一類隨機(jī)波動(dòng)方程的漸近行為

班愛玲

(池州學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，安徽 池州 247000)

關(guān)鍵字：強(qiáng)阻尼；波動(dòng)方程；隨機(jī)吸引子；Wiener過(guò)程

引 言

設(shè)U?R3是具有光滑邊界?U的有界開集，考慮下面具有臨界增長(zhǎng)指數(shù)的強(qiáng)阻尼隨機(jī)波動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題：

(1)

其中u=u(x,t)是U×[0,+)上的實(shí)值函數(shù)，α>0為強(qiáng)阻尼系數(shù)，β>0為阻尼系數(shù)，K>0為耗散系數(shù)，非線性項(xiàng)f∈C′(R;R)具有臨界增長(zhǎng)指數(shù)，W(t)是一完備概率空間上的一維雙邊Wiener過(guò)程。

(III)存在常數(shù)c2>0，0p4,?s∈R，使得|f′(s)|c2(1+|s|p)。

當(dāng)W(t)≡t時(shí)，方程(1)是一個(gè)無(wú)白噪音的確定性系統(tǒng)，很多作者都研究了其方程的全局吸引子的存在性及全局吸引子的Hausdorff維數(shù)估計(jì)，見[1,2,3]。然而相比確定性動(dòng)力系統(tǒng)，隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)更能準(zhǔn)確地描述客觀現(xiàn)象，如流體力學(xué)中極其重要的隨機(jī)Navier-Stokes方程，如受自然界風(fēng)影響的水流等。

方程(1)具有實(shí)際的物理意義，如量子力學(xué)中非線性項(xiàng)f(u)=|u|γu,γ≥0的波動(dòng)方程，又如f(u)=sinu的Sine-Gordon方程，見[4,5,6]，而本文主要證明對(duì)非線性項(xiàng)f(u)具有臨界增長(zhǎng)指數(shù)的條件下方程(1)的解所確定的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)存在一個(gè)緊的隨機(jī)吸引子。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)(Ω,F,P)為一完備的概率空間，Ω={ω∈C(R,R):ω(0)=0}，Ω上的Borelσ-代數(shù)F是由緊開

拓?fù)渖傻?，P是F上的Wiener測(cè)度，定義Ω上的一簇保測(cè)的與遍歷的變換{θt,t∈R}如下：

θtω(·)=ω(·+t)-ω(t),t∈R。

則(Ω,F,P，(θt)t∈R)成為遍歷的度量動(dòng)力系統(tǒng)。

定義1.1[7]設(shè)(Ω,F,P，(θt)t∈R)是一個(gè)度量動(dòng)力系統(tǒng)，X是一完備的可分空間。若(B(R+)×F×B(X),B(X))-可測(cè)映照φ:R+×Ω×X→X,(t,ω,x)→φ(t,ω,x)，滿足條件：

(1)φ(0,ω,x)=x,ω∈Ω,x∈X;

(2)φ(t+s,ω,·)=φ(t,θsω,φ(s,ω,·)),s,t≥0,ω∈Ω;

(3)φ關(guān)于t和x連續(xù)，

則稱φ是(Ω,F,P，(θt)t∈R)上的一個(gè)連續(xù)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)。

dH(E,F)稱為從E到F的Hausdorff半距離。

定義1.2[7](1)若映照ω→d(x,D(ω))對(duì)任意x∈X是可測(cè)的，則集值映照ω→D(ω):Ω→2X稱為隨機(jī)集。若任意ω∈Ω,D(ω)是閉(緊)的，則ω→D(ω)稱為隨機(jī)閉(緊)集。若存在x0∈X和隨機(jī)變量R(ω)>0使得

D(ω)?{x∈X:‖x-x0‖XR(ω)},ω∈Ω成立，則隨機(jī)集ω→D(ω)稱為有界的。

(2)若對(duì)p.a.s(依概率)ω∈Ω，

則稱隨機(jī)集ω→D(ω)是緩增的。

(3)若對(duì)任意的緩增隨機(jī)集ω→D(ω)，存在t0(ω)>0，使得φ(t,θ-tω,D(θ-tω))?B(ω),t≥t0(ω),ω∈Ω成立，則ω→B(ω)稱為隨機(jī)吸收集。

(4)若對(duì)任意的緩增隨機(jī)集ω→D(ω)，有

則ω→B1(ω)稱為隨機(jī)吸引集。

(5)若隨機(jī)緊的吸引集ω→κ(ω)滿足φ(t,ω,κ(ω))=κ(θtω),ω∈Ω,t≥0，則稱ω→κ(ω)為隨機(jī)吸引子。

定理1.1[7]設(shè)φ是(Ω,F,P，(θt)t∈R)上的連續(xù)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)，若φ具有一個(gè)緩增隨機(jī)緊吸引集ω→B1(ω)，則φ具有唯一的隨機(jī)吸引子ω→κ(ω)，滿足

