量子粒子群優(yōu)化最小二乘支持向量機(jī)的立木材積估算

楊立巖，馮仲科，劉迎春，劉金成

（1.北京林業(yè)大學(xué) 精準(zhǔn)林業(yè)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100083；2.河北地質(zhì)大學(xué) 土地資源與城鄉(xiāng)規(guī)劃學(xué)院，河北 石家莊050031；3.國(guó)家林業(yè)局 調(diào)查規(guī)劃設(shè)計(jì)院，北京100714）

立木材積表作為林業(yè)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，編制于20世紀(jì)70年代末中國(guó)森林資源連續(xù)清查體系初建時(shí)期，至今已經(jīng)使用約30 a。為保證材積表的精度不受氣候條件、立地條件的影響，國(guó)家規(guī)程中明確規(guī)定，應(yīng)該每20 a對(duì)材積表進(jìn)行重新檢核修訂［1］。由于中國(guó)森林資源結(jié)構(gòu)在這些年發(fā)生了較大變化，部分原有材積表在應(yīng)用中可能存在難以接受的偏差。曹忠［2］對(duì)部分華北山楊Populusspp.材積模型進(jìn)行了檢驗(yàn)，速生楊Populus×euramericana與毛白楊Populus tomentosa的總體相對(duì)誤差（TRE）分別為－3.59%和7.31%，超過(guò)國(guó)家規(guī)定的±3%。因此，原有材積表部分樹種已經(jīng)不能滿足林業(yè)調(diào)查和生產(chǎn)工作需求，亟待重新編制［3］。材積表是根據(jù)樹干材積與胸徑、樹高和干形間的回歸關(guān)系，建立材積模型編制的［4－5］，因此，材積模型直接影響材積表的精度和適用性。自1846年二元立木材積表問(wèn)世至今，很多學(xué)者提出了不同的材積模型，如納斯倫德、山本和藏、卡松、斯泊爾等經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停?－7］。隨著現(xiàn)代機(jī)器學(xué)習(xí)理論和技術(shù)的發(fā)展，新的智能算法為建立高精度的材積模型和編制精準(zhǔn)的材積表提供了新的機(jī)會(huì)。材積模型實(shí)質(zhì)是一種根據(jù)立木胸徑、樹高等因子估算材積的方法。一般來(lái)說(shuō)，樣本量越大測(cè)量越精準(zhǔn)，材積模型的代表性越大，其工作量也越大；又由于受地形、天氣等因素影響，樣本量越大，同一樹種的干形可能表現(xiàn)出較大的差異性，這對(duì)模型抗噪能力要求越高。傳統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ鸵氆@得較好的估算效果需要大量精準(zhǔn)測(cè)量的樣本。支持向量機(jī)（Support Vector Machine，SVM）在解決小樣本、非線性、高維數(shù)、局部極小點(diǎn)等實(shí)際問(wèn)題表現(xiàn)較好， 具有很強(qiáng)的泛化能力［8－9］。 最小二乘支持向量機(jī)（Least Squares Support Vector Machines，LSSVM）針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)SVM算法抗噪能力較差的問(wèn)題做了改進(jìn)［10］。但實(shí)現(xiàn)LSSVM的優(yōu)點(diǎn)依賴于參數(shù)的優(yōu)化選擇，目前參數(shù)的選擇主要以經(jīng)驗(yàn)為主，過(guò)分依賴于使用者的水平，這在很大程度上限制了它的應(yīng)用。近年來(lái)，已經(jīng)出現(xiàn)應(yīng)用快速交叉驗(yàn)證、遺傳算法、蟻群算法、粒子群算法等改進(jìn)方法優(yōu)化支持向量機(jī)參數(shù)，但優(yōu)化的效果與優(yōu)化算法的選擇有很大關(guān)系。量子粒子群優(yōu)化算法（quantum-behaved particle swarm optimization，QPSO）是SUN等［11］從量子力學(xué)的角度提出的一種改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法（particle swarm optimization，PSO）。QPSO算法相比PSO算法具有全局搜索性能強(qiáng)、參數(shù)個(gè)數(shù)少、穩(wěn)健性好、收斂速度快等優(yōu)點(diǎn)。試驗(yàn)采集北京地區(qū)側(cè)柏Platycladus orientalis與落葉松Larix principis-rupprechtii數(shù)據(jù)，通過(guò)查詢北京市落葉松一元立木材積表和河北承德地區(qū)側(cè)柏一元立木材積表，計(jì)算得到部頒材積表總體相對(duì)誤差依次為11.33%和－11.02%，超過(guò)國(guó)家規(guī)定的±3%，需要重新編制材積表。為解決精準(zhǔn)估算立木材積的難題，本研究以北京地區(qū)側(cè)柏與落葉松為研究對(duì)象，提出了一種基于QPSO優(yōu)化LSSVM算法建立高精度材積估算模型的方法，以期為立木材積表的編制提供科學(xué)依據(jù)。

