基于一維Logistic離散系統(tǒng)控制的最簡Lorenz系統(tǒng)動力學分析

牟 俊， 楊 飛 飛， 羅 春 鳳， 曹 穎 鴻

( 大連工業(yè)大學 信息科學與工程學院, 遼寧 大連 116034 )

0 引 言

混沌理論是過去幾十年來一門蓬勃發(fā)展的關(guān)于非線性系統(tǒng)的科學，混沌現(xiàn)象無處不在而且具有重要的應(yīng)用價值，尤其在信息安全[1]等領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛。近年來，混沌理論由于在信息安全領(lǐng)域的巨大應(yīng)用前景而被廣泛研究[3]。

有關(guān)時間序列混沌的判定主要從不同的角度分析了混沌系統(tǒng)的動力學特性。通過計算系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)[4-6]區(qū)分不同的動力學運動形式是最常用的定量分析方法。系統(tǒng)的復(fù)雜度也是分析混沌特性的方法，其時間序列復(fù)雜度越大，隨機性越大，序列能夠被恢復(fù)的難度就越大。從物理意義上來講，排列熵是計算序列產(chǎn)生新隨機序列的量度，而李雅普諾夫指數(shù)是計算序列的空間發(fā)散程度[7]。在實際應(yīng)用中，混沌系統(tǒng)應(yīng)用應(yīng)具有盡可能大的復(fù)雜度，以保證擴頻通信系統(tǒng)的抗干擾和抗截獲能力。如今已提出不少定理和推論用于混沌吸引子存在的預(yù)測。

姚明海等[8]通過改變離散混沌系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)對離散混沌系統(tǒng)進行控制。陳菊芳等[9]利用電子線路實驗實現(xiàn)了一個具有混沌和超混沌特性的二維離散系統(tǒng)。盛利元等[10]根據(jù)橢圓反射腔物理模型提出了一種改變系統(tǒng)演化軌道的切延遲操作方法，導(dǎo)出了一類離散混沌映射系統(tǒng)。文獻[11]分析了一個離散混沌系統(tǒng)的動力學性質(zhì)。羅少軒等[12]在基于參數(shù)切換算法的基礎(chǔ)上提出了一種新的混沌系統(tǒng)參數(shù)切換算法。韓建群等[13]發(fā)現(xiàn)了Duffing離散混沌系統(tǒng)。朱淑芹等[14]在修正版Marotto定理基礎(chǔ)上構(gòu)造了一個四維離散混沌映射。Rihab等[15]提出了一種矢量標準方法對離散時間混沌系統(tǒng)同步的研究。連續(xù)混沌系統(tǒng)主要研究同結(jié)構(gòu)系統(tǒng)同步、異結(jié)構(gòu)系統(tǒng)同步、記憶元件、混沌電路和圖像加密等[16-20]。文獻[21-23]對離散系統(tǒng)與連續(xù)混沌系統(tǒng)分析方法進行了比較及總結(jié)。現(xiàn)有的研究只是對單一的離散系統(tǒng)或者連續(xù)系統(tǒng)進行分析，并沒有將兩者聯(lián)系起來，因此，本研究用離散混沌序列控制連續(xù)混沌系統(tǒng)參數(shù)的方法，對一維Logistic迭代映射[24]產(chǎn)生的離散序列控制最簡Lorenz系統(tǒng)[25]進行動力學分析。

1 離散混沌序列控制連續(xù)混沌系統(tǒng)參數(shù)的算法

假設(shè)一個n維離散系統(tǒng)f1(Xn，Yn，Zn，…)，假設(shè)它的某二維平面吸引子范圍包含于[A，B]，它的序列取值如下：

(1)

式中：n=1，2，3，…，p，p為自然數(shù)，?Xn，Yn，Zn，…?[A，B]，取其中一個序列，假設(shè)是Wn，滿足

Wn={W1，W2，W3，…}?[A,B]

(2)

假設(shè)Wn的階數(shù)為m，且有m?[1，N]，在式(2)中，W1，W2，W3，…的值組成一個隨機序列。并假設(shè)一個n維的連續(xù)混沌系統(tǒng)f2(x，y，z，…)，系統(tǒng)參數(shù)為a，當a∈[A，B]，系統(tǒng)f2(x，y，z，…)處于混沌狀態(tài)，讓參數(shù)a=Wn，就得到了一個離散混沌序列控制的連續(xù)混沌系統(tǒng)。

2 一維Logistic映射動力學分析

2.1 系統(tǒng)模型及系統(tǒng)參數(shù)對動力學特性的影響

Logistic映射的數(shù)學模型為

xn+1=αxn(1-xn)

(3)

