基于S函數(shù)的改進變步長LMS自適應(yīng)算法

雷章勇， 彭志煒， 張 儼， 趙雪嬌

(貴州大學(xué)電氣工程學(xué)院，貴陽 550025)

0 引言

在信號處理中，引入濾波器可在一定程度上削弱或消除噪聲信號的影響。對于濾波器的應(yīng)用，往往希望在實現(xiàn)濾波、平滑或者預(yù)測等任務(wù)的同時，實時跟蹤和適應(yīng)系統(tǒng)或環(huán)境的動態(tài)變化，這就需要濾波器的參數(shù)可以實時變化更新。自適應(yīng)濾波器通常根據(jù)采樣信號的變化不斷更新濾波器的參數(shù)或者調(diào)整濾波器的結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)從含噪聲信號中提取或者恢復(fù)有效的原始信號[1]。作為自適應(yīng)濾波器設(shè)計的一個關(guān)鍵環(huán)節(jié)，自適應(yīng)濾波算法常用的計算準則是使濾波器實際輸出與期望輸出響應(yīng)之間的均方誤差為最小，即最小均方誤差準則(MMSE)。

由WIDROW提出的最小均方誤差(LMS)算法是一種自適應(yīng)算法，因算法簡單、計算量小、魯棒性強、易于實現(xiàn)的特點[2-3]，被廣泛應(yīng)用于通信、系統(tǒng)辨識、回波消除和自適應(yīng)譜線增強等領(lǐng)域[4-5]。該算法基于MMSE準則，通過步長因子的選擇實現(xiàn)對權(quán)值的更新，以獲得最優(yōu)權(quán)值。在這個過程中對步長因子的取值影響算法各方面的性能，包括收斂速度、穩(wěn)態(tài)誤差、對時變系統(tǒng)的跟蹤能力以及抗噪聲干擾能力等[6-8]。根據(jù)對步長因子構(gòu)造方式的不同，LMS算法主要分為傳統(tǒng)定步長LMS算法和變步長LMS算法。

傳統(tǒng)定步長LMS算法將步長因子取為固定值進行權(quán)值更新。在此過程中，如果對步長因子取值不當將會使算法的性能受到影響。若步長因子取值較大，在初始階段，算法的收斂速度較快，但會在接近穩(wěn)態(tài)時產(chǎn)生較大的穩(wěn)態(tài)誤差；反之，若步長因子取值較小，算法在收斂時穩(wěn)態(tài)誤差也較小，但會降低算法的收斂速度[9-11]?？梢?，傳統(tǒng)定步長LMS算法中步長因子的取值難以同時滿足算法對收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差兩個性能指標的要求，因此許多文獻[12-15]提出了變步長LMS算法。通過建立誤差與步長因子之間的非線性函數(shù)關(guān)系進行權(quán)值更新，該方法可兼顧收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差，有效彌補定步長LMS算法的不足。文獻[12]提出一種新的變步長自適應(yīng)濾波(SVSLMS)算法，可獲取較快的收斂速度和跟蹤速度，但由于在收斂階段步長的變化較快，從而造成穩(wěn)態(tài)誤差較大。針對文獻[12]算法的不足，文獻[13]提出一種新的變步長自適應(yīng)濾波算法，該算法給出了新的步長因子調(diào)整函數(shù)，使得步長在誤差接近零處具有緩慢變化的特性，減小了穩(wěn)態(tài)誤差。文獻[14]提出的變步長LMS濾波算法克服了S函數(shù)變步長LMS算法穩(wěn)態(tài)階段步長變化較大的缺陷，該算法在初始階段或系統(tǒng)發(fā)生時變階段具有較大的步長，且穩(wěn)態(tài)時步長較小。文獻[15]提出一種新的基于箕舌線的變步長LMS算法，該算法對步長因子的計算較為簡單，同時算法濾波效果好。

通過對上述文獻進行分析可以看出，改進變步長LMS算法對步長因子的調(diào)整原則都是要求在初始階段或系統(tǒng)發(fā)生時變后，步長能夠取得較大值，使得算法具備較快的收斂速度或?qū)r變狀態(tài)下信號的快速跟蹤；而在收斂階段則要求步長變化較慢且取值較小，以減小穩(wěn)態(tài)誤差和避免穩(wěn)態(tài)失調(diào)。根據(jù)上述現(xiàn)有算法理論，為進一步改善變步長LMS自適應(yīng)濾波算法的性能，本文基于S函數(shù)曲線特點提出一種新的改進變步長LMS自適應(yīng)濾波算法，該算法能夠兼顧收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差，且具有一定的抗干擾能力。

