“獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用”教學(xué)設(shè)計（二）

何本勝

一、教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能：通過對典型案例的探究了解獨立性檢驗的基本思想，會對兩個分類變量進(jìn)行獨立性檢驗，明確獨立性檢驗的基本步驟，能利用獨立性檢驗的基本思想來解決實際問題.

2.過程與方法：通過探究“吸煙是否與患肺癌有關(guān)系”引出對分類變量是否有關(guān)的獨立性檢驗問題.通過列聯(lián)表、等高條形圖直觀感覺到吸煙和患肺癌可能相關(guān)，這一直覺來自于對數(shù)據(jù)的初步處理.我們需要知道通過樣本數(shù)據(jù)有多大把握認(rèn)為兩個分類變量有關(guān)，具體過程是讓學(xué)生在直觀感受的基礎(chǔ)上深入分析處理數(shù)據(jù)，提高數(shù)據(jù)分析和處理的能力.

3.情感、態(tài)度與價值觀：讓學(xué)生通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)認(rèn)識到數(shù)學(xué)與實際生活是緊密相連的，學(xué)會直觀和客觀、粗略和精確地評估兩個分類變量是否相關(guān).培養(yǎng)學(xué)生處理實際問題的能力，提高學(xué)生自我思考的能力，讓學(xué)生體驗到統(tǒng)計方法的作用，體驗到統(tǒng)計方法的科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性.

二、教學(xué)重、難點

重點：獨立性檢驗的基本思想及進(jìn)行獨立性檢驗的基本步驟.

難點：獨立性檢驗的基本思想；隨機變量提出的背景和理論基礎(chǔ).

三、教學(xué)方法

以層層設(shè)問的方式引導(dǎo)學(xué)生逐步了解獨立性檢驗的理論基礎(chǔ)和基本應(yīng)用；結(jié)合講授法幫助學(xué)生掌握本節(jié)課的內(nèi)容和思想方法；用分組合作的方式引導(dǎo)學(xué)生對本節(jié)內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，全面提升學(xué)生的思想認(rèn)識.

四、教學(xué)過程設(shè)計

1.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

PPT出示題為“韓國肺癌患者敗訴 狀告煙草公司賠償無果”“煙民患肺癌去世 煙草公司被判236億美元天價賠償”的新聞（具體內(nèi)容略）.

問題1：韓國煙草公司反駁的理由是什么？

問題2：應(yīng)從哪幾方面數(shù)據(jù)研究吸煙與患肺癌的關(guān)系？

設(shè)計意圖：通過現(xiàn)實中的具體案例激發(fā)學(xué)生的好奇心，為引入本節(jié)課內(nèi)容——分類變量獨立性檢驗“吸煙與患肺癌是否有關(guān)”做好準(zhǔn)備，通過引導(dǎo)學(xué)生回答問題引出分類變量、2×2列聯(lián)表等概念.

2.啟發(fā)引導(dǎo)，探究新知

為研究吸煙是否對患肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機地調(diào)查了9 965人.

問題1：觀察統(tǒng)計表格具有怎樣的結(jié)構(gòu)特點，核心數(shù)據(jù)在哪？

1.分類變量——變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，這樣的變量稱為分類變量

2.列聯(lián)表——像上表這樣列出的兩個分類變量的頻數(shù)表稱為列聯(lián)表.在高中階段我們只研究2×2列聯(lián)表.

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度觀察研究對象，自然生成本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的新的概念：分類變量和2×2列聯(lián)表.

問題2：從表格中還能得到其他信息嗎？

在不吸煙者中患肺癌的比重是 ；在吸煙者中患肺癌的比重是 .

得出結(jié)論：吸煙者患肺癌的可能性大.

相對于表格，圖像能更直觀地看出差異.

等高條形圖：

在這個等高條形圖中，兩者之間的比重有明顯差異，所以吸煙與患肺癌很可能是有關(guān)的.

問題3：上述結(jié)論是否可靠？或者說我們有多大可能性認(rèn)為它們有關(guān)？這在數(shù)學(xué)里屬于什么問題？

概率問題.

對所研究問題的數(shù)學(xué)表述：

“吸煙”記為事件A，“患肺癌”記為事件B，“吸煙與患肺癌有關(guān)”即事件A與事件B有關(guān).

問題的反面是：事件A與事件B相互獨立.

問題4：怎么判斷事件A與事件B相互獨立？

P（AB）=P（A）·P（B）

設(shè)計意圖：通過對統(tǒng)計表數(shù)據(jù)的初步處理和對等高條形圖的直接觀察，讓學(xué)生感受吸煙與是否患肺癌之間的聯(lián)系，在學(xué)生充分了解列聯(lián)表的數(shù)據(jù)信息后，引導(dǎo)學(xué)生運用概率知識分析吸煙與患肺癌是否有關(guān)，由感性的直觀分析過渡到理性的精確分析.