令α=4，設(shè)置迭代初始值x1=0.1，可得到一維Logistic映射吸引子相圖見圖1，其李雅普諾夫指數(shù)譜以及與之對應(yīng)的分岔圖見圖2，由于存在一個大于0的李雅普諾夫指數(shù)值，此一維映射存在混沌態(tài)。計算得到LE=0.694 9，一維迭代映射的李雅普諾夫維數(shù)dL=0.694 9。當α=3時，進行第一次迭代分岔；當α=3.5，進行第二次迭代，接著整個系統(tǒng)進入分岔階段，α∈[3.827，3.869]存在一個較大的周期窗口，此時系統(tǒng)處于周期態(tài)，隨之系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)。

圖1 吸引子相圖

2.2 排列熵復(fù)雜度分析

排列熵復(fù)雜度算法主要思想是對時間序列復(fù)雜性的一種度量計算方法，作為判斷混沌系統(tǒng)的依據(jù)，排列熵的概念簡單清晰，計算簡單，使用方便[7]?；煦鐐坞S機序列的排列熵復(fù)雜度的計算與混沌序列的復(fù)雜度計算相似，而排列熵復(fù)雜度的計算采用多進制量化的方法進行量化，然后對混沌偽隨機序列進行重構(gòu)。在Logistic映射中，令

(a) 李雅譜指數(shù)譜

(b) 分岔圖

圖2 一維Logistic映射李雅普諾夫指數(shù)譜與分岔圖

Fig.2 Lyapunov exponents spectrum and bifurcation diagram of the one-dimensional Logistic map

維數(shù)p=5，序列長度為5 000，可得到如圖3所示的結(jié)果。圖3能夠清晰地顯示系統(tǒng)排列熵復(fù)雜度的系統(tǒng)動力學特性變化趨勢。

圖3 一維Logistic迭代映射排列熵復(fù)雜度

2.3 概率密度分析

針對已有的混沌優(yōu)化算法幾乎都是利用Logistic 映射作為混沌序列發(fā)生器，而該混沌序列的概率密度函數(shù)呈現(xiàn)兩頭多中間少的切比雪夫型的分布性質(zhì)，不利于搜索的效率和能力[26]，在解密和搜索時需要注意。一維Logistic迭代映射的離散序列Xn的概率密度如圖4所示。

圖4 一維Logistic迭代映射概率密度測試

3 基于離散序列控制的最簡Lorenz系統(tǒng)的動力學分析

3.1 最簡Lorenz系統(tǒng)分析

最簡Lorenz混沌系統(tǒng)方程[27]

x.=10(y-x)y.=(24-4c)x-xz+cyz.=xy-8z/3

(4)

取系統(tǒng)初值為(1，2，3)，仿真步長為t=0.01 s。最簡Lorenz系統(tǒng)在c=2時的李雅普諾夫指數(shù)穩(wěn)態(tài)值為LE1=0.848 6，LE2=0，LE3=-11.516 1，由此可以計算出相應(yīng)的李雅普諾夫維數(shù)為dL=2.073 7。最簡Lorenz系統(tǒng)混沌吸引子相圖見圖5。李雅普諾夫指數(shù)譜及其對應(yīng)的分岔圖見圖6。動力學行為匯總見表1，其特殊的相應(yīng)的相圖見圖7。當參數(shù)c變化時，系統(tǒng)處于混沌態(tài)、周期態(tài)、穩(wěn)定不動點等動力學狀態(tài)，最簡Lorenz系統(tǒng)的最小李雅普諾夫指數(shù)恒小于-10，可見Lorenz系統(tǒng)在c∈(-2，6)時系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)為正數(shù)，表明系統(tǒng)處于混沌態(tài)。由圖5可見原最簡Lorenz連續(xù)系統(tǒng)隨參數(shù)變化的復(fù)雜度，系統(tǒng)處于混沌態(tài)時的復(fù)雜度是所有狀態(tài)最大的。李雅普諾夫指數(shù)越大，分離程度越大，系統(tǒng)也越復(fù)雜，系統(tǒng)復(fù)雜度見圖8。在c=6.014 3存在一個周期窗口，此時系統(tǒng)處于周期態(tài)。當c∈(-2.342，6.014 3)，系統(tǒng)存在正的李雅普諾夫指數(shù)，系統(tǒng)處于混沌態(tài)。

圖5 x-y平面相圖

(a) 李雅譜指數(shù)譜

(b) 分岔圖

圖6 李雅普諾夫指數(shù)譜與分叉圖

Fig.6 Lyapunov exponents spectrum andbifurcation diagram

表1 系統(tǒng)隨參數(shù)變化的動力學行為

3.2 一維Logistic離散混沌序列控制最簡Lorenz混沌系統(tǒng)

將原最簡Lorenz系統(tǒng)參數(shù)c引入一維Logistic 迭代映射的各個離散值，并設(shè)為e(t)，得到新的系統(tǒng)，如式(5)所示。

x.=10(y-x)y.=(24-4e(t))x-xz+e(t)yz.=xy-8z/3

(5)

