應(yīng)用于冷氣微推力器的壓電晶片驅(qū)動穩(wěn)定性分析

韓銘麟，陳 君，汪旭東，張 濤

(北京控制工程研究所， 北京 100090)

冷氣微推力器是通過調(diào)節(jié)比例閥開度以控制衛(wèi)星推力的器件，具有高精度、快響應(yīng)、噪聲低的工作特點[1]，在LISA、GOCE[2]等無拖曳衛(wèi)星上具有很好的應(yīng)用前景。歐空局為了實現(xiàn)LISA衛(wèi)星的推力器小推力，低噪聲的技術(shù)要求，采用新型的三層壓電晶片驅(qū)動比例閥，實現(xiàn)推力精確調(diào)節(jié)[3]。目前，國內(nèi)對地球重力場測量和引力波探測項目的研究[4]已提上日程，需要迫切解決驅(qū)動機構(gòu)的精度問題。傳統(tǒng)的電磁類流體控制部件由于其功耗、精度、干擾等原因不能滿足衛(wèi)星高精度、快響應(yīng)、噪聲低的工作需求。采用壓電驅(qū)動技術(shù)[5]成為解決該問題的最佳選擇。北京控制工程研究所對疊堆型壓電驅(qū)動器進(jìn)行了動力學(xué)建模及實驗研究[6]，并成功應(yīng)用于星載冷氣推力器。與此同時，北京控制工程研究所研制的新型壓電晶片驅(qū)動比例閥也計劃應(yīng)用于無拖曳衛(wèi)星[7]。然而，由于單晶片驅(qū)動機構(gòu)具有位移小的缺點[8]，需要采用多片串聯(lián)，增大驅(qū)動位移的方式，但壓電片數(shù)增多可能會導(dǎo)致驅(qū)動機構(gòu)不穩(wěn)定。因此，針對多自由度壓電晶片驅(qū)動機構(gòu)模型的建立及穩(wěn)定性的分析研究是必要的。

本文研究對象是多自由度壓電晶片驅(qū)動機構(gòu)，對其建立了多自由度質(zhì)量塊—彈簧—阻尼等效模型[9]。通過對壓電晶片驅(qū)動機構(gòu)模型中等效剛度和阻尼系數(shù)變參數(shù)研究系統(tǒng)在不同情況下的能控性及穩(wěn)定性[10]。本文研究采用MATLAB數(shù)學(xué)軟件[11,12]計算系統(tǒng)的階躍響應(yīng)和對應(yīng)的零極點分布圖，得出系統(tǒng)是鎮(zhèn)定的，階躍響應(yīng)穩(wěn)定在3.34×10-6m。

1 壓電晶片驅(qū)動等效模型建立

1.1 單片壓電晶片等效模型建立

單片壓電晶片結(jié)構(gòu)如圖1所示。整個壓電晶片分為3層，分別為壓電層(PZT)，粘結(jié)層和被動金屬板層。對單片壓電晶片通電，由于逆壓電效應(yīng)，PZT產(chǎn)生彎曲變形，整個3層結(jié)構(gòu)受力變形輸出位移[13]。

單片壓電晶片受電壓激勵彎曲變形的運動模型，可以等效為彈簧的彈性變形與阻尼的減振共同作用的運動模型。壓電環(huán)片和連接的質(zhì)量塊構(gòu)成質(zhì)量—彈簧—阻尼系統(tǒng)，如圖2所示。

質(zhì)量—彈簧—阻尼等效模型動力學(xué)方程：

(1)

式中：c為黏性阻尼系數(shù)；x為質(zhì)量塊由靜止平衡位置開始的振動位移；k為系統(tǒng)等效剛度；F0為系統(tǒng)受的外部力。

圓形板壓電片等效剛度表達(dá)式

(2)

式中：a為圓板半徑；h為壓電環(huán)片總厚度；Ee為等效彈性模量；ve為等效泊松比。

而單片壓電晶片是復(fù)雜的圓環(huán)結(jié)構(gòu)粘結(jié)而成。要計算單片壓電晶片，可將其復(fù)雜的結(jié)構(gòu)分解為單獨的內(nèi)、中、外3個圓環(huán)結(jié)構(gòu)，分解結(jié)構(gòu)如圖3所示。單片壓電晶片分解為3個簡單的圓環(huán)結(jié)構(gòu)[13]，所以只要知道圓環(huán)片的等效剛度計算方法，便能求出單片壓電晶片等效剛度。

