修正容積卡爾曼濾波數(shù)據(jù)域直接定位算法

逯志宇，王建輝，巴斌，王大鳴

解放軍信息工程大學(xué) 信息系統(tǒng)工程學(xué)院，鄭州 450000

無線目標定位技術(shù)已廣泛應(yīng)用于緊急救助、安全管理、導(dǎo)航規(guī)劃等方向，隨著高精度定位需求的不斷增加，開展更加高效的定位算法研究具有重要價值。傳統(tǒng)定位算法首先估計目標信號的到達角度(DOA)[1]、到達時間(TOA)[2]和多普勒頻率[3]等定位參數(shù)，然后通過求解這些參數(shù)構(gòu)成的定位方程估計目標位置。雖然這種兩步定位算法易于實現(xiàn)，但是算法在估計位置時可融合利用的目標信息減少，忽略了定位參數(shù)來源于同一目標這一先驗信息，同時不可避免地引入過程處理誤差，導(dǎo)致不能獲得最佳的定位精度[4]。為了避免兩步定位算法的缺點，直接定位(DPD)算法被提出[5]，即在接收信號中直接估計目標位置，免去中間參數(shù)的計算，從而可以獲得更高的定位精度。由于DPD算法在性能上的優(yōu)勢，近年來得到了廣泛的研究[6-7]。

DPD算法作為一種新的定位算法，Weiss等首先詳細闡述了其基本原理，并給出了基于角度和時延信息的最大似然DPD算法[5, 8]。Amar和Weiss針對運動觀測站給出了基于多普勒頻差的DPD算法[9]，Li等利用時延和多普勒信息進一步提高了算法定位精度[10-11]。由于DPD算法直接利用接收信號進行定位，波形特征可以被有效利用，因此基于非圓信號[12]和正交頻分復(fù)用 ( Orthogonal Frequency Division Multiplexing, OFDM)信號[13]的DPD算法被提出，均有效提高了目標定位精度。但是DPD算法面臨著嚴重的計算壓力，針對此問題，文獻[14]提出一種簡化最大特征值求解的時頻差聯(lián)合DPD算法，并使用數(shù)據(jù)壓縮思想縮減了計算量，取得一定效果。文獻[12，15]給出的基于子空間數(shù)據(jù)融合DPD算法降低了參數(shù)估計維度，利用空間正交性有效減輕了計算壓力。但是上述算法仍采用遍歷搜索算法進行位置估計，當搜索區(qū)域大時，估計效率較低。

為了進一步提升計算效率，Jiang等提出的參數(shù)交替迭代算法[16]和Tzoreff和Weiss提出的期望最大迭代算法[17]取得了較好效果，但對初值敏感，且步長需要合理控制。遺傳算法作為全局優(yōu)化算法，可以較好克服上述問題，為此作者團隊提出了一種銳化遺傳算法，在定位精度損失較小的條件下提高了定位效率，計算量下降明顯[18]。但遺傳算法的計算量依賴于種群規(guī)模，當搜索區(qū)域大時，需要較大的種群規(guī)模才可以保證收斂速度和性能，因此估計效率還有待提升。相比于遺傳算法，卡爾曼濾波在參數(shù)估計中具有更高的效率，尤其是容積卡爾曼濾波(CKF)算法在處理復(fù)雜非線性參數(shù)估計問題時性能優(yōu)越，已在多種應(yīng)用中得到證明[19-20]。如果對CKF算法進行合理的改進以適應(yīng)于DPD算法的求解，定位效率會得到提升。

為此，針對DPD算法的結(jié)構(gòu)特點，為進一步提高參數(shù)估計效率，本文提出一種基于容積卡爾曼濾波的數(shù)據(jù)域直接定位算法。算法融合多個觀測站的DOA信息，利用子空間數(shù)據(jù)融合算法建立新的濾波模型，然后針對模型特點對CKF算法進行適應(yīng)性改進，快速完成目標位置的搜索。相比于現(xiàn)有算法，本文所提算法具有更高效的定位效率，仿真實驗部分對算法性能進行了驗證。

