挖掘教材資源 促進數學思考

李斌

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱新課程標準）把“數學思考”作為課程總目標具體闡述的四個方面之一。并明確指出：數學思考的發(fā)展離不開知識技能的學習，知識技能的學習必須有利于數學思考目標的實現。而教材是學生學習知識技能的重要載體，是教與學的憑借。因此，著眼數學思考目標的實現，教師必須深入鉆研教材，解讀、拓展和挖掘教材所蘊涵的數學本質和思考元素，引導學生圍繞數學知識的本質展開數學思考，促進學生對數學知識的理解，從而發(fā)展學生的數學思維能力，讓數學教學更有內涵和深度，充滿智慧。下面是筆者對“挖掘教材資源，促進數學思考”的思考與探索。

一、教學中學生數學思考面臨的現實問題

1.重解決忽視本源——數學思考膚淺：方格背景的作用是什么？

教材為什么用“方格”背景？“方格”背景在“多邊形的面積”內容中起什么作用？方格背景不只是圖形直觀轉化的依據，也不只是引發(fā)猜想的引子以及直觀驗證的材料，而是承載著探究面積公式的“思想源”。面積計算本質上就是度量被測物體的表面或平面圖形中含有多少個面積單位，面積公式是對度量過程的一種優(yōu)化與抽象。然而，實際教學中，不少教師往往忽視關注學生能否將數長方形的方法“看一行有多少個，有多少行”遷移到數平行四邊形中，從“縱橫”兩個維度思考度量平行四邊形，為平行四邊形的面積等于底乘高提供有意義的動作行為支撐。

2.重算法忽視算理——數學思考散點：如何看待“把小數點對齊”？

教學實踐中，部分教師過于關注“小數點一定要對齊哦！”，而忽視“知識點”背后所關聯的知識結構性，以及知識形成和發(fā)展過程中的內在邏輯，偏向于例題與習題等點狀教學，導致學生孤立理解數學知識，數學思考散點，缺乏對知識本質及內在結構的整體性思考和理解。

3.重描述忽視價值——數學思考平庸：x=2是方程嗎？

方程是代數知識的起始性知識，也是學生從算術思維飛躍到代數思維，分析思考現實生活中數學問題數量關系的重要載體?！昂形粗獢档牡仁绞欠匠獭眱H是一種樸素的描寫，并非方程唯一的內涵。這一定義簡單明了，但它過于關注方程的顯性特征，而對方程本質內涵揭示不夠，有其不足。如學生列出方程28+130=x時，如果按其定義說就是一個方程，但它完全是算術思維，沒有體現方程思想，沒有關注方程概念的本質，把未知量看作已知量，思考已知量與未知量之間的等量關系。

4.重形式忽視本質——數學思考片面：三角形高的本質是什么？

不少學生受現實生活中垂直于水平線上豎著的高直觀表象負遷移影響，習慣性認為三角形的高在鉛垂線位置，豎著的垂線段就是高，很難理解從另外兩個頂點作的高，忽視高與底的對應關系，不能真正理解三角形高的本質含義，認為高總是在三角形內部。

二、挖掘教材資源，促進學生的數學思考

1.捕捉細節(jié)鉆研編寫意圖，讓數學思考真正發(fā)生。教師要抓住教材的每一個細節(jié)，認真研讀，深刻領會教材的編寫意圖，讀懂主題圖所蘊含的數學信息、數學知識的展開過程、情境中的提示語和留白、習題的功能和思考價值，“深入淺出”地用好、用活教材，引領學生開展學習活動，讓學生的思維真正發(fā)生，促進課堂充滿數學思考。

如，教學“乘法分配律”時，首先從現實情境引出數學問題，提供生活經驗支撐，通過橫向數學化，引導學生直觀理解“分”別算和“合”組算兩者總數相等，借助事理形象理解算理。但這樣的具體情境注重乘法分配律外型結構特點，缺少對乘法分配律內涵本質把握，重視“是什么”，缺少“為什么”的追問，要逐步實現由具體情境數量之間關系上升到對抽象數之間關系的認識。然后，通過縱向數學化引導學生觀察比較等號兩邊算式，從算式意義的角度發(fā)現算式的“形變意不變”，理解算式之間的內在聯系，感知規(guī)律，并進一步舉例驗證，積累歸納素材，并通過縱向觀察比較，歸納概括出乘法分配律。這樣教學，學生不僅發(fā)現了乘法分配律的“外貌”，而且真正把握了乘法分配律的“內質”。