圓板和圓環(huán)均可以看成彈性元件。在一個圓板內(nèi)分割出一個小圓板和圓環(huán)，故大圓板的彎曲變形可以認(rèn)為是小圓板和圓環(huán)分別彎曲變形合成，所以小圓板、圓環(huán)與大圓板的撓度形變過程可以等效為兩個彈簧的串聯(lián)，大圓板為復(fù)合彈簧。

以外環(huán)為例，其等效剛度為

(3)

式中：Rp是外環(huán)外徑；Ro為外環(huán)內(nèi)徑；k11為大圓板等效剛度；k12為小圓板等效剛度，根據(jù)彈簧串聯(lián)模型得到外環(huán)等效剛度k1。同理，內(nèi)環(huán)等效剛度k2，中環(huán)等效剛度k3通過同樣的方式獲得，最終得到單片壓電晶片等效剛度

(4)

在流體驅(qū)動元件中，相對阻尼系數(shù)ξ與彈性元件剛度k之間的關(guān)系

(5)

由以上方法分析獲得單片壓電晶片的等效剛度k和阻尼系數(shù)c。且由公式知，阻尼系數(shù)c與剛度k成正比關(guān)系。

1.2 多自由度壓電晶片等效模型建立

當(dāng)多自由度壓電晶片受到電壓激勵后，會做出相應(yīng)的響應(yīng)，產(chǎn)生撓度變化，最終到達(dá)穩(wěn)態(tài)位置。而在響應(yīng)過程中由于壓電片的剛度—阻尼作用，需要一定的響應(yīng)時間。整個響應(yīng)過程可以看作多自由度質(zhì)量塊—彈簧—阻尼系統(tǒng)，而輸入的電壓激勵僅僅決定等效模型中彈簧的形變量，因為電壓的變化，決定最終穩(wěn)態(tài)位置，即影響彈簧等效初始形變量，并不會對多自由度壓電晶片的材料剛度和阻尼產(chǎn)生影響，所以對其建立等效的多自由度質(zhì)量塊—彈簧—阻尼模型是合理的。

以5層的壓電晶片為例，進(jìn)行建模如圖4所示。通過數(shù)軸法建模使質(zhì)量塊—彈簧—阻尼系統(tǒng)描述更為簡單。

從系統(tǒng)的機理出發(fā)建立該模型的動力學(xué)方程為

(6)

式中：x1～x5為物塊1～5的彈簧伸長量；M1～M5分別為物塊質(zhì)量；x6～x10為物塊對應(yīng)的速度；PA為最后一層驅(qū)動機構(gòu)受到的閥內(nèi)氣流壓力載荷；y為整個多自由度壓電晶片的彎曲撓度。

為了分析方便，將該模型寫為狀態(tài)空間表達(dá)式：

(7)

2 系統(tǒng)模型特性分析

從1.2節(jié)建立的模型得到系統(tǒng)是一個線性定常系統(tǒng)。對線性定常系統(tǒng)，一般先判斷系統(tǒng)的能控性，若能控，便可設(shè)計相應(yīng)的控制器使驅(qū)動作用更加精確；若不能控，則判斷系統(tǒng)不能控子塊是否穩(wěn)定，即系統(tǒng)是否鎮(zhèn)定，對于鎮(zhèn)定系統(tǒng)，便可從硬件入手，如改變材料剛度，阻尼等，使系統(tǒng)滿足穩(wěn)態(tài)指標(biāo)；若是非鎮(zhèn)定系統(tǒng)，則該驅(qū)動系統(tǒng)無法工作。

常用的系統(tǒng)能控性判別是通過能控性矩陣是否滿秩判斷。對于五層壓電晶片模型，該矩陣為

(8)

很明顯，由于B秩是1，所以，M的秩也小于10，即rank(M)<10，系統(tǒng)不可控。從后面的仿真數(shù)值計算也可驗證該結(jié)論。

系統(tǒng)穩(wěn)定性分析，常用的系統(tǒng)穩(wěn)定性判別法有根軌跡判別，奈奎斯特圖和李雅普諾夫等方法。

對于1.2節(jié)式(7)建立的狀態(tài)空間方程。平衡狀態(tài)xe=0漸近穩(wěn)定的充要條件是矩陣A的所有特征值均具有負(fù)實部。即系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定。

從工程意義上看，往往更看重輸出穩(wěn)定性。系統(tǒng)輸出穩(wěn)定性的判斷，需要解出其傳遞函數(shù)：W(s)=C(sI-A)-1B的極點。其穩(wěn)定的充要條件是極點全部位于s的左半平面。

系統(tǒng)模型特性分析，為多自由度壓電晶片驅(qū)動機構(gòu)的穩(wěn)定工作提供理論基礎(chǔ)，對新型推力器的研制及改進(jìn)提供幫助。

3 模型數(shù)值計算及仿真分析

單片壓電晶片被動板采用的是不銹鋼板，楊氏模量Ep=2.1×1011N/m2，泊松比vp=0.3；復(fù)合板等效楊氏模量取Ee=1.1×1011N/m2，泊松比ve=0.3。

經(jīng)過Matlab解算，能控矩陣rank(M)=3，驗證了五自由度壓電晶片驅(qū)動機構(gòu)不可控的結(jié)論。

由于壓電晶片材料尺寸和設(shè)計結(jié)構(gòu)的不同，會導(dǎo)致五自由度壓電晶片驅(qū)動機構(gòu)的等效剛度和阻尼系數(shù)變化。故對系統(tǒng)等效剛度和阻尼系數(shù)變參數(shù)仿真，考察系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

壓電晶片材料的等效剛度和阻尼系數(shù)取3組不同的數(shù)據(jù)，如表1。

表1 三組等效剛度與阻尼系數(shù)

3組不同參數(shù)下的系統(tǒng)階躍響應(yīng)和零極點分布如圖5。

從3組不同參數(shù)的階躍響應(yīng)可以看出，在1ms內(nèi)系統(tǒng)均達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，可見響應(yīng)速度很快，滿足新型推力器響應(yīng)快的要求。隨著五自由度壓電晶片驅(qū)動機構(gòu)的等效剛度數(shù)值的降低，相應(yīng)的阻尼系數(shù)也成比例降低，系統(tǒng)阻尼下降，即使振蕩作用加強，由仿真結(jié)果得到驗證：隨著阻尼減小，階躍響應(yīng)由過阻尼狀態(tài)逐漸過渡到欠阻尼狀態(tài)，且響應(yīng)時間也相應(yīng)增加。而剛度的變化則會決定系統(tǒng)最終的平衡狀態(tài)。剛度越小，阻礙彈性形變的能力越弱，故最終穩(wěn)態(tài)形變量越大。由仿真結(jié)果，的確隨著剛度減弱響應(yīng)幅值增大。而由右側(cè)不同參數(shù)下的零極點分布圖，也間接驗證系統(tǒng)在等效剛度和阻尼系數(shù)變參數(shù)時，保持穩(wěn)定。故整個五自由度壓電晶片驅(qū)動機構(gòu)是鎮(zhèn)定系統(tǒng)。

為了更準(zhǔn)確地仿真解算，多自由度壓電晶片驅(qū)動機構(gòu)在微推力器機構(gòu)中的工作響應(yīng)過程，對實際生產(chǎn)的壓電晶片尺寸進(jìn)行測量，經(jīng)計算實物元件等效剛度約為k=1.45×106N/m，其阻尼系數(shù)約為c=1.02×103N/(m·s-1)。其仿真結(jié)果如圖6所示。

該壓電晶片驅(qū)動結(jié)構(gòu)是過阻尼系統(tǒng)，對零極點分布結(jié)果分析，一部分有負(fù)實部，一部分聚集在零點，很難分辨，所以通過數(shù)值計算系統(tǒng)的10個極點，其負(fù)實部如表2所示。

表2 系統(tǒng)極點實部數(shù)值

其10個極點均有負(fù)實部，是穩(wěn)定系統(tǒng)，可知壓電晶片能穩(wěn)定工作，但系統(tǒng)rank(M)=3，不可控，若要改善系統(tǒng)性能，只能通過改變系統(tǒng)剛度和阻尼系數(shù)。從仿真結(jié)果看出，響應(yīng)較快，4×10-3s左右到達(dá)穩(wěn)態(tài)，且響應(yīng)穩(wěn)定在3.34×10-6m，達(dá)到μm量級能作為精確控制的驅(qū)動機構(gòu)。

4 結(jié)論

1) 多自由度壓電晶片結(jié)構(gòu)是一個過阻尼系統(tǒng)，響應(yīng)速度快。

2) 由多自由度壓電晶片等效模型知，該驅(qū)動機構(gòu)不可控，其極點具有負(fù)實部，其系統(tǒng)是鎮(zhèn)定的，即穩(wěn)定的。響應(yīng)穩(wěn)定在3.34×10-6m。

3) 對多自由度壓電晶片驅(qū)動機構(gòu)穩(wěn)定性分析為其模型和可行性提供理論基礎(chǔ)，對新型推力器的研制及改進(jìn)提供幫助。后續(xù)可進(jìn)一步實驗，辨識準(zhǔn)確的等效剛度和阻尼系數(shù)等參數(shù)。