1 DPD模型

首先將給出一種基于多個陣列觀測站到達角信息的單目標DPD模型。假設(shè)目標處于靜止狀態(tài)，坐標為o=(ox,oy),L個觀測站均由N元直線陣組成，陣元間距為半波長，且觀測站間已完成時間同步，觀測站第1個陣元的坐標為ul=(ul,x,ul,y)，l=1,2,…,L。第l個觀測站的接收信號rl(t)可以表示為

rl(t)=al(o)xl(t)+νl(t)l=1,2,…,L

(1)

式中：xl(t)為觀測站接收到的目標信號；νl(t)為高斯白噪聲；al(o)為關(guān)于目標位置的陣列流型矢量，其可表示為

al(o)=[1,e-jπcos θl(o),…,e-jπ(N-1)cos θl(o)]

(2)

其中：θl(o)為目標信號的到達角，可表示為

(3)

(4)

(5)

令Ql(o)為目標函數(shù)，表示為

(6)

從而聯(lián)合多個觀測站數(shù)據(jù)信息，利用子空間數(shù)據(jù)融合(SDF)算法[12]，可以得到目標位置的估計式為

(7)

通過求解式(7)，即可獲得目標位置的直接估計結(jié)果。如果采用遍歷目標位置o求解式(7)，在搜索區(qū)域較大時，面臨嚴重計算壓力。為了更加高效地獲得估計結(jié)果，本文將在后續(xù)章節(jié)討論一種適用于直接定位的修正容積卡爾曼濾波算法，能夠在保證估計精度條件下，有效降低算法計算量。

2 算法原理

為更加高效地估計目標位置，減少計算量，本節(jié)首先設(shè)計一種基于式(6)的濾波模型，然后針對所提模型特點給出一種修正的容積卡爾曼濾波方法對其進行求解，最后對所提算法的計算量進行分析，說明算法性能。

2.1 DPD濾波模型

根據(jù)信號接收模型，在以目標位置為未知參數(shù)進行估計時，可以建立一個初始的直接觀測模型，其狀態(tài)方程和觀測方程為

ok+1=Fok+μk

(8)

rl,k(t)=al(ok)xl(t)+νl,k(t)l=1,2,…,L

(9)

式中：k=1,2,…,K為濾波迭代次數(shù)；ok和ok+1為第k和k+1時刻目標狀態(tài)向量；F為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；μk為狀態(tài)噪聲。接收信號rl,k(t)為觀測量，依賴于目標信號xl(t)，當xl(t)未知時需要先對其進行估計。同時，由于需要聯(lián)合多個觀測站的信號進行定位，觀測向量維數(shù)較高，以此為模型將難以利用卡爾曼濾波估計目標位置。

為了解決直接觀測模型面臨的問題，本文將以式(6)為基礎(chǔ)建立一個間接觀測模型，以避免目標信號的影響，且可以有效融合多觀測站定位信息。設(shè)zl,k為間接觀測量，將其表示為

zl,k=Ql(ok)+wl,k

(10)

zk=Q(ok)+wk

(11)

式中：zk=[z1,k,z2,k,…,zL,k]T為聯(lián)合觀測向量，Q(ok)=[Q1(ok),Q2(ok),…,QL(ok)]T為聯(lián)合觀測函數(shù)；wk=[w1,k,w2,k,…,wL,k]T為觀測噪聲矩陣。

雖然這樣設(shè)計簡化了觀測模型，不再依賴目標信號，但zk不是一個顯性的觀測量，其真實值并不能直接獲得。但通過式(5)的正交性特點可以知道，在沒有噪聲影響下，在真實位置時，Ql(ok)的理論值等于零。為此，將在每一步的迭代過程中令真實觀測向量等于零，用理論值近似真實觀測值。但這種近似將引入噪聲，需要對濾波算法做適應(yīng)性改進，避免影響濾波收斂性。

