模糊層次分析法中權(quán)重求解的線性目標(biāo)規(guī)劃模型

閆利軍，樵軍謀，徐 堅(jiān)，梁 輝

（西北機(jī)電工程研究所，咸陽(yáng) 712000）

0 引言

層次分析法（Analysis Hierarchical Process,AHP）是一種有效的數(shù)學(xué)分析與評(píng)價(jià)決策工具，它將加權(quán)方法與主觀測(cè)度方法結(jié)合在一起，能夠較好地解決多準(zhǔn)則決策問(wèn)題。AHP具有一系列優(yōu)點(diǎn)，它使用簡(jiǎn)單，通過(guò)建立各層因素間兩兩比較判斷矩陣的方法來(lái)確定各因素的權(quán)重；能夠?qū)⒍ㄐ苑治鲛D(zhuǎn)換成定量計(jì)算，有效地將決策過(guò)程的定性因素和定量因素進(jìn)行統(tǒng)一的量化處理，使得能夠用數(shù)學(xué)方法對(duì)決策模型進(jìn)行分析和運(yùn)算；提供對(duì)群體決策的支持?？傊珹HP具有堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，已經(jīng)被用于多個(gè)領(lǐng)域解決多準(zhǔn)則決策問(wèn)題[1～4]。

盡管AHP方法具有諸多優(yōu)點(diǎn)并在評(píng)價(jià)決策領(lǐng)域獲得廣泛應(yīng)用，但直接將它用于產(chǎn)品設(shè)計(jì)方案的選擇評(píng)價(jià)并不合適，這是因?yàn)锳HP本身是一種確定性的決策分析工具，它基于決策者對(duì)評(píng)價(jià)目標(biāo)的精確估計(jì)建立兩兩比較判斷矩陣，從而獲得評(píng)價(jià)目標(biāo)之間的相對(duì)權(quán)重，這種方法并不符合實(shí)際的設(shè)計(jì)決策情形。產(chǎn)品開(kāi)發(fā)早期的方案設(shè)計(jì)階段具有典型的不確定性，決策者大多只能依靠定性的分析，而不是定量的計(jì)算進(jìn)行方案的分析決策，因此其判斷存在一定程度的模糊性，精確估計(jì)評(píng)價(jià)目標(biāo)之間的相對(duì)重要性通常十分困難。因此，為了有效處理評(píng)價(jià)決策過(guò)程中的不精確判斷信息，模糊層次分析法（Fuzzy AHP，F(xiàn)AHP）應(yīng)運(yùn)而生且得到了廣泛的應(yīng)用[5～8]，F(xiàn)AHP用三角模糊數(shù)或梯形模糊數(shù)表達(dá)決策者的判斷，它能夠有效表達(dá)決策者思維上的模糊性和不確定性，更加符合實(shí)際的設(shè)計(jì)決策情形。

FAHP應(yīng)用的關(guān)鍵問(wèn)題是如何從模糊判斷矩陣中獲得評(píng)價(jià)目標(biāo)的權(quán)重向量。已有較多的學(xué)者對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行了研究[5,9～11]，并提出了多種權(quán)重求解方法，如對(duì)數(shù)最小平方法（LLSM）、幾何平均法（Geometric Mean Method）、限度分析法（Extent Analysis Method）、模糊偏序規(guī)劃（Fuzzy Preference Programming）等，所有這些方法中，限度分析法由于使用簡(jiǎn)單而獲得廣泛的應(yīng)用，但是Wang等[12]通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)這種方法有時(shí)會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果而導(dǎo)致決策者做出錯(cuò)誤的決策。本文研究的目的是為FAHP尋求一種合理而簡(jiǎn)單的權(quán)重求解方法，從而克服已有方法的不足，提高FAHP的使用效率和可靠性。為此，本文以模糊判斷矩陣的不一致性程度最小為目標(biāo)，建立了一種模糊權(quán)重求解的線性目標(biāo)規(guī)劃模型。該模型使用簡(jiǎn)單且容易求解，基于該模型計(jì)算能夠獲得可靠的元素權(quán)重。

