軌跡圓與磁場圓等大時帶電粒子運(yùn)動模型分析

陳璽君

(丹陽市呂叔湘中學(xué) 江蘇 鎮(zhèn)江 212300; 廣西師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 廣西 桂林 541004)

1 引言

2 問題場景

在磁場教學(xué)中教師經(jīng)常讓學(xué)生解決這樣一個問題：

【典例】如圖1(a)所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上.在xOy平面內(nèi)有與y軸平行的勻強(qiáng)電場，在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)加有與xOy平面垂直的勻強(qiáng)磁場.在坐標(biāo)原點(diǎn)O處放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它可以連續(xù)不斷地發(fā)射具有相同質(zhì)量m,電荷量q(q>0)和初速度為v0的帶電粒子.已知重力加速度大小為g.

(1)當(dāng)帶電微粒發(fā)射裝置連續(xù)不斷地沿y軸正方向發(fā)射這種帶電微粒時，這些帶電微粒將沿圓形磁場區(qū)域的水平直徑方向離開磁場，并繼續(xù)沿x軸正方向運(yùn)動.求電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向.

(2)調(diào)節(jié)坐標(biāo)原點(diǎn)O處的帶電微粒發(fā)射裝置，使其在xOy平面內(nèi)不斷地以相同速率v0沿不同方向?qū)⑦@種帶電微粒射入第Ⅰ象限，如圖1(b)所示.現(xiàn)要求這些帶電微粒最終都能平行于x軸正方向運(yùn)動，則在保證勻強(qiáng)電場、勻強(qiáng)磁場的強(qiáng)度及方向不變的條件下，應(yīng)如何改變勻強(qiáng)磁場的分布區(qū)域?并求出符合條件的磁場區(qū)域的最小面積.

圖1 題圖

筆者發(fā)現(xiàn)，在教學(xué)過程中，對于典例中第(2)問的求解過程，學(xué)生感覺難度很大，如果在解決該問題之前，能夠先熟悉掌握以下運(yùn)動模型，可以使教學(xué)變得從容，從而讓學(xué)生求解以上問題變得更加輕松.

3 模型概述

設(shè)圓形磁場方向垂直紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，一帶正電的微粒從圓形磁場圓形邊界A點(diǎn)入射.為方便討論，本文中帶電粒子的速率v不做特別說明均認(rèn)為

其中q為帶電粒子的電荷量，B為圓形勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度，R為帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的圓軌跡半徑，亦為磁場圓的半徑，m為帶電粒子的質(zhì)量，粒子的重力不計.

4 模型結(jié)論

結(jié)論1：帶電粒子以速率v從圓形勻強(qiáng)磁場邊界任意位置沿半徑射入磁場，必沿半徑方向射出磁場.

證明：如圖2所示，AO=BO=AO′=BO′,且AO⊥AO′,BO′⊥BO，故四邊形AOBO′為正方形，BO⊥BO′，因此vB與BO在一條直線上，沿半徑方向射出磁場.

圖2 結(jié)論1分析圖

結(jié)論2：帶電粒子以速率v從圓形勻強(qiáng)磁場邊界任意位置以任意方向進(jìn)入磁場，則粒子出磁場時的速度方向必垂直于粒子進(jìn)磁場位置所在的圓直徑且平行于入射點(diǎn)磁場圓的切線.

證明：如圖3所示，過A點(diǎn)作直線AC與磁場圓相切，過B點(diǎn)作vB的反向延長線BD，O和O′為磁場圓與軌跡圓的圓心，AO=BO=BO′=AO′=R,故四邊形AOBO′為菱形，BD⊥AO,vB⊥AO，即vB⊥AE(直徑),而AC⊥AO,vB∥AC.

圖3 結(jié)論2情形1分析圖

證明：如圖4所示，過B點(diǎn)作vB的反向延長線BC，O和O′為磁場圓與軌跡圓的圓心，AO=BO=BO′=AO′=R，四邊形AOBO′為菱形，BO′∥AO,即BO′∥AD,而vB⊥BO′,故vB⊥AD(直徑),另AE⊥AD(直徑),vB∥AE.

圖4 結(jié)論2情形2分析圖

結(jié)論3：大量相同的帶電粒子以速率v從圓形勻強(qiáng)磁場邊界任意位置以任意方向進(jìn)入磁場，則所有帶電粒子離開磁場時速度方向必相同(平行).