本文中用到的一些記號(hào)如下：

0<λ1λ2…λl…,λi→+(i→+)。

易證‖.‖μ,E等價(jià)于E的通常范數(shù)。

2 主要結(jié)果

則方程(1)可以化為以下初值問(wèn)題：

φt+Λ(φ)=Q(ω,φ),φ0(ω)=(u0,u1+εu0)T,t>0，

(2)

其中

顯然，隨機(jī)變量z(ω)是緩增的，映照t→z(θtω)是p.a.sω∈Ω連續(xù)的，參考[8,9]。

令h(t)=v(t)-gz(θtω)，由方程(2)可得，

(3)

方程(3)中的算子Λ是E上的一個(gè)扇形算子并生成E上的一個(gè)解析半群{eΛt}t≥0，

引理2.1[10,11]對(duì)任意ω∈Ω,φ0∈E，方程(3)存在唯一的φ(·,ω,φ0)∈([0,+),E)，

使得φ(0,ω,φ0)=φ0以及φ(t,ω,φ0)滿足：

(4)

若φ0∈D(Λ)，則存在φ(·,ω,φ0)∈C([0,+);D(Λ))∩C1((0,+);E)滿足(4)，并且

φ(t,ω,φ0)關(guān)于t,φ0二元連續(xù)，所以φ:R+×Ω×E→E是一個(gè)連續(xù)的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)。

為下文研究方便，引入兩個(gè)同構(gòu)映照：

Sε(θtω):(x1,x2)T→(x1,x2-εx1+gz(θtω))T;Tε:(x1,x2)T→(x1,x2-εx1)T。

其逆同構(gòu)映照分別為：

因此，討論動(dòng)力系統(tǒng)ψ(t,ω)，只需討論與它等價(jià)的動(dòng)力系統(tǒng)φ(t,ω)即可。

引理2.2[1]對(duì)任意φ=(u,v)T∈E1，

定理2.1設(shè)φ為方程(2)的一個(gè)解，則存在E中的一個(gè)緩增隨機(jī)集B0(ω)，對(duì)E中任意的緩增隨機(jī)集B(ω)，都存在一個(gè)緩增隨機(jī)變量TB(ω)>0，使得

φ(t,θ-tω)B(θ-tω)?B0(ω),?t≥TB(ω),ω∈Ω。

(5)

由條件(I)，(II)得，存在常數(shù)k1,k2≥0，使得

(6)

(7)

(8)

由引理3.2和(6),(8)得，

(9)

由(5),(9)得

因此,由Gronwall不等式得，

由(Ⅲ)知，存在常數(shù)c3>0，使得|f(u)|c3(1+|u|p+1)，對(duì)于任意的隨機(jī)有界集B(ω)，由于φ0(ω)∈B(ω)是緩增的，則由?H-1(U)得，存在常數(shù)c4>0，使得c4，由(6)得，存在常數(shù)c5>0，使得c5，

因此，存在常數(shù)

由文獻(xiàn)[12]得，對(duì)任意?>0，則存在隨機(jī)變量r:ΩR+，使得，

‖z(θtω)‖2e?tr2(ω),?t∈R,ω∈Ω。

(10)

所以，B0(ω)=φ∈E:‖φ‖μ,ER0(ω)，則B0(ω)是φ(t,ω)的隨機(jī)吸收集。

引理2.3對(duì)任意的緩增有界集B(ω)，設(shè)φ(t)為方程(2)的具有初值φ0=(u0,u1+εu0)∈B(θ-tω)的解，它可以分解成φ(t)=φξ(t)+φη(t)，其中φξ(t),φη(t)分別滿足：

(11)

(12)

則當(dāng)t→時(shí)，

(13)

且存在一個(gè)緩增隨機(jī)半徑R1(ω)，使得對(duì)?ω∈Ω，

(14)

由(11),(12)得

(15)

(16)

由引理2.2易推算得，當(dāng)t→時(shí)，?則(13)成立。

由引理2.2及定理2.1推算得，

(17)

因此，取(10)中?=σ，由(10),(17)及Gronwall不等式得，

而‖z(θ-tω)‖2eσtr2(ω)，且r(ω)是緩增隨機(jī)集。

由于φ(t,θ-tω)φ0(θ-tω)=φ(t,θ-tω)(φ0-(0,gz(θ-tω))T)-(0,gz(ω))T，

因此對(duì)所有的ω∈Ω，(14)成立。

證明由引理2.3和(18)及定理2.1直接得到。