2.2 修正容積卡爾曼濾波算法原理

從2.1節(jié)提出的濾波模型可以看出，式(11)由一個關(guān)于目標位置信息的復(fù)雜函數(shù)構(gòu)成，卡爾曼濾波、擴展卡爾曼濾波等在處理此類問題時效果較差。為了解決上述強非線性參數(shù)估計問題，本文采用具有優(yōu)秀估計性能的容積卡爾曼濾波算法[19]進行求解，并針對上述濾波模型特點做出適應(yīng)性改進。

(12)

(13)

(14)

設(shè)Pk+1|k為狀態(tài)協(xié)方差矩陣的一步預(yù)測，可以表示為

(15)

(16)

對所有采樣向量的觀測量一步預(yù)測加權(quán)得到系統(tǒng)觀測量一步預(yù)測為

(17)

設(shè)Sk+1為下一刻觀測向量的協(xié)方差矩陣，可表示為

(18)

設(shè)Wk+1為系統(tǒng)增益矩陣，可表示為

(19)

第k+1時刻系統(tǒng)狀態(tài)估計為

(20)

式中：zk+1為真實觀測值，由于本文將真實觀測值近似為零，所以式(20)可改寫為

(21)

下一時刻狀態(tài)協(xié)方差矩陣估計為

(22)

采用式(21)估計目標位置引入了人為噪聲，且隨著迭代次數(shù)的增加，噪聲會不斷累積，將影響濾波收斂性能，因此需要對狀態(tài)協(xié)方差矩陣和觀測噪聲協(xié)方差矩陣進行修正。觀測噪聲協(xié)方差矩陣可替換為

(23)

狀態(tài)協(xié)方差矩陣在算法中主要用于控制采樣點的選取，當算法收斂時，Pk將趨于一個穩(wěn)定值。為了克服噪聲累積的影響，根據(jù)Pk在算法中所起作用，本文對式(22)進行修正

(24)

對協(xié)方差矩陣的修正，解決了濾波模型近似帶來的噪聲累積問題，可以有效對模型進行求解?；谛拚娜莘e卡爾曼濾波(Modified Cubature Kalman Filter，MCKF)的DPD(MCKF-DPD)算法，將會極大提高定位效率，算法性能將在仿真實驗中進行驗證。綜上所述，MCKF-DPD算法的執(zhí)行流程為

步驟1獲得觀測站接收數(shù)據(jù)rl(t),求接收數(shù)據(jù)自相關(guān)矩陣Rl并特征值分解，得到噪聲子空間Ul。

步驟3將當前狀態(tài)估計結(jié)果代入式(12)，得到2M個采樣向量及其權(quán)重。

步驟5根據(jù)式(23)得到修正觀測噪聲協(xié)方差矩陣，利用式(18)得到觀測向量的協(xié)方差矩陣Sk+1；將結(jié)果代入式(19)得到系統(tǒng)增益矩陣Wk+1。

2.3 計算量分析

根據(jù)本文所給DPD模型，在估計目標位置時，計算量主要集中在式(6)，以復(fù)數(shù)乘法計，式(6)的計算量為O(3N2)。雖然不同算法求解目標位置的方法不同，但是都無法避免對式(6)的重復(fù)計算，差別在于不同算法的計算次數(shù)不同，從而總計算量也不同。為了便于分析，假設(shè)忽略其他計算量較少的中間過程，僅以式(6)的計算次數(shù)為參考，對比不同算法的計算量，結(jié)果如表1所示。其中ML-DPD為基于最大似然遍歷搜索的DPD求解算法[12, 15]，GA-DPD為基于遺傳算法的DPD求解算法[18]。表1中Lx和Ly為二維搜索時在坐標軸上劃分的網(wǎng)格數(shù)，J為遺傳算法中的種群數(shù)。

為了達到較好的定位效果，精細搜索時Lx和Ly通常較大，將遠大于種群數(shù)J和采樣數(shù)M，因此ML-DPD算法的計算量最大。為了保證遺傳算法的估計精度，種群數(shù)J大于容積卡爾曼濾波中的采樣數(shù)M，因此與GA-DPD算法相比，MCKF-DPD算法將進一步減少計算量，仿真實驗將對這一結(jié)論進行驗證。