問題5：驗證兩事件是否無關(guān)，沒有概率如何處理？

以頻率來代替概率.

將“吸煙”記為事件A， “患肺癌”記為事件B.

P（AB）= P（A）= P（B）=

P（AB）≠P（A）·P（B）

左右兩邊不等，如果相差不多意味兩事件無關(guān)的可能性比較大，若相差較多意味著兩事件相關(guān)的可能性較大.不等式左邊是實際值，右邊是無關(guān)的前提下的理論值，從而得到一個研究兩事件相關(guān)的思路：通過研究樣本數(shù)據(jù)在無關(guān)的前提下對應(yīng)的理論值和實際值的差異的大小來判斷兩個分類變量是否相關(guān).

讓問題由特殊到一般，把表中數(shù)字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表：

在假設(shè)兩分類變量無關(guān)的前提下估算理論值和實際值的差異，由此估計吸煙且患肺癌人數(shù)約為 ，同理吸煙且不患病的人數(shù)約為 ，不吸煙且患病的人數(shù)約為 ，不吸煙且不患病的人數(shù)約為 .

問題6：如何表示實際和理論的差異？

類比回歸分析中表示殘差的方式，可以采用平方和形式.

問題7：如何求出樣本容量對差異的影響？

可以通過比例形式衡量偏差，回避容量對差異的影響.

為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評判標(biāo)準(zhǔn)，基于上面的分析，在統(tǒng)計學(xué)中構(gòu)造一個隨機變量K2=，其中n=a+b+c+d，為樣本容量.

在成立的前提下，即“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”，K2應(yīng)該很小.

計算得到的觀測值為：

k=≈56.632

卡方的觀測值越大，兩變量相關(guān)的可能性就越大，大與小需要看臨界值.

臨界值表：

設(shè)計意圖：假設(shè)兩個分類變量無關(guān)，學(xué)生可以通過所學(xué)的概率公式對吸煙與患肺癌之間的關(guān)系在概率層面作出判斷，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，可以提高學(xué)生的思維能力，體現(xiàn)了特殊到一般的思維方法.通過分析總結(jié)差異產(chǎn)生的原因，類比回歸分析中殘差的處理思路，引導(dǎo)學(xué)生建立體現(xiàn)理論和實際差異的統(tǒng)計量卡方的表達(dá)式，突破了難點.解讀臨界值表，為獨立性檢驗做好準(zhǔn)備.

假設(shè)H0：吸煙與患肺癌沒有關(guān)系.

K2的觀測值為

k=≈56.632

根據(jù)臨界值表可知，（K2≥6.635）≈0.01，

而56.632遠(yuǎn)大于6.635，所以有理由判斷H0不成立，即有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系.

獨立性檢驗定義：這種利用隨機變量來判斷“兩個分類變量有關(guān)系”的方法，稱為兩個分類變量的獨立性檢驗.

判斷步驟：（1）提出假設(shè)H0：兩個分類變量沒有關(guān)系；（2）根據(jù)2×2列聯(lián)表與公式計算K2的觀測值k；（3）查對臨界值，作出判斷.

問題8：獨立性檢驗的原理和反證法的區(qū)別和聯(lián)系.

設(shè)計意圖：將獨立性檢驗與反證法對比，加深學(xué)生對獨立性檢驗思想方法的認(rèn)識，同時幫助學(xué)生建立新舊知識的聯(lián)系，合理建構(gòu)思維體系.

3.鞏固新知，強化訓(xùn)練

問題1：在現(xiàn)實生活中，有人說禿頂與患心臟病有關(guān)，我們?nèi)绾伪嫖稣婕伲?/p>

問題2：如果想調(diào)查禿頂與患心臟病是否相關(guān)，需要從哪幾個方面調(diào)查數(shù)據(jù)？

例1：在某醫(yī)療機構(gòu)通過調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)：

利用獨立性檢驗法判斷有多大程度認(rèn)為禿頂與患心臟病有關(guān).

設(shè)計意圖：通過鞏固練習(xí)強化學(xué)生自覺利用統(tǒng)計知識解決現(xiàn)實生活中的問題的習(xí)慣，提升學(xué)生自我思考能力.

4.總結(jié)提升

總結(jié)本節(jié)所學(xué)內(nèi)容、獨立性檢驗的步驟、獨立性檢驗的思想方法.

5.板書設(shè)計（略）