1 LMS自適應(yīng)濾波算法

自適應(yīng)濾波算法原理如圖1所示。其中，x(n)和y(n)為輸入信號和輸出信號，v(n)為噪聲信號，d(n)為期望輸出信號，e(n)為誤差估計信號。該算法最廣泛使用的算法形式為下降算法，實現(xiàn)方式主要有自適應(yīng)梯度算法和自適應(yīng)高斯-牛頓算法。

圖1 自適應(yīng)濾波算法原理圖Fig.1 Schematic of the adaptive filtering algorithm

LMS自適應(yīng)濾波算法屬于自適應(yīng)梯度算法，該算法根據(jù)權(quán)值的梯度估計值搜索出最優(yōu)權(quán)值，計算出濾波器輸出信號與期望信號之間的誤差，并以誤差方差最小作為判據(jù)修改權(quán)值系數(shù)。算法迭代算式為

e(n)=d(n)-xT(n)W(n)

(1)

W(n+1)=W(n)+ue(n)x(n)

(2)

式中：W(n)為濾波器在n時刻的權(quán)值向量；u為步長因子，其取值將影響算法的收斂性和穩(wěn)定性，使算法收斂的步長因子u的取值需滿足條件0

2 改進LMS自適應(yīng)濾波算法

2.1 機理分析

根據(jù)變步長LMS自適應(yīng)濾波算法對步長因子調(diào)整的特點，結(jié)合S函數(shù)(如式(3))及其曲線(如圖2)來構(gòu)造算法的步長因子模型。

(3)

圖2 改進LMS算法步長因子表達式的構(gòu)造過程Fig.2 The construction process of the step-size factor for improved LMS algorithm

首先將S函數(shù)表達式分母的指數(shù)項乘以系數(shù)β(β>0)，實現(xiàn)函數(shù)曲線水平方向上的第一次平移，再把平移后的曲線在豎直方向向下平移Δ=1/(1+β)個單位，然后對函數(shù)取絕對值得到變換后的曲線，如圖2所示，該曲線對應(yīng)的u(n)與e(n)的函數(shù)關(guān)系為

(4)

根據(jù)S函數(shù)變換后得到的曲線分析可知：當誤差值較大時，對應(yīng)的步長因子可以取得較大值；而當誤差值

減小到-5

為了提高算法的可控性，在表達式(4)中引入?yún)?shù)α，γ和m，得到步長因子u(n)與誤差e(n)之間的非線性函數(shù)關(guān)系式為

(5)

2.2 參數(shù)對u(n)的影響分析

下面分析步長因子表達式中的4個參數(shù)對步長因子調(diào)整的影響。

1) 參數(shù)m的分析。

分別取α=0.1,β=10,γ=10，得到m為1,2,3時e(n)與u(n)的曲線，如圖3所示。

圖3 m變化時的步長因子曲線Fig.3 The step-size factor curve when m changes

可以看出，當誤差值接近零時，m取值越大，步長因子變化就越趨于平緩；當誤差值為0時，步長因子取值也變?yōu)?。而在LMS算法中，收斂階段步長變化的快慢對穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)失調(diào)量有較大的影響，步長因子變化快容易引發(fā)振蕩現(xiàn)象。從圖中還可看出，m取值越大，步長因子在誤差接近0的過程中變化速度越慢，對穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)失調(diào)量的調(diào)整就越好。但另一方面，若m取值過大，將出現(xiàn)誤差取值較大時步長因子就開始減小的現(xiàn)象，例如當誤差值約為0.5時，m=3對應(yīng)的曲線已經(jīng)下降到步長因子幅值約為0.02處，而m=1對應(yīng)的步長因子幅值仍約為0.09。這樣，m取值過大，將會降低算法的收斂速度。此外，m取值過大將使得計算量增大，增加算法處理數(shù)據(jù)的時間。因此，本文算法對步長因子中參數(shù)m的取值為2，進一步得到的u(n)與e(n)的函數(shù)關(guān)系為

