非齊次線性方程組在投入產(chǎn)出問題中的應(yīng)用

呂曉蝶 陳滔

摘 要：線性方程組是數(shù)學(xué)研究的核心問題之一，而非齊次線性方程組又是線性方程組的基本內(nèi)容，在生活實(shí)踐中非齊次線性方程組廣泛的應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)上的投入產(chǎn)出問題，本文詳細(xì)介紹了經(jīng)濟(jì)學(xué)上的投入產(chǎn)出問題，并通過(guò)建立模型的方法來(lái)求解該問題。

關(guān)鍵詞：非齊次線性方程組；投入產(chǎn)出問題；數(shù)學(xué)模型

一、問題背景

在一個(gè)地區(qū)或國(guó)家的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中，各企業(yè)（各部門）既有消耗又有生產(chǎn)，也可以說(shuō)既有投入又有產(chǎn)出。生產(chǎn)的產(chǎn)品供給給系統(tǒng)和各部門外以滿足需求，同刷也消耗了系統(tǒng)內(nèi)各部門的所提供的產(chǎn)品（當(dāng)然，還有其他的諸如人力消耗等因素），消耗的目的是為了生產(chǎn)；生產(chǎn)的結(jié)果必然要1創(chuàng)造出新的價(jià)值，用于獲取利潤(rùn)和支付工資。顯然對(duì)每一個(gè)部門來(lái)說(shuō)，新創(chuàng)造的價(jià)值和物資消耗等于它生產(chǎn)的總價(jià)值。這就是投入和產(chǎn)出的之間的平衡關(guān)系。

由俄裔美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家W.Leontef在20世紀(jì)30年代初期首先提出并成功地建立了研究國(guó)民經(jīng)濟(jì)的投入產(chǎn)出的數(shù)學(xué)模型，這一方法就是投入產(chǎn)出法以其重要的應(yīng)用價(jià)值迅速被各國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)界和決策部門采納。W.Leontief也因此在1973年獲得若貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。

二、實(shí)際問題

我們可以用一個(gè)城鎮(zhèn)的三個(gè)企業(yè)作為經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，來(lái)說(shuō)明投入產(chǎn)出法在經(jīng)濟(jì)分析上的應(yīng)用。

某城鎮(zhèn)有三個(gè)主要的企業(yè)：電廠，煤礦和地方鐵路作為它的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)。生產(chǎn)價(jià)值1元的電，需要消耗0.40元的煤費(fèi)，0，05元的電費(fèi)和0，10元的運(yùn)輸費(fèi)；生產(chǎn)價(jià)值1元的煤，需要消耗0.25元的電費(fèi)和0.35元的運(yùn)輸費(fèi)；而提供價(jià)值1元的鐵路運(yùn)輸服務(wù)，則需要消耗0.45元的煤費(fèi)，0.10元的電費(fèi)和0.10元的運(yùn)輸費(fèi)。在某一周內(nèi)，除了這三個(gè)企業(yè)的彼此需求，電廠還得到25000元的訂單，煤礦還得到50000元的訂單，而地方鐵路得到30000元的運(yùn)輸需求。試問：

1.這三個(gè)企業(yè)在這一周內(nèi)各應(yīng)生產(chǎn)多少產(chǎn)值才可以滿足內(nèi)外需求？

2.除了外部需求，試求出這周內(nèi)各企業(yè)之間的消耗需求，同時(shí)求出各企業(yè)新創(chuàng)造的價(jià)值（即產(chǎn)值中除去各企業(yè)消耗所剩下的部分）。

三、模型建立

設(shè)煤礦，電廠和地方鐵路在這周內(nèi)生產(chǎn)的總價(jià)值分別是（元），則可以建立下列非齊次線性方程組。

0x1+0.40x2+0.45x3+500=x10.25x1+0.05x2+0.10x3+2500=x20.35x1+0.10x2+0.10x3+3000=x3 （1）

線性方程組（1）的意義是：每個(gè)等式以價(jià)值形式說(shuō)明了對(duì)每一個(gè)企業(yè)可有：

中間產(chǎn)品（作為系統(tǒng)內(nèi)各企業(yè)的消耗）+最終產(chǎn)品（外部需求）=總產(chǎn)品

也可以稱線性方程組（1）是分配平衡方程組。

另一方面，如果設(shè)z1，z2，z3（元）分別是煤礦，電廠和地方鐵路在這周內(nèi)的新創(chuàng)價(jià)值。則亦可建立下列非齊次線性方程組

0x1+0.40x2+0.45x3+z1=x10.25x1+0.05x2+0.10x3+z2=x20.35x1+0.10x2+0.10x3+z3=x3 （2）

線性方程組（2）的意義是：每個(gè)等式以價(jià)值形式說(shuō)明了對(duì)于每一個(gè)企業(yè)都有：

對(duì)系統(tǒng)內(nèi)各企業(yè)產(chǎn)品的消耗+新創(chuàng)價(jià)值=總價(jià)值

稱線性方程組（2）是消耗平衡組。

四、模型求解

可將線性方程組（1）改AX+Y=X寫成矩陣形式為

其中

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中將矩陣稱為直接消耗矩陣，A中的元素aij稱為直接消耗系數(shù)。向量X稱為產(chǎn)出向量，向量Y是最后需求向量[2]。

由AX+Y=X得（E-A）X=Y （3）

這是一個(gè)關(guān)于x1，x2，x3的非齊次線性方程組，解線性方程組（3）得

因此可知在這周內(nèi)，煤礦，電廠和地方鐵路的總產(chǎn)值分別是114458元，65395元，85111元才能滿足內(nèi)外需求。

又由于得到了系統(tǒng)各個(gè)企業(yè)的總產(chǎn)值（即產(chǎn)出量），我們可以直接利用消耗系數(shù)矩陣進(jìn)行每個(gè)企業(yè)分別用于企業(yè)內(nèi)部和其它企業(yè)的消耗計(jì)算：

上面等式右端矩陣的每行給出了每個(gè)企業(yè)分別用于企業(yè)內(nèi)部和其它企業(yè)的消耗（即中間產(chǎn)品）。進(jìn)一步利用線性方程組（2）可求得各企業(yè)新創(chuàng)造的價(jià)值z(mì)1=45784，z2=29427，z3=29789。

本文詳細(xì)介紹了經(jīng)濟(jì)學(xué)上的投入產(chǎn)出問題，并通過(guò)建立模型的方法來(lái)求解該問題。首先介紹了問題背景，是在某個(gè)地區(qū)，有三個(gè)互相關(guān)聯(lián)的企業(yè)（如電廠，煤礦和地方鐵路）這三個(gè)企業(yè)在一周內(nèi)都要完成所得到的訂單，求出這三個(gè)企業(yè)在這一周內(nèi)各應(yīng)生產(chǎn)多少產(chǎn)值才可以滿足內(nèi)外的要求，和求出這三個(gè)企業(yè)新創(chuàng)造的價(jià)值（即產(chǎn)值中除去各企業(yè)消耗所剩下的部分）通過(guò)題目給出的條件建立數(shù)學(xué)模型，求解該模型，最后就可以得到問題的結(jié)果。這就是求解線性方程組在實(shí)際應(yīng)用的基本思路和方法，這也是解決現(xiàn)實(shí)生活中基本問題的思路和方法。