1 材料與方法

1.1 數(shù)據(jù)獲取

以北京地區(qū)側(cè)柏和落葉松2種樹種為建模對(duì)象，選擇范圍包括北京市的昌平、房山、門頭溝、海淀、懷柔、密云、平谷、延慶等各個(gè)區(qū)縣。標(biāo)準(zhǔn)木的選取根據(jù)各樹種蓄積量的占比，按機(jī)械抽樣原理將擬選標(biāo)準(zhǔn)木數(shù)量分配到各個(gè)區(qū)縣，采用典型選樣方法分立地條件選取不同徑階和樹高級(jí)的標(biāo)準(zhǔn)木。選取的標(biāo)準(zhǔn)木為干形通圓豎直、主稍明顯，以避免因樹干彎曲或傾斜所導(dǎo)致的觀測(cè)誤差。每種樹種的建模樣本按照胸徑值劃分為6，8，10，12，16，20，24，28，32和36 cm等10個(gè)徑階。

采集建模樣本于2014年12月8日至2015年12月31日進(jìn)行。共采集樣木810株，其中落葉松456株，側(cè)柏354株。樣木統(tǒng)計(jì)指標(biāo)見(jiàn)表1。

1.2 立木材積測(cè)算方法

獲取編制材積表的建模樣本一般采用伐倒解析法。該方法精度較高，但破壞性大、成本較高。長(zhǎng)期以來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者致力于無(wú)損、快速、精準(zhǔn)測(cè)量立木材積方法的研究。傳統(tǒng)的無(wú)損材積測(cè)量方法有望高法、正形數(shù)法、實(shí)驗(yàn)形數(shù)法、形點(diǎn)法等，但普遍精度不高，不易操作［12］。近年來(lái)，隨著三維激光掃描儀、全站儀、CCD數(shù)碼相機(jī)、電子經(jīng)緯儀、便攜式數(shù)字化智能測(cè)樹儀等高精度測(cè)量?jī)x器的出現(xiàn)，一些學(xué)者針對(duì)這些高精度測(cè)量?jī)x器進(jìn)行了測(cè)量樹木方法的相應(yīng)研究［13－21］。其中，電子經(jīng)緯儀無(wú)損立木材積精測(cè)法是一種高精度，低成本，易操作的立木材積無(wú)損觀測(cè)方法，但該方法對(duì)小規(guī)格樹木測(cè)量精度影響較大［22－23］。為了獲取高精度的建模樣本，克服電子經(jīng)緯儀無(wú)損立木材積精測(cè)技術(shù)對(duì)小規(guī)格樹木觀測(cè)精度影響較大的不足，采集建模樣本時(shí)采用電子經(jīng)緯儀無(wú)損立木材積精測(cè)法結(jié)合伐倒解析法進(jìn)行，其中6～10 cm徑階的采用伐倒解析技術(shù)獲取，12 cm及以上徑階的采用電子經(jīng)緯儀無(wú)損立木材積精測(cè)技術(shù)獲取。

電子經(jīng)緯儀無(wú)損立木材積精測(cè)方法，采用南方測(cè)繪生產(chǎn)的電子經(jīng)緯儀（DT-2），利用兩站式方法觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)木的樹高，并按樹高將標(biāo)準(zhǔn)木分為10段依次測(cè)量對(duì)應(yīng)高度處的樹干直徑，最后使用區(qū)分求積法計(jì)算立木材積［24－25］。在每段逐步向上測(cè)量過(guò)程中，選擇可以清楚觀測(cè)樹干的位置為觀測(cè)點(diǎn)，避開樹木的節(jié)疤及分叉部分，以保證觀測(cè)精度。

伐倒解析方法，將樣木伐倒后使用鋼尺量測(cè)地徑位置至樹梢的長(zhǎng)度（樹高），每株樣木測(cè)量相對(duì)樹高0.2/10，0.5/10，1/10，2/10，3/10，4/10，5/10，6/10，7/10，8/10，9/10處的帶皮直徑，按區(qū)分求積法計(jì)算材積。

表1 建模樣本統(tǒng)計(jì)指標(biāo)Table 1 Statistical indicators for modeling samples

2 QPSO-LSSVM算法原理

2.1 最小二乘支持向量機(jī)回歸算法

SVM是由CORTES等［8］和VAPNIK［9］在20世紀(jì)90年代提出的一種基于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的機(jī)器學(xué)習(xí)算法。SUYKENS等［10］為了提高標(biāo)準(zhǔn)SVM的訓(xùn)練效率，對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)，提出了LSSVM算法。LSSVM利用結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化（structural risk minimization，SRM）原則時(shí)，損失函數(shù)采用最小二乘線性系統(tǒng)，并用等式約束替換不等式約束來(lái)取代傳統(tǒng)的二次規(guī)劃方式解決問(wèn)題，只需求解一個(gè)線性方程組即可得出結(jié)果，降低了計(jì)算復(fù)雜度，提高了求解效率。LSSVM采用式（1）對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行建模。