(6)

2) 參數(shù)α的分析。

分別取β=10,γ=10,m=2，得到α為0.1,0.3,0.5時e(n)與u(n)的曲線，如圖4所示。可以看出，參數(shù)α的取值對u(n)幅值的影響較大。α取值越大，u(n)的幅值越大，算法的收斂速度就越快。其中，u(n)的

最大極限值為u(n)max=a[1-1/(1+β)]，這里也可以看出，當α取定值，β越大，對應(yīng)的u(n)max越大。但α的取值不能無限大，需滿足LMS自適應(yīng)算法收斂對u(n)的取值要求。

圖4 α變化時的步長因子曲線Fig.4 The step-size factor curve when α changes

3) 參數(shù)β的分析。

分別取α=0.5,γ=10,m=2，得到β為1,5,10,15時e(n)與u(n)的曲線，如圖5所示，相應(yīng)的u(n)最大值u(n)max如表1所示。根據(jù)圖5可以看出，β取值越大，u(n)在誤差值接近0附近的變化趨勢越平緩。又由表1可知，當β≥5時，隨著β取值逐漸增大，u(n)max受到的影響逐漸減小。但若β取值較大，會出現(xiàn)在誤差值還較大時u(n)就開始減小的現(xiàn)象，將會降低算法的收斂速度。

圖5 β變化時的步長因子曲線Fig.5 The step-size factor curve when β changes

表1 不同β取值對應(yīng)的u(n)max

4) 參數(shù)γ的分析。

分別取α=0.5,β=10,m=2，得到γ為5,10,15時e(n)與u(n)的曲線，如圖6所示?？梢钥闯?，γ=5時對應(yīng)的曲線在誤差取值逐漸接近0時，u(n)的變化速度最慢，而其對應(yīng)的曲線在誤差取值約為1.3時，幅值就開始減小，而另外兩條曲線在誤差分別為0.6和0.8時曲線幅值才出現(xiàn)減小的趨勢?？梢?，γ取值越小，在誤差取值逐漸接近0時，u(n)變化速度越慢，有利于減小算法的穩(wěn)態(tài)誤差；但γ取值較小，不能滿足在誤差較大時u(n)也要求取得較大值的調(diào)整原則。

圖6 γ變化時的步長因子曲線Fig.6 The step-size factor curve when γ changes

通過上述各參數(shù)變化對步長因子影響的曲線及分析得出，固定參數(shù)m=2后，參數(shù)α變化主要影響u(n)的幅值調(diào)整，可用于控制算法的收斂速度，且可控性較好；參數(shù)γ的變化主要影響u(n)在接近穩(wěn)態(tài)時的幅值變化速度，用于調(diào)整算法的穩(wěn)態(tài)誤差。參數(shù)β取值可同時影響收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差，但當β取較大值時，參數(shù)β對u(n)幅值的影響較小，因此其作用主要是穩(wěn)態(tài)誤差的微調(diào)。

在實際中，外界對系統(tǒng)的干擾具有隨機性和任意性的特點。因此，為了增強算法的抗干擾能力，在步長因子模型中引入誤差向量自相關(guān)值e(n)e(n-1)來調(diào)節(jié)步長因子取值。經(jīng)過整理，最后得到本文提出的基于S函數(shù)的改進變步長LMS自適應(yīng)濾波算法的流程如下。

e(n)=d(n)-xT(n)W(n)

(7)

(8)

W(n+1)=W(n)+u(n)e(n)x(n)。

(9)

2.3 算法抗干擾性分析

本文提出的算法通過在步長因子模型中引入誤差向量自相關(guān)值來增強算法的抗干擾能力，下面分析該量的引入對外界擾動的抑制機理。

由式(7)有

d(n)=xT(n)W(n)+e(n)

(10)

根據(jù)自適應(yīng)原理有

d(n)=xT(n)W*(n)+v(n)

(11)

式中：噪聲信號v(n)與輸入信號x(n)不相關(guān)；W*(n)為自適應(yīng)濾波器的最優(yōu)權(quán)系數(shù)。假設(shè)權(quán)系數(shù)偏差為ΔW(n)，則

ΔW(n)=W(n)-W*(n)

(12)

