假設(shè)分布式MIMO雷達(dá)系統(tǒng)含有M部發(fā)射雷達(dá),N部接收雷達(dá),每部雷達(dá)均為單天線雷達(dá)。在二維平面內(nèi),發(fā)射雷達(dá)的坐標(biāo)為(xt,m,yt,m),m=1,…,M,接收雷達(dá)的坐標(biāo)為(xr,n,yr,n),n=1,…,N。雷達(dá)發(fā)射正交信號(hào),低通等效為sm(t),滿足

其中,Tm為第m部雷達(dá)發(fā)射信號(hào)持續(xù)時(shí)長。

1.1 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型

場(chǎng)景中存在Q個(gè)運(yùn)動(dòng)目標(biāo),定義對(duì)第q個(gè)目標(biāo)第k次觀測(cè)時(shí)的目標(biāo)狀態(tài)向量為xq,k=[xq,k,yq,k,vx,q,k,vy,q,k]T,目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型表示為

xq,k=Fxq,k-1+vq,k-1

(1)

式中:F為目標(biāo)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;vq,k表示零均值、白色高斯過程噪聲序列,其協(xié)方差矩陣為Qk[14]。

1.2 目標(biāo)觀測(cè)模型

假設(shè)分布式MIMO雷達(dá)系統(tǒng)各接收端可以實(shí)現(xiàn)時(shí)間同步。在第k次觀測(cè)時(shí),第n部接收雷達(dá)接收到的低通等效信號(hào)可以表示為[16]

τmqn,k)e-jωmqn,kt+wn,k(t)

(2)

各時(shí)刻,融合中心根據(jù)數(shù)據(jù)的時(shí)延和多普勒信息對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤,非線性觀測(cè)過程描述為

zq,k=f(xq,k)+nq,k

(3)

式中:f(·)表示非線性的觀測(cè)過程;nq,k為觀測(cè)的高斯白噪聲;zq,k=[τq,k,ωq,k]為觀測(cè)目標(biāo)時(shí)延和多普勒。本文采用擴(kuò)展卡爾曼濾波器對(duì)目標(biāo)跟蹤。

1.3 目標(biāo)位置估計(jì)精度函數(shù)

在高信噪比時(shí),參數(shù)估計(jì)的克拉美羅界與無偏估計(jì)量十分接近[17]。對(duì)于運(yùn)動(dòng)目標(biāo),可以采用貝葉斯克拉美羅界(Bayesian Cramer-Rao bound,BCRB)作為目標(biāo)參數(shù)估計(jì)的度量準(zhǔn)則。根據(jù)文獻(xiàn)[17],第q個(gè)目標(biāo)的狀態(tài)估計(jì)的克拉美羅矩陣為Cq,k,其對(duì)角線元素依次為各個(gè)狀態(tài)估計(jì)分量方差的下界,則目標(biāo)的位置估計(jì)誤差滿足

diagCq,k,1+diagCq,k,2=Tq,k

(4)

(5)

雷達(dá)系統(tǒng)對(duì)各個(gè)目標(biāo)的跟蹤精度存在差異,考慮到系統(tǒng)的跟蹤能力往往取決于跟蹤精度最差的一個(gè)目標(biāo),為更好地掌握系統(tǒng)對(duì)多目標(biāo)整體的跟蹤精度,定義多目標(biāo)位置估計(jì)BCRB的最大值為多目標(biāo)整體位置估計(jì)精度,便于掌握系統(tǒng)對(duì)單個(gè)目標(biāo)跟蹤能力的下限。因此,文中多目標(biāo)整體位置估計(jì)精度函數(shù)為

(6)

2 資源聯(lián)合優(yōu)化算法

2.1 資源優(yōu)化模型的建立

對(duì)于M×N的分布式MIMO雷達(dá)系統(tǒng),當(dāng)系統(tǒng)用于目標(biāo)跟蹤的陣元子集數(shù)量和發(fā)射總功率給定時(shí),合理地配置發(fā)射與接收陣元的數(shù)量關(guān)系和分配系統(tǒng)發(fā)射功率是提高系統(tǒng)性能的關(guān)鍵。以最小化多目標(biāo)位置估計(jì)誤差的最大值為目標(biāo)函數(shù)的資源聯(lián)合優(yōu)化模型為

(7)