2.瞻前顧后鉆研知識體系，讓數學思考走向結構。數學學科知識具有很強的系統(tǒng)性和邏輯性。教師要從知識結構的整體出發(fā)，準確把握知識之間的內在聯系，明確所要教學的內容在整個知識體系中的地位及作用，抓住知識的關鍵點，在教學中做到瞻前顧后，縱橫融合，引導學生將新知識融入到原有的認知結構中，讓學生的數學思考走向結構，幫助學生建構起完整準確的知識結構。

如，教學“小數的加法和減法”時，雖然整數、小數和分數加減法的知識點不同，但卻有著內在的聯系和系統(tǒng)性。因此，教師要抓住整數、小數和分數加減法的知識本質，即只有相同單位上的數才能相加減，促進知識的正向遷移，引導學生經歷“算理——算法——應用”的思維過程，從而幫助學生領悟知識本源。教學“整數加減法”時，有意識地幫助學生理解，把相同數位對齊，就能保證幾個一和幾個一相加減，幾個十和幾個十相加減，初步感知只有相同數位上的數才能相加減。教學“小數加減法”，著重讓學生理解“小數點對齊，所有的相同數位也就對齊，就能保證相同數位上的數相加減”。學習“分數加減法”，抓住單位思想，進行計數單位個數的累積，理解分數加減法的算法和算理，從而逐步形成穩(wěn)固而系統(tǒng)的整數、小數和分數加減法的知識結構。

3.由表及里鉆研知識本質，讓數學思考走向深刻。第斯多惠說：“只有教給學生以最本質的、最主要的東西，才能切切實實地掌握這種教材，使它不可磨滅地銘記在學生的記憶里?！睌祵W教學中，教師要高度關注數學知識發(fā)生、形成和發(fā)展的歷史本源，由表及里地發(fā)掘數學知識的本質，讓學生的數學思考聚焦于知識的本質內涵，深化學生對數學知識的理解和掌握，從而發(fā)展學生數學思維，提升學生的數學核心素養(yǎng)。

如，教學“方程”時，新課程標準強調方程的本質是刻畫現實世界中等量關系的數學模型，表示兩個數學式（如兩個數、函數、量、運算）之間相等關系的一種等式。方程的價值在于讓學生初步體驗方程思想，幫助學生從等號的程序觀念到等號的關系觀念，實現從算術思維到代數思維的過渡，建立代數思維。教學時，要通過逐層分類揭示“未知數”“等式”的方程顯性特征，更重要的是由方程概念的“靜態(tài)”描述向“動態(tài)”生成過程過渡，引導學生經歷方程概念的產生、發(fā)展、形成和應用過程，理解更接近方程本質的內涵：在未知量和已知量之間建立的等量關系式，幫助學生深刻體會到方程是表示已知量和未知量之間相等關系的一種數學模型，感悟代數思想。

4.挖掘拓展鉆研習題價值，讓數學思考自然生長。數學習題是數學教材的基本內容之一，旨在通過習題鞏固數學知識，發(fā)展思維能力。教師要深入鉆研習題，深挖習題背后的豐富內涵和價值，捕捉數學思考生長點，根據實際需要對教材習題進行適度拓展和延伸，讓學生的數學思考自然生長，在探究中溝通知識間的內在聯系，從而獲得對數學思想方法的深刻領悟，發(fā)展數學思維。

如，教學“多邊形的面積”后，教師引導學生解決問題：下圖1中，平行四邊形ABCD的面積是36平方厘米，求陰影部分的面積。

根據問題中的條件，難以直接求出每個三角形的面積，打破了學生的認知平衡，也誘發(fā)了學生進一步探究的欲望。教師在組織學生展開充分探究后，要進一步引導學生探索現象背后的知識本質，可以通過課件演示揭示數學問題形式的“變”與本質的“不變”（如圖2），以平行四邊形邊上的任意一點為頂點，都可以把3個三角形轉化成一個與平行四邊形等底等高的三角形，得到這3個三角形面積的和總是等于平行四邊形面積的一半。通過動態(tài)化圖形變換，引導學生經歷觀察、思考、推理、分析、歸納等探索過程，讓學生的數學思考自然生長，幫助學生學會從變中抓不變，從更一般的層面理解問題的本質，形成結構化的認識，加深數學理解，發(fā)展學生的數學思維。

總之，深入挖掘教材內容的數學本質，有利于促進學生的數學思考，把學生的思維不斷引向深入，從而發(fā)展學生的數學思維能力，提升學生的數學核心素養(yǎng)。