取仿真參數(shù)中初值為如最簡Lorenz系統(tǒng)的初始值，仿真步長為t=0.01 s。其相圖軌跡如圖9所示。其李雅普諾夫指數(shù)譜以及與之對應(yīng)的SE和C0復(fù)雜度如圖10和圖11所示，在迭代函數(shù)的控制下，總是存在正李雅普諾夫指數(shù)，系統(tǒng)沒有周期態(tài)，恒處于混沌狀態(tài)。李雅普諾夫指數(shù)穩(wěn)態(tài)值為LE1=0.888 8，LE2=0，LE3=-13.376 4，由此可以計算出相應(yīng)的李雅普諾夫維數(shù)為dL=2.066 2，系統(tǒng)有最大的李雅普諾夫指數(shù)為0.922。當參數(shù)e(t)變化時，系統(tǒng)的最小李雅普諾夫指數(shù)恒小于-12，故保留最大的一個李雅普諾夫指數(shù)如圖10(b)所示，可見系統(tǒng)隨離散變量e(t) 變化具有更加隨機的動力學特性。從改進后的Lorenz系統(tǒng)的SE復(fù)雜度和C0復(fù)雜度也可以看出在系統(tǒng)復(fù)雜度變化趨勢更加隨機，處于混沌態(tài)時復(fù)雜度增大，這與對應(yīng)的李雅普諾夫指數(shù)譜的結(jié)果都是一致的。相應(yīng)動力學行為匯總見表2。

(a) c=2

(b)c=6.013 4

(c)c=7

(d)c=8

圖7 不同參數(shù)c下的x-z平面相圖

Fig.7 Phase portraits ofx-zwith different parameterc

(a) SE

圖9 Lorenz系統(tǒng)x-y平面相圖

3.3 吸引子共存現(xiàn)象

隱藏吸引子是近年來新定義的一類吸引子，基本原理的描述與分析如文獻[28-33]。最簡Lorenz系統(tǒng)以及其一維Logistic離散混沌序列控制最簡Lorenz混沌系統(tǒng)的混沌吸引子共存現(xiàn)象如圖12所示。在原系統(tǒng)中，當參數(shù)c=-2，t=0.01 s時，紅色軌跡初始值為(30，30，30)，藍色軌跡初始值為(1，2，3)?？梢员容^出兩個系統(tǒng)在運動軌跡上的變化。

(a) 李雅普諾夫指數(shù)譜

表2 系統(tǒng)動力學行為

3.4 連續(xù)混沌系統(tǒng)的動力學特性對比分析

對最簡Lorenz系統(tǒng)及其在一維離散系統(tǒng)控制連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)雜度進行對比，其復(fù)雜度特性情況如表3所示。由表3可知一維離散系統(tǒng)控制連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)雜度更大一些，由“3.1”的分析可知，最簡Lorenz混沌系統(tǒng)的混沌特性顯示較少的多樣性，大多數(shù)時候系統(tǒng)處于混沌態(tài)，且混沌吸引子的相圖軌跡的形狀沒有較大的不同，所以幾乎沒有特殊的吸引子共存現(xiàn)象；同理對“3.2”中一維離散系統(tǒng)控制連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫分析可知，系統(tǒng)恒有一個正的李雅普諾夫指數(shù)和一個負得多的李雅普諾夫指數(shù)，系統(tǒng)恒處于混沌狀態(tài)，并且李雅普諾夫指數(shù)和復(fù)雜度都有所提高。

(a) SE

(a) x-y平面

表3 系統(tǒng)復(fù)雜度特性對比

4 結(jié) 論

對一維Logistic迭代映射系統(tǒng)、最簡Lorenz混沌系統(tǒng)及一維Logistic離散混沌序列控制最簡Lorenz混沌系統(tǒng)進行動力學特性分析，其分析結(jié)果表明：(1)離散序列控制下的Lorenz系統(tǒng)有更加復(fù)雜的動力學行為；(2)在Lorenz混沌系統(tǒng)中，系統(tǒng)的相圖形狀隨參數(shù)改變沒有很大的改變，但其運動范圍發(fā)生了變化；(3)一維Logistic迭代映射具有混沌系統(tǒng)從周期態(tài)進入混沌態(tài)的典型特征；(4)系統(tǒng)復(fù)雜度在一定范圍內(nèi)波動，即連續(xù)混沌系統(tǒng)的復(fù)雜度具有有界性，這也是混沌系統(tǒng)所固有的特性之一。最后還找到了存在系統(tǒng)的吸引子共存等特殊的混沌現(xiàn)象，一維Logistic離散混沌序列控制最簡Lorenz混沌系統(tǒng)具有更加豐富的動力學特征，為混沌系統(tǒng)應(yīng)用于密碼學、保密通信、信息安全等領(lǐng)域提供了相關(guān)理論依據(jù)和實驗指導(dǎo)。