式中:K為選取的陣元子集數(shù)量;Ptotal為系統(tǒng)總的發(fā)射功率;ftopt,k、fropt,k、popt,k分別為最優(yōu)的發(fā)射陣元、接收陣元和發(fā)射功率的分配結(jié)果。

2.2 資源優(yōu)化模型的求解

陣元選取與功率分配的聯(lián)合優(yōu)化問題為布爾型與連續(xù)型變量混合的優(yōu)化問題,可以先對(duì)布爾型變量選取,再對(duì)連續(xù)型變量優(yōu)化。由于系統(tǒng)只給定發(fā)射與接收陣元的總數(shù),而未對(duì)二者子集大小具體分配,因此本文需要考慮對(duì)發(fā)射與接收陣元子集的大小進(jìn)行配置。針對(duì)該問題,本文的研究思路為:先采用啟發(fā)式搜索(HA)方法[13]選取陣元,使目標(biāo)定位精度最高,再采用連續(xù)參數(shù)凸近似算法(SPCA)算法[19]對(duì)功率分配的非凸優(yōu)化問題進(jìn)行求解,最后通過循環(huán)最小化的方式,將資源優(yōu)化結(jié)果循環(huán)迭代,直到位置估計(jì)精度不再提高,此時(shí)得到最優(yōu)的分配結(jié)果。

(8)

結(jié)合式(5),上述優(yōu)化模型可以表示為

(9)

(10)

綜上所述,本文基于循環(huán)最小化的資源聯(lián)合優(yōu)化算法框圖如圖1所示,其中G0為估計(jì)精度初始值。

圖1 本文資源聯(lián)合優(yōu)化算法框圖

2.3 算法復(fù)雜度分析

當(dāng)陣元子集大小為K、發(fā)射子集大小為K1、循環(huán)最小化次數(shù)為γ時(shí),本文算法與遍歷搜索方式所采用的陣元選取次數(shù)和發(fā)射功率分配次數(shù)如圖2所示。假設(shè)循環(huán)最小化迭代次數(shù)γ=5(實(shí)際運(yùn)算統(tǒng)計(jì)的平均值),M=N=10。

(a)陣元選取次數(shù)比較 (b)功率優(yōu)化次數(shù)比較圖2 2種算法的計(jì)算量比較

3 實(shí)驗(yàn)和結(jié)果分析

3.1 實(shí)驗(yàn)環(huán)境及參數(shù)配置

在20 km×20 km的場(chǎng)景中,M=N=10的分布式MIMO雷達(dá)系統(tǒng)布陣如圖3所示。系統(tǒng)發(fā)射總功率Ptotal=10 kW,單部雷達(dá)的系統(tǒng)帶寬為β=5 MHz,雷達(dá)載波頻率為fc=1 GHz,脈沖重復(fù)頻率為fr=5 kHz。為簡(jiǎn)化模型,假設(shè)目標(biāo)散射系數(shù)|ζ|=1。場(chǎng)景中Q個(gè)目標(biāo)均以100 m/s的速度勻速直線運(yùn)動(dòng),目標(biāo)觀測(cè)間隔為T=5 s,跟蹤10次。

為分析目標(biāo)和陣元個(gè)數(shù)以及發(fā)射與接收陣元的個(gè)數(shù)關(guān)系對(duì)目標(biāo)跟蹤能力的影響,現(xiàn)分別從目標(biāo)軌跡確定和隨機(jī)分布兩個(gè)方面對(duì)系統(tǒng)的性能進(jìn)行評(píng)估。實(shí)驗(yàn)采用500次蒙特卡洛結(jié)果的平均值。

圖3 雷達(dá)陣元布陣形式圖

3.2 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡確定下的資源分配

假設(shè)目標(biāo)個(gè)數(shù)為Q=2,其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3所示?，F(xiàn)分別對(duì)K=6,12,18時(shí)3種不同陣元子集取值進(jìn)行資源聯(lián)合分配。圖4給出了目標(biāo)跟蹤估計(jì)精度圖。可以看出,陣元子集數(shù)是K越多,目標(biāo)的位置估計(jì)精度越高,相比K從6增加到12時(shí)性能的提高量,K從12增加到18時(shí)對(duì)性能的提升作用較弱。這是因?yàn)槔走_(dá)系統(tǒng)總的發(fā)射功率有限,增加額外的陣元并不能繼續(xù)分得更多的功率資源,從而導(dǎo)致陣元數(shù)量增加到一定程度時(shí),陣元對(duì)系統(tǒng)性能的提升作用逐漸變?nèi)酢Ｓ纱苏f明,在發(fā)射總功率有限的條件下,系統(tǒng)性能與陣元選取個(gè)數(shù)之間并不是簡(jiǎn)單的線性關(guān)系。目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型中存在過程噪聲的影響,所以目標(biāo)的位置估計(jì)精度的均方根誤差可以很小,但是不會(huì)隨時(shí)間一直改善。

