剖析解題思維 聚焦核心素養(yǎng)

趙智勇 張立界

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)建模，直觀想象，數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析.這些都是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn).通過解題，如何提升思維水平？如何真正發(fā)揮題目的價值？在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐步形成應(yīng)具備的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是每一個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者所必須思考并踐行的問題.下面通過“一道2016年武漢市中考題數(shù)學(xué)試題”解題和反思的心路歷程，對如何學(xué)會解題進行探討.

思考：這種解法類比第（2）問的第①小問的思路和方法，利用三角形中位線的性質(zhì)將條件∠BMP=60°轉(zhuǎn)移為∠ECP=60°，構(gòu)造相似三角形（△ECP∽△EAC）使問題得以解決.過點C作AB邊的垂線，可以將題目中的45°和60°條件分別轉(zhuǎn)化到含有45°和60°的兩個特殊的直角三角形中，利用其三邊比的關(guān)系，可以快速求得AB=1+3，BC=6.

2.直面中點 直接轉(zhuǎn)化

反思上面本題的解答過程，可以發(fā)現(xiàn)利用好本問題中“M為線段CP的中點”這一個重要的條件構(gòu)造三角形的中位線是解答關(guān)鍵；中點具有許多優(yōu)美的性質(zhì)可以利用，我們能不能直接在中點M處做文章呢？因此，考慮過點M作垂線或平行線，利用中點直接實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，減少思維彎道.

思考：這種解法，是直接利用中點M構(gòu)造三角形的中位線，并將條件∠BMP=∠A=60°轉(zhuǎn)化為∠BMP=∠BFM=60°，從而得到相似三角形（△BMP∽△BFM）.同時構(gòu)造直角三角形，集中條件，用BP的長表示BM2.解題時，盡量集中有利條件，更便于求解.

3.數(shù)形結(jié)合 創(chuàng)新轉(zhuǎn)化

對于一些圖形比較簡潔，數(shù)量關(guān)系明確的數(shù)學(xué)問題，若我們借助于坐標(biāo)系研究，常常能出奇制勝，可以使復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系直觀化、簡單化，從而探索出巧妙的解法.

思考：數(shù)形結(jié)合為我們提供了新的思路，省卻了添加輔助線構(gòu)造直角三角形求BM2的過程；我們可以看到，在圖形相對比較規(guī)則，數(shù)量關(guān)系比較明確的前提下，數(shù)形結(jié)合的方法能給我們提供相對比較固定而且有效的方法.

4.面積方法 再現(xiàn)經(jīng)典

面積法是解決三角形和四邊形問題的經(jīng)典方法之一.早在公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中給出了（命題Ⅵ. 2）： “將三角形兩腰分割成成比例的線段，則分點連線段平行于三角形的底邊.”歐幾里得證明該定理的方法是：將線段之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形面積之間的關(guān)系，再將三角形面積之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段的位置關(guān)系.這種 “利用三角形面積作為轉(zhuǎn)化橋梁”的思路和方法，同樣適用于線段求解的問題.如我們可用不同的方式表示同一個三角形的面積，然后建關(guān)系式，也常用同底等高、等底同高、等底等高的相等面積解決問題.

思考：解法4利用面積關(guān)系得到關(guān)系式x=ab，利用勾股定理得到了a，b，x之間的關(guān)系式②和③，其實利用相似三角形的判定和性質(zhì)或用余弦定理、中線定理等，也可以得到可替代的結(jié)果.

三、反思歸納 提升素養(yǎng)

解答數(shù)學(xué)習(xí)題的實質(zhì)是什么呢？《怎樣學(xué)會解數(shù)學(xué)題》（原蘇聯(lián)，弗里德曼等著）一書認為“解數(shù)學(xué)題，這就是要找到一種一般數(shù)學(xué)原理（定義、公理、定理、定律、公式）的序列，把這些原理用于習(xí)題的條件或者條件的推論（解題的中間結(jié)果），得到習(xí)題所要的東西，即習(xí)題的答案”.這是“關(guān)于解答數(shù)學(xué)習(xí)題實質(zhì)的初步的，最一般的說明”.

此題方法較多，原因在于此題圖形中明著含有中點、中線，暗著含有中位線，還含有特殊角45°、60°等.解題時，就是要找到關(guān)于中點、特殊角一般數(shù)學(xué)原理的序列，把這些原理用于習(xí)題的條件或者條件的推論，即可得到題目的答案.

波利亞說過，“沒有任何問題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做.經(jīng)過充分的探討與鉆研，我們能夠改進這個解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對這個解答的理解水平”.本題的探究過程也恰恰說明了這一觀點.品味數(shù)學(xué)史上的問題，體會前人解決問題的策略和方法，對今天的學(xué)習(xí)有幫助和啟示作用.對解題過程進行深入探討并及時反思歸納，有助于感悟數(shù)學(xué)知識之諧，方法之美，思想之光，體驗探究之樂，文化之魅，并幫助我們理解數(shù)學(xué)解題之道.因此，“應(yīng)當(dāng)學(xué)會這樣一種對待習(xí)題的態(tài)度，即：把習(xí)題看做是精密研究的對象，而把解答問題看做是設(shè)計和發(fā)明的目標(biāo)”，如此，才能加深對題目的認識，進而盡可能的發(fā)揮題目的教育價值，提升思維水平，培養(yǎng)理性精神和探究意識，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐步發(fā)展應(yīng)具備的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).