1 FAHP中權(quán)重求解的線性目標(biāo)規(guī)劃模型

對(duì)于FAHP，為了從建立的模糊判斷矩陣中獲得評(píng)價(jià)目標(biāo)的權(quán)重向量，本文建立了一種權(quán)重求解的線性目標(biāo)規(guī)劃模型。下面以三角模糊數(shù)判斷矩陣為例描述該模型的建立過(guò)程，建立的模型完全可以推廣到區(qū)間模糊數(shù)和梯形模糊數(shù)判斷矩陣的情況。

如果判斷矩陣為完全一致性矩陣，則有：

式(3)～式(5)等價(jià)于：

如果判斷矩陣為不一致矩陣，則令：

其中αij、βij、γij表示不一致性引起的估計(jì)偏差。

2）式的目標(biāo)函數(shù)是要使決策者的估計(jì)和元素重要性比值的期望之間的偏差最小，其根本目的是追求判斷矩陣的不一致性程度最低。因此，式(2)的目標(biāo)函數(shù)等價(jià)于：

根據(jù)Wang和Elhag的研究結(jié)果[12]，模糊歸一化的權(quán)重向量一定滿足下列約束條件：

式(13)～式(15)等價(jià)于：

由于|(a+b+c)/3|≤|a|+|b|+|c| ，所以：

基于以上分析，本文建立的非線性規(guī)劃模型為：Min：

令：

i=1,2,…,n，i＜ j ＜n，則有：

從而，將式(19)的非線性規(guī)劃模型變換成式(20)的線性目標(biāo)規(guī)劃模型：

對(duì)該模型的求解，可采用單純形法，具體過(guò)程不再詳述。對(duì)任何滿足一致性指標(biāo)的三角模糊判斷矩陣，其規(guī)劃模型中的目標(biāo)函數(shù)值等于0。反過(guò)來(lái)，如果規(guī)劃模型中目標(biāo)函數(shù)的值為0，那么就一定可以肯定相應(yīng)的三角模糊矩陣為一致性判斷矩陣，否則，為非一致性判斷矩陣，且目標(biāo)函數(shù)值的大小反映了判斷矩陣的不一致性程度。

2 實(shí)例分析

對(duì)該判斷矩陣，采用本文目標(biāo)規(guī)劃方法得到的模糊歸一權(quán)重為：

該權(quán)重向量對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值為：Z*=0.034。由于目標(biāo)函數(shù)值不等于零，因此可以肯定該矩陣為不一致判斷矩陣。

對(duì)此判斷矩陣，文獻(xiàn)[15]采用限度分析法得到的確定性權(quán)重值為W=（0.46，019，0.12，0.12，0.11）T?？梢园l(fā)現(xiàn)，該結(jié)果的前三個(gè)元素權(quán)重0.46，0.19和0.11均超出了它們的合理取值區(qū)間（（0.367～0.405），（0.211～0.259），（0.113～0.155））。因此，其結(jié)果是不合理的。Wang等[12]研究認(rèn)為通過(guò)限度分析法獲得的權(quán)重并不能真正反映決策準(zhǔn)則或備選方案之間的相對(duì)重要性，因此，也不能作為這些元素的重要性權(quán)重。這就是為什么在上述實(shí)例中采用限度分析法得到的確定權(quán)重值超出了采用目標(biāo)規(guī)劃方法得到的模糊權(quán)重的區(qū)間范圍的原因。

3 結(jié)論

考慮到模糊層次分析法在實(shí)際的評(píng)價(jià)決策領(lǐng)域應(yīng)用的廣泛性，以及通過(guò)模糊判斷矩陣求解元素權(quán)重的困難性，本文以模糊判斷矩陣的不一致性程度最小為目標(biāo)，建立了一種模糊權(quán)重求解的線性目標(biāo)規(guī)劃模型，在權(quán)重的合理范圍內(nèi)尋找使目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)的期望權(quán)重作為最終的評(píng)價(jià)元素權(quán)重，目的是使得元素重要性權(quán)重與決策者估計(jì)之間的偏差最小。通過(guò)實(shí)例計(jì)算并和文獻(xiàn)中采用限度分析法給出的結(jié)果進(jìn)行比較，指出限度分析法計(jì)算得到的元素權(quán)重的不合理性。