圖4 不同K取值下的目標(biāo)跟蹤估計(jì)精度

圖5給出了與圖4對(duì)應(yīng)的陣元選取數(shù)量情況。由圖5a可知,實(shí)際陣元選取數(shù)可以小于系統(tǒng)允許的最多的陣元數(shù)。因?yàn)閷?duì)于系統(tǒng)總功率有限的雷達(dá)系統(tǒng),當(dāng)陣元個(gè)數(shù)增加到一定程度時(shí),系統(tǒng)性能基本不再提升,過多的陣元反而會(huì)帶來更大的數(shù)據(jù)傳輸和處理困難。因此,在發(fā)射陣元選取較少的情況下,系統(tǒng)并未選取所有的接收陣元。此外,由圖5b和圖5c可以看出,系統(tǒng)選取發(fā)射陣元的個(gè)數(shù)要少于接收陣元的個(gè)數(shù)。這是因?yàn)檫x擇更多的發(fā)射陣元并不意味著可以獲得足夠的發(fā)射功率,而增加一定的接收陣元?jiǎng)t有利于從多角度觀測(cè)目標(biāo)發(fā)揮分布式MIMO雷達(dá)空間分集的優(yōu)勢(shì),從而提高目標(biāo)的跟蹤性能。

(c)接收陣元數(shù)圖5 不同K取值下的陣元選取數(shù)量情況

3.3 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡隨機(jī)下的資源分配

為更好地分析本文算法的性能,在圖3的雷達(dá)布陣形式下,隨機(jī)仿真目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡。實(shí)驗(yàn)以多目標(biāo)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中位置估計(jì)均方根誤差的最大值作為系統(tǒng)對(duì)目標(biāo)的位置估計(jì)精度。

(a)目標(biāo)跟蹤精度(b)陣元數(shù)與陣元總數(shù)關(guān)系圖6 Q=2時(shí)本文算法目標(biāo)跟蹤精度和資源分配結(jié)果

圖6給出了Q=2時(shí)本文算法在不同K取值下的目標(biāo)跟蹤精度和資源分配結(jié)果。由圖6a可以看出,陣元子集大小K越大,系統(tǒng)對(duì)目標(biāo)的跟蹤誤差越小,跟蹤能力越強(qiáng)。當(dāng)K>10時(shí),系統(tǒng)跟蹤能力基本不再提升,此時(shí)受發(fā)射總功率的限制,距離目標(biāo)相對(duì)位置較差的陣元對(duì)目標(biāo)跟蹤性能提升作用很小。相對(duì)應(yīng)地,圖6b給出了相應(yīng)的陣元選取數(shù)量關(guān)系。可以看出,在K≥10時(shí),實(shí)際選取陣元總數(shù)相對(duì)系統(tǒng)允許子集比例開始快速下降,盡管可選取的陣元子集大小K增大,但實(shí)際選取陣元個(gè)數(shù)并未增多,發(fā)射、接收陣元相對(duì)選取陣元的比例也基本趨于穩(wěn)定。由此說明,當(dāng)陣元允許子集大小K≥10時(shí),系統(tǒng)的跟蹤能力基本達(dá)到該條件下的最優(yōu)值,此時(shí)選取的發(fā)射陣元個(gè)數(shù)約為接收陣元個(gè)數(shù)的1/3。該結(jié)果與圖5a吻合。