表1 計算量對比Table 1 Computational complexity

3 仿真實驗

為了驗證MCKF-DPD算法的收斂性能，在信噪比SNR=10 dB條件下，得到隨迭代次數(shù)增加時目標位置估計值以及濾波誤差的變化曲線，結(jié)果如圖1所示。從圖1(a)中箭頭方向代表迭代收斂方向，隨著迭代次數(shù)的增加，目標位置估計值快速向真實位置處收斂，經(jīng)過短暫的調(diào)整后，即可收斂于真實位置附近。從圖1(b)可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，估計誤差能夠快速收斂，只需不到20次迭代即可穩(wěn)定收斂于最優(yōu)值。仿真結(jié)果一方面說明算法的收斂精度較高，可以有效估計目標位置；另一方面說明算法收斂速度較快，極大地提高了位置估計的效率，較好地解決了DPD算法計算量問題。

為了進一步說明本文算法的性能優(yōu)勢，將其與GA-DPD和ML-DPD算法進行對比。GA-DPD算法中種群數(shù)為500，迭代次數(shù)為50，ML-DPD算法中搜索間隔為1 m。首先在信噪比為10 dB條件下分別對各算法進行Kmc=100次蒙特卡羅仿真實驗，定義誤差的累積概率分布(Cumulative Distribution Function, CDF)為

CDF(ηe)=Num(error≤ηe)/Kmc

(25)

式中：ηe為誤差值；error為實際估計誤差；Num(·)為滿足條件誤差值出現(xiàn)的次數(shù)。從而得到定位誤差的累積概率分布曲線如圖2所示。從圖中可以看出，在相同信噪比下，3種算法的誤差累積概率分布基本相近，說明3種算法的估計性能相當。

然后以100次蒙特卡羅仿真實驗的均方根誤差(RMSE)為對比參數(shù)，得到3種算法性能隨信噪比增加的變化曲線，結(jié)果如圖3所示。從圖中可以看出，在相同觀測環(huán)境下，本文所提算法的定位性能與ML-DPD和GA-DPD算法的性能一致，且非常接近克拉美羅界(CRLB)。根據(jù)表1，得到不同算法計算量對比如表2所示，可以看到，在達到相同估計性能條件下，本文算法極大地降低了計算量，進一步證明了算法的有效性，較好地實現(xiàn)了性能與計算效率的統(tǒng)一。

算法復(fù)乘次數(shù)加速效率ML-DPD7.68×1081GA-DPD1.92×10740MCKF-DPD3.072×1052 500

為了適應(yīng)所提DPD觀測模型，本文改變了傳統(tǒng)CKF算法的濾波結(jié)構(gòu)，引入了參數(shù)λ和p0，因此需要說明這兩個參數(shù)對算法性能的影響。在SNR=10 dB和p0=100條件下，得到最終估計誤差隨λ的變化曲線如圖4所示。從圖中可以看出，當λ過大或過小時，定位精度都會變差，這是由于λ較大時無法避免DPD濾波模型近似帶來的噪聲累積，過小時會破壞濾波穩(wěn)定性，仿真結(jié)果表明其最優(yōu)值在0.001～0.030之間，因此在本文定位環(huán)境下取λ=0.01。在此條件下，得到濾波誤差隨p0變化的收斂曲線，如圖5所示。從圖中可以看出，p0對估計精度和收斂速度均有影響，當p0較大時，由于采樣點過于分散，較難收斂到高精度結(jié)果。當p0較小時，采樣點集中，更有利于找到最優(yōu)解，但是過小的p0會影響采樣步長，又減緩濾波收斂速度。因此p0需要根據(jù)定位場景進行合理選擇，在本文定位條件下取p0=100。

4 結(jié) 論

1) 針對DPD算法計算量較大的問題，本文提出了一種基于間接觀測量的濾波模型，避免了傳統(tǒng)濾波模型下的高維參數(shù)估計問題。

2) 針對所提濾波模型特點，提出一種改進的容積卡爾曼濾波算法，可以快速對目標位置進行求解。與現(xiàn)有DPD算法相比，顯著提升了定位效率。