三自由度工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析

楊 妍，潘松峰

（青島大學(xué) 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，青島 266071）

0 引言

現(xiàn)在的服務(wù)型機(jī)器人當(dāng)中的動(dòng)力學(xué)運(yùn)用比較廣泛，如波士頓機(jī)器人的后空翻動(dòng)作運(yùn)用的是典型的動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)，但是在工業(yè)機(jī)器人領(lǐng)域當(dāng)中，更多的是運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)來解決問題，動(dòng)力學(xué)的運(yùn)用相對(duì)來說就少之又少，現(xiàn)有的動(dòng)力學(xué)中也以機(jī)器人的本體動(dòng)力學(xué)為主，然而，機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)的過程中必然會(huì)存在能量的消耗問題，而機(jī)器人的動(dòng)力來源于電機(jī)，將電機(jī)模型和機(jī)器人本體動(dòng)力學(xué)模型結(jié)合得到的動(dòng)力學(xué)模型將全面考慮機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)過程中的消耗問題，也將為日后的工業(yè)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)研究打下基礎(chǔ)。

1 機(jī)器人本體動(dòng)力學(xué)模型

三自由度機(jī)器人的結(jié)構(gòu)原理圖如圖1所示。

圖1 三自由度機(jī)器人結(jié)構(gòu)原理圖

圖2 三自由度機(jī)器人結(jié)構(gòu)仿真圖

圖1中，A、B兩點(diǎn)之間為桿1，桿長為d1，質(zhì)量為m1，旋轉(zhuǎn)角度為0°≤θ1≤180°，驅(qū)動(dòng)電機(jī)在A點(diǎn)作用；B、C兩點(diǎn)之間為桿2，桿長為d2，質(zhì)量為m2，旋轉(zhuǎn)角度為0°≤θ2≤180°，驅(qū)動(dòng)電機(jī)在B點(diǎn)作用；C、D兩點(diǎn)之間為桿3，桿長為d2，質(zhì)量為m3，旋轉(zhuǎn)角度為0°≤θ3≤180°，驅(qū)動(dòng)電機(jī)在C點(diǎn)作用。其中，各桿的質(zhì)量均以桿末端點(diǎn)的質(zhì)量來表示。

我們利用拉格朗日功能平衡法來計(jì)算系統(tǒng)的本體動(dòng)力學(xué)方程。

拉格朗日函數(shù)定義如下：

其中，K表示動(dòng)能，P表示位能，K和P可以用任何方便的坐標(biāo)系來表示。

則機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程可以表示為：

由式(1)、式(2)我們可以得到機(jī)器人的本體動(dòng)力學(xué)方程為：

2 雅可比矩陣

根據(jù)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的正解，可以知道末端抓手的位置矢量P1，P2，P3，則沿基坐標(biāo)軸方向的平移速度矢量可以表示為：

由此可以得到機(jī)器人的雅可比矩陣為：

3 電機(jī)模型

機(jī)器人的驅(qū)動(dòng)電機(jī)我們選用PMSM（永磁同步電機(jī)），PMSM在同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)下的數(shù)學(xué)模型可以表示為：

式中，ud和uq分別為d軸和q軸的定子電壓；id和iq分別為d軸和q軸的定子電流；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；RS為定子電阻；為轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度；為永磁體產(chǎn)生的磁鏈；np為極對(duì)數(shù)；J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Te為電磁轉(zhuǎn)矩。

若機(jī)器人的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)電機(jī)為PMSM，三自由度機(jī)器人動(dòng)力學(xué)控制原理圖如圖3所示。

在工程計(jì)算中，往往不用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J，而用飛輪矩GD2，兩者之間的關(guān)系如下：

將式(11)代入式(10)中可得：

當(dāng)Te＞TL時(shí)，，系統(tǒng)加速；

圖3 機(jī)器人動(dòng)力學(xué)控制原理圖

當(dāng)Te＜TL時(shí)，，系統(tǒng)減速；

當(dāng)Te=TL時(shí)，系統(tǒng)以恒速運(yùn)動(dòng)，即穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)，在穩(wěn)態(tài)時(shí)，電動(dòng)機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩大小由電動(dòng)機(jī)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩所決定。

在實(shí)際的系統(tǒng)中，在電機(jī)與負(fù)載之間往往有減速器，如圖4所示。

圖4 多軸傳動(dòng)系統(tǒng)圖

在計(jì)算過程當(dāng)中，我們通常將負(fù)載轉(zhuǎn)矩折算到電機(jī)轉(zhuǎn)矩上。

首先，按照能量守恒，折算到電機(jī)軸上的負(fù)載功率應(yīng)等于工作機(jī)械的負(fù)載工率加上減速器中的損耗，即：

兩種運(yùn)動(dòng)負(fù)載折算到電機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩為：

按照能量守恒：

等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和飛輪矩分別為：

4 機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型

機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型就是將機(jī)器人的本體模型與雅可比矩陣和電機(jī)模型相結(jié)合，即由式(3)、式(9)、式(12)、式(17)可得：

5 結(jié)束語

本文研究的對(duì)象主要是三自由度工業(yè)用機(jī)器人，對(duì)其動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了分析。我們首先通過機(jī)器人的結(jié)構(gòu)原理圖及其相關(guān)參數(shù)得到機(jī)器人的本體動(dòng)力學(xué)模型，再通過建立的坐標(biāo)系推導(dǎo)出機(jī)器人的雅克比矩陣，再通過運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，知道末端位姿與各個(gè)關(guān)節(jié)之間的聯(lián)系。機(jī)器人的各個(gè)關(guān)節(jié)都采用PMSM來控制，通過PMSM的數(shù)學(xué)模型得到電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩與負(fù)載轉(zhuǎn)矩之間的聯(lián)系，并將負(fù)載的轉(zhuǎn)矩和飛輪矩通過減速器的減速比和能量守恒定律折算到電機(jī)側(cè)，得到了折算到電動(dòng)機(jī)軸上的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，進(jìn)而得出機(jī)器人完整的動(dòng)力學(xué)方程。通過方程我們可以看出，電機(jī)的轉(zhuǎn)速、重量以及慣性直徑和減速比等都與機(jī)器人各關(guān)節(jié)的位置和速度有直接的關(guān)系，我們可以改變相關(guān)的參數(shù)來改變機(jī)器人的姿態(tài)，實(shí)現(xiàn)良好的控制，這為日后研究工業(yè)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)控制打下基礎(chǔ)。