高中數(shù)學(xué)化歸思想及其應(yīng)用研究

（吉林省松原市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 吉林 138000）

引言

1.化歸思想簡(jiǎn)介

數(shù)學(xué)思想方法是科學(xué)思想、科學(xué)方法的一個(gè)重要組成部分。化歸思維，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，化歸思想即把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題、把陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題、把繁雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，化歸思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的常用方法之一[1]。在數(shù)學(xué)解題中轉(zhuǎn)化思維的運(yùn)用極其重要，數(shù)學(xué)的問(wèn)題總離不開(kāi)轉(zhuǎn)化， 化歸思想在早期解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中就有很廣泛的應(yīng)用，如納皮爾的對(duì)數(shù)法、笛卡爾的萬(wàn)能方法、著名的哥尼斯堡七橋問(wèn)題等等[2]?；瘹w的實(shí)質(zhì)就是以運(yùn)動(dòng)變化發(fā)展的觀點(diǎn)，以及事物之間相互聯(lián)系，互相制約的觀點(diǎn)看待問(wèn)題，善于對(duì)所要解決的問(wèn)題進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題得以解決。我將高中數(shù)學(xué)問(wèn)題所應(yīng)用到的化歸方法進(jìn)行歸納總結(jié)，以便大家可以更直觀更具體的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，這是我所要研究的重點(diǎn)。本文通過(guò)對(duì)化歸思想的研究和總結(jié)，使大家更好的掌握這種解題方法。

一、化歸方法與代數(shù)

化歸思想的實(shí)質(zhì)是揭示聯(lián)系、實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。以下將從二個(gè)方面來(lái)展示在代數(shù)問(wèn)題中所應(yīng)用的轉(zhuǎn)化思想。

1.數(shù)及代數(shù)式的運(yùn)算

范例1.40顆棋子放在6×8=48個(gè)方格中（每格只能放一個(gè)棋子），要求各行各列的棋子數(shù)均為偶數(shù)。試問(wèn)這樣的放法是否可能？[3]

解析：由于每行每列方格數(shù)均為偶數(shù)，則問(wèn)題等價(jià)于使每行每列空格數(shù)均為偶數(shù)是否可能，這顯然可以辦到。如令左上角2×4=8個(gè)方格空著即可。

范例2.兩人輪流在一張圓桌上擺放大小相同的硬幣，每次只能擺放一個(gè)，不能重疊，在桌上放下最后一枚硬幣者為游戲的勝利者。試問(wèn)是先放者取勝，還是后放者取勝？[4]

解析：我們先考慮極端情況。假設(shè)硬幣恰與圓桌一樣大小，則先擺必勝。這是因?yàn)橹灰延矌艛[在桌子中心即可。從極端情形中我們可以獲得啟示；擺的人可以把第一枚硬幣占據(jù)桌子中心，由于桌面為中心對(duì)稱(chēng)，以后不論對(duì)方把硬幣放至何處，先擺的人總可以把硬幣擺在與其成中心對(duì)稱(chēng)的位置，故必先擺者取勝。

該例題直接考慮顯得比較困難，但是通過(guò)把問(wèn)題極端化，通過(guò)對(duì)極端位置或狀態(tài)下問(wèn)題特性的考察，從而把問(wèn)題化為比較容易的解決方法，從中引出一般位置或狀態(tài)下的性質(zhì)，從而獲得解決問(wèn)題的思路。

2.方程、函數(shù)、不等式

法國(guó)著名數(shù)學(xué)家笛卡兒在研究思維原則時(shí)曾提出過(guò)一個(gè)期望，即所謂的能用以解決各種問(wèn)題的“萬(wàn)能方法”：

第一，把一切問(wèn)題化歸為數(shù)學(xué)問(wèn)題；

第二，把一切數(shù)學(xué)問(wèn)題化歸為代數(shù)問(wèn)題；

第三，把一切代數(shù)問(wèn)題化歸為方程式的求解[5]。

由于與方程式、1式、2式的定義域相同（均為不等于2kπ的所有實(shí)數(shù)），故此化歸為等價(jià)化歸，即是方程的解。

二、化歸方法與幾何

化歸由繁到簡(jiǎn)目標(biāo)原則是指化歸應(yīng)朝著目標(biāo)簡(jiǎn)單化的方向進(jìn)行，即復(fù)雜的待解決的應(yīng)向簡(jiǎn)單的較易解決的問(wèn)題化歸。這里的簡(jiǎn)單不僅是指問(wèn)題結(jié)構(gòu)形式上的簡(jiǎn)單，而且還指問(wèn)題處理方式、方法上的簡(jiǎn)單。

1.化歸方法與解析幾何

解析：如所知，求圓內(nèi)接三角形面積之最大值是很容易解決的。對(duì)于本例而言，我們就可運(yùn)用壓縮變換的方法把橢圓轉(zhuǎn)化為圓。用過(guò)圓內(nèi)接三角形面積的最大值去研究橢圓內(nèi)接三角形面積的最大值，

（正三角形），由于在壓縮過(guò)程中橢圓各點(diǎn)的縱坐標(biāo)沒(méi)有變化，因而其內(nèi)接三角形面積的之高不會(huì)變動(dòng)，只有三角形之底邊長(zhǎng)變短了，如此，橢圓內(nèi)接三角形面積的最大值是。

結(jié)語(yǔ)

博利亞曾經(jīng)強(qiáng)調(diào)指出：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練”。然而，他所大力提倡的“解題”完全不同于“題海戰(zhàn)術(shù)”。他主張，與其窮于應(yīng)付繁瑣的教學(xué)內(nèi)容和過(guò)量的題目，還不如選擇一道有意義但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生深入挖掘題目的各個(gè)側(cè)面，使學(xué)生通過(guò)這道題目，就如同通過(guò)一道大門(mén)而進(jìn)入嶄新的天地。他認(rèn)為解題應(yīng)作為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)才能和教會(huì)他們思考的一種手段和途徑，由此可見(jiàn)，加強(qiáng)解題教學(xué)，不是搞題型訓(xùn)練，更不是搞題海戰(zhàn)術(shù)。他的準(zhǔn)確含義是通過(guò)解題和反思活動(dòng)，在解題基礎(chǔ)上總結(jié)和歸納解題的方法，并提煉上升到思想的高度。同時(shí)，通過(guò)解題活動(dòng)，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法對(duì)發(fā)現(xiàn)解題途徑的定向、聯(lián)想和轉(zhuǎn)化功能，突出數(shù)學(xué)思想方法對(duì)解題的指導(dǎo)作用。

通過(guò)解題研究，我們可以充分意識(shí)到化歸思維在解題中的意義。在解題過(guò)程中，我們總是將問(wèn)題由未知向已知轉(zhuǎn)化、由難到易、由繁到簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)解決了或者容易解決的問(wèn)題。