雷達(dá)系統(tǒng)的跟蹤能力不僅可以從系統(tǒng)對(duì)目標(biāo)的位置估計(jì)精度來評(píng)價(jià),還可以從系統(tǒng)跟蹤的目標(biāo)個(gè)數(shù)來分析?，F(xiàn)定義目標(biāo)跟蹤精度μ表示系統(tǒng)對(duì)目標(biāo)跟蹤過程中的位置估計(jì)誤差的最大值,即當(dāng)系統(tǒng)總功率Ptotal、陣元子集大小K,以及目標(biāo)個(gè)數(shù)Q給定時(shí),在實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景中的任何一個(gè)目標(biāo)在任意時(shí)刻的位置估計(jì)誤差都不會(huì)超過μ。

(a)μ=10 m(b)K=10圖7 系統(tǒng)跟蹤目標(biāo)的能力

圖7計(jì)算了不同K取值和跟蹤精度要求μ與系統(tǒng)跟蹤的目標(biāo)個(gè)數(shù)Q的關(guān)系圖。可以看出,隨陣元子集K和目標(biāo)跟蹤精度μ的增加,即系統(tǒng)總的資源增加,對(duì)每個(gè)目標(biāo)的跟蹤要求降低了,此時(shí)跟蹤目標(biāo)個(gè)數(shù)也逐漸增多。由圖7a可知,當(dāng)跟蹤精度要求為μ=10 m時(shí),增大陣元子集大小K,系統(tǒng)跟蹤的目標(biāo)數(shù)十分有限。因?yàn)橄到y(tǒng)總的功率資源有限,增大陣元子集大小K,并不會(huì)帶來跟蹤能力的持續(xù)提升。圖7b中陣元子集大小為K=10時(shí),目標(biāo)跟蹤精度μ越大,即跟蹤精度要求越低,系統(tǒng)跟蹤的目標(biāo)個(gè)數(shù)增長越快。

為分析系統(tǒng)功率資源對(duì)系統(tǒng)性能的影響,圖8分析了不同功率對(duì)系統(tǒng)目標(biāo)跟蹤精度和目標(biāo)個(gè)數(shù)的影響。可以看出,發(fā)射功率越大,目標(biāo)的跟蹤精度越高,跟蹤目標(biāo)的個(gè)數(shù)也越多。結(jié)合圖6a和圖8a可以看出,增加系統(tǒng)資源可以一定限度內(nèi)提高對(duì)目標(biāo)的跟蹤精度,但是隨系統(tǒng)資源的增加,性能提升地越來越緩慢。由于系統(tǒng)以多目標(biāo)位置估計(jì)精度的最大值為整體位置估計(jì)精度,所以圖7b和圖8b中適當(dāng)放寬跟蹤精度要求或增加發(fā)射功率均可以帶來跟蹤目標(biāo)個(gè)數(shù)的大幅提升。

(a)Q=3(b)μ=10 m圖8 K=10時(shí)系統(tǒng)功率對(duì)跟蹤性能的影響

4 結(jié) 論

本文研究了多目標(biāo)跟蹤下的分布式MIMO雷達(dá)資源聯(lián)合優(yōu)化問題,在選取陣元總數(shù)、發(fā)射功率總量有限條件下,建立收發(fā)陣元和發(fā)射功率聯(lián)合的資源優(yōu)化模型,采用HA算法、SPCA算法和循環(huán)最小化方法對(duì)優(yōu)化問題求解。仿真實(shí)驗(yàn)計(jì)算了給定實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景下的雷達(dá)資源總量與跟蹤目標(biāo)能力的對(duì)應(yīng)關(guān)系,能夠在一定程度上估算出雷達(dá)系統(tǒng)的戰(zhàn)場(chǎng)作戰(zhàn)能力和相應(yīng)的資源需求。實(shí)驗(yàn)具體結(jié)論如下。

(1)給定的雷達(dá)布陣場(chǎng)景下,受系統(tǒng)發(fā)射功率總量的約束,選取陣元個(gè)數(shù)達(dá)到一定程度時(shí),系統(tǒng)性能基本不再提高;系統(tǒng)選取的發(fā)射陣元個(gè)數(shù)要明顯少于接收陣元的個(gè)數(shù)。本文算法不僅能夠避免選取多余陣元帶來額外計(jì)算量的問題,而且對(duì)雷達(dá)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具有參考意義。

(2)仿真分析了陣元子集大小和發(fā)射功率總量對(duì)系統(tǒng)跟蹤目標(biāo)精度與個(gè)數(shù)的影響,結(jié)果表明,增加功率資源比增加系統(tǒng)陣元對(duì)提升系統(tǒng)性能的作用更加明顯。