式（1）中：x∈Rn為給定n維訓(xùn)練樣本集的輸入向量；y∈R為相應(yīng)輸出向量；R為樣本空間； w∈Rnh為權(quán)重向量，wT為w的轉(zhuǎn)置向量；b∈R為偏置量；φ（x）為非線性映射函數(shù)：Rn→Rnh將輸入數(shù)據(jù)映射到高維特征空間。

LSSVM回歸可以表示為約束優(yōu)化問(wèn)題，式（1）的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為：

式（2）中：J（w,e）為自變量w和e的函數(shù)；b∈R為偏置量；ei∈R為誤差變量；C為可調(diào)正則化參數(shù)；N為訓(xùn)練樣本數(shù)量。

根據(jù)式（2）定義拉格朗日函數(shù)L為：

式（3）中：ai∈R 為拉格朗日乘子。

根據(jù)KKT（Karush-Kuhn-Tucker）最優(yōu)化條件，通過(guò)分別求取w,b,e,a的偏導(dǎo)數(shù)并置為0，消去w,e，求解的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解線性方程組，通過(guò)解該方程組可得a,b的值，得到LSSVM的回歸模型為：

式（4）中：K（x,xi）為核函數(shù)；x∈Rn為給定n維訓(xùn)練樣本集的輸入向量；xi為核函數(shù)中心。

立木材積與胸徑、樹高為非線性關(guān)系，因此本研究建模選用核函數(shù)為具有強(qiáng)大的非線性處理能力和廣闊實(shí)用性且核參數(shù)最少的徑向基核函數(shù)（RBF）：

式（5）中： σ2為核參數(shù)。

影響LSSVM回歸模型的主要參數(shù)為正則化參數(shù)C和核參數(shù)σ2，2個(gè)參數(shù)對(duì)模型的泛化能力和學(xué)習(xí)能力有很大的影響［26－27］。在立木材積模型估算中，為了提高LSSVM的估算精度，合理選擇正則化參數(shù)C和核參數(shù)σ2非常重要。

2.2 QPSO優(yōu)化LSSVM算法

量子粒子群優(yōu)化算法克服了粒子在收斂過(guò)程中最大速度的限制，使粒子在整個(gè)可行解空間中能夠?qū)で蟮阶顑?yōu)解，在搜索能力與收斂速度上優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)PSO算法，且參數(shù)個(gè)數(shù)更少，公式簡(jiǎn)單，易于控制［28－29］。在量子空間中，粒子的速度和位置是不能同時(shí)確定的，可通過(guò)波函數(shù)來(lái)描述粒子的狀態(tài)，并通過(guò)求解薛定諤方程得到粒子在空間某一點(diǎn)出現(xiàn)的概率密度函數(shù)，隨后通過(guò)蒙特卡羅方法隨機(jī)模擬的方式得到粒子的位置。粒子位置更新方程為：

式（6）中：xid（t），xid（t+1）分別為第t，t+1次迭代后i粒子在第d維中的位置；t為迭代次數(shù)；Tmax為最大迭代次數(shù)；β為收縮擴(kuò)張系數(shù)，可控制算法的收斂速度；M為群體中所含粒子數(shù)量；mbestd為第d維中粒子群中值最優(yōu)位置；pd為第d維中每個(gè)粒子收斂于自身的隨機(jī)點(diǎn)；pid為粒子i在第d維的個(gè)體歷史最優(yōu)位置（Pbest）；pgd為整個(gè)粒子群在第d維的全局最優(yōu)位置（Gbest）。φ，u是在（0,1）之間產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)。

優(yōu)化LSSVM算法中的正則化參數(shù)C和RBF核函數(shù)參數(shù)σ2為一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，可描述為：

本研究選擇適應(yīng)度函數(shù)為：

式（8）中：yi為樣本輸出值；y＾i為樣本估測(cè)值；N為樣本數(shù)量。

采用QPSO優(yōu)化確定LSSVM參數(shù)（C，σ2），建立材積與胸徑、樹高估測(cè)模型的具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：①對(duì)樣本數(shù)據(jù)集進(jìn)行歸一化處理，消除量綱影響；②設(shè)置粒子群數(shù)量M，并初始化所有粒子的2維位置向量（C，σ2），確定QPSO的收縮擴(kuò)張系數(shù)的取值范圍、最大迭代次數(shù)Tmax等參數(shù)；③利用當(dāng)前粒子的位置向量，用訓(xùn)練樣本訓(xùn)練LSSVM，根據(jù)式（8）計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)度值；④根據(jù)計(jì)算得到的適應(yīng)度值，更新粒子個(gè)體最優(yōu)值Pbest和全局最優(yōu)值Gbest；⑤根據(jù)式（6）計(jì)算勢(shì)中心點(diǎn)mbest和隨機(jī)點(diǎn)P，更新每個(gè)粒子的新位置；⑥檢查粒子位置是否滿足結(jié)束條件，若適應(yīng)度值小于給定精度或t達(dá)到設(shè)定的最大迭代次數(shù)，則結(jié)束