由式(7)～式(12)有

e(n)e(n-1)=v(n)v(n-1)-ΔWT(n)x(n)v(n-1)-

v(n)ΔWT(n-1)x(n-1)+

ΔWT(n)x(n)xT(n-1)ΔW(n-1)

(13)

由于v(n)均值為零，且與x(n)不相關(guān)，故有

E[e(n)e(n-1)]=E[ΔWT(n)x(n)xT(n-1)ΔW(n-1)]

(14)

E[e2(n)]=E[v2(n)]+E[ΔWT(n)x(n)xT(n)ΔW(n)]

(15)

通過式(14)與式(15)的對比容易看出，利用式(8)調(diào)整LMS算法的步長，在強干擾信號下，算法性能受干擾信號v(n)的影響較小，并且在收斂階段權(quán)系數(shù)偏差ΔW(n)較小?？梢?，誤差向量的引入可增強算法的抗干擾能力。

2.4 參數(shù)對濾波性能的影響分析

根據(jù)本文算法，通過仿真得出步長因子模型中參數(shù)α，β和γ取不同值對濾波性能的影響學(xué)習(xí)曲線，如圖7～圖9所示。仿真條件:輸入信號為以+1，-1等概率交替的信號,并疊加與輸入信號不相關(guān)、均值為0、方差為0.01的高斯白噪聲信號，濾波器階數(shù)為2，采樣點數(shù)為1000，分別做400次獨立仿真。

圖7 α變化時的算法收斂曲線Fig.7 Convergence curve of the algorithm when α changes

圖8 β變化時的算法收斂曲線Fig.8 Convergence curve of the algorithm when β changes

圖9 γ變化時的算法收斂曲線Fig.9 Convergence curve of the algorithm when γ changes

圖7的仿真結(jié)果表明，α=0.5時算法的收斂速度最快，即在步長因子所含參數(shù)中，當β，γ和m取固定值時，并不是α越大算法性能越優(yōu)。圖8中，β為5對應(yīng)算法的收斂速度較快，但收斂后的穩(wěn)態(tài)誤差較大；這是因為誤差值較大時，β分別為10,15對應(yīng)的步長因子幅值下降速度比β為5時對應(yīng)幅值下降速度快，并且在穩(wěn)態(tài)時β分別為10,15的曲線斜率較小，步長因子幅值變化速度較慢。由圖9可以看出，γ取值較大時對應(yīng)的算法收斂速度快，且穩(wěn)態(tài)誤差較小，但根據(jù)上節(jié)γ對步長因子的影響分析可知，γ取值不宜過大。

綜上，本文提出的基于S函數(shù)的改進變步長LMS算法中步長因子所含參數(shù)值的求取可通過多次實驗來獲得，以實現(xiàn)算法性能最優(yōu)。

3 仿真對比與分析

采用上文參數(shù)對濾波性能的影響分析中的仿真條件，并假設(shè)在迭代次數(shù)n=500時系統(tǒng)發(fā)生時變，權(quán)系數(shù)變?yōu)閣=[0.4,0.2]，得到SVSLMS算法、文獻[15]算法和本文算法對應(yīng)的學(xué)習(xí)曲線如圖10所示。

圖10 本文算法與其他算法的比較Fig.10 Comparison between the proposed algorithm and other algorithms

由圖10a可以看出，在收斂速度相同的情況下，本文算法穩(wěn)態(tài)誤差更小。圖10b中，在相同誤差條件下，本文算法具有較快的收斂速度。此外，在系統(tǒng)發(fā)生時變后，本文算法能夠?qū)π盘栠M行快速跟蹤，且收斂速度最快，說明算法具備一定的抗干擾能力。綜上，本文算法與SVSLMS算法和文獻[15]算法相比性能更優(yōu)。

4 結(jié)束語

本文對現(xiàn)有變步長LMS自適應(yīng)濾波算法進行研究，根據(jù)算法中步長因子的調(diào)整原則以及S函數(shù)曲線的特點，提出一種基于S函數(shù)的改進變步長LMS自適應(yīng)算法，并分析了步長因子中各參數(shù)的取值對算法性能的影

響。與現(xiàn)有算法進行的仿真對比表明，本文所提改進算法在滿足快速收斂的同時，收斂后的穩(wěn)態(tài)誤差也較小，且抗干擾能力較強，改善了現(xiàn)有算法的性能。