證明：如圖5所示，由結(jié)論2的證明可知，從相同點(diǎn)入射的速率相同方向不同的帶電粒子出射方向均與同一直徑垂直或與入射點(diǎn)的同一切線平行，故帶電粒子出磁場的出射速度方向必互相平行.

圖5 結(jié)論3分析圖

結(jié)論4：帶電粒子以速率v從圓形勻強(qiáng)磁場邊界任意位置以任意方向進(jìn)入磁場，離開磁場時的速度方向與進(jìn)入磁場時位置的垂直高度距離y最大值不超過2R，且滿足下列關(guān)系.

y=R(1-cosθ)

或

y=R[1+cos (π-θ)]

或

證明：以入射點(diǎn)A作為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)磁場圓切線為x軸，直徑為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)入射速度vA與x軸的夾角為θ.

圖6 結(jié)論4當(dāng)時的分析圖

圖7 結(jié)論4當(dāng)時的分析圖

從圖7易知：就算入射角θ=π，即假如粒子能沿著磁場邊界做圓周運(yùn)動，則y=2R，因此，帶電粒子離開磁場時的速度方向與進(jìn)入磁場時位置的垂直高度距離y最大值不超過2R.

結(jié)論5：從圓形勻強(qiáng)磁場邊界任意位置以任意方向速度v進(jìn)入磁場的帶電粒子1運(yùn)動軌跡與以該粒子出磁場時的速度v反方向且速度等大進(jìn)入圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域中帶電粒子2軌跡之和為定值s1+s2=πR，且?guī)щ娏Ｗ?的入射點(diǎn)和帶電粒子2的出射點(diǎn)分別在磁場圓直徑的兩端點(diǎn).

圖8 結(jié)論5證明分析圖

仿真實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)如圖9，圖10，圖11所示.

圖9 運(yùn)動對象設(shè)置

圖10 勻強(qiáng)磁場設(shè)置

圖11 模擬結(jié)果

取磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=1 T，磁場半徑R=30 m,帶電小球質(zhì)量M=3 kg，Q=1 C，彈性系數(shù)為1，在磁場右邊設(shè)置一塊豎直的彈性擋板，分別讓多個相同屬性的帶電小球(不設(shè)重力場)以相同大小的速率v=10 m/s，從A點(diǎn)以不同的入射角θ同時進(jìn)入磁場，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)所有的小球經(jīng)過與入射點(diǎn)所在的直徑平行的彈性擋板反彈之后在直徑的另一端同時相遇，與理論預(yù)期一致.

5 問題解答

有了以上模型分析得出的結(jié)論，下面來解決文中一開始出現(xiàn)的典例.

5.1 分析

第(1)問由題目中“帶電粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處沿y軸正方向進(jìn)入磁場后，最終沿圓形磁場區(qū)域的水平直徑離開磁場并繼續(xù)沿x軸正方向運(yùn)動”可知：

其一,帶電微粒所受重力必與電場力平衡，洛倫茲力作向心力使得帶電微粒做勻速圓周運(yùn)動.

其二,帶電微粒在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的軌跡圓半徑與磁場圓半徑必相等.

5.2 詳細(xì)解答

解：(1)由題目中“帶電粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處沿y軸正方向進(jìn)入磁場后，最終沿圓形磁場區(qū)域的水平直徑離開磁場并繼續(xù)沿x軸正方向運(yùn)動”可知，帶電微粒所受重力與電場力平衡.設(shè)電場強(qiáng)度大小為E，由平衡條件得

mg=qE

故

電場方向沿y軸正方向，帶電微粒進(jìn)入磁場后，做勻速圓周運(yùn)動，且圓運(yùn)動半徑r=R.設(shè)勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.由牛頓第二定律得

故

磁場方向垂直于紙面向外.

這樣磁場邊界上P點(diǎn)的坐標(biāo)P(x，y)應(yīng)滿足方程：

x=Rsinθy=R(1-cosθ)

所以磁場邊界的方程為

x2+(y-R)2=R2

(x-R)2+y2=R2

即為所求磁場的另一側(cè)的邊，因此，符合題目要求的最小磁場的范圍應(yīng)是圓x2+(y-R)2=R2與圓(x-R)2+y2=R2的交集部分(圖12中陰影部分).由幾何關(guān)系，可以求得符合條件的磁場的最小面積為

圖12 最小磁場范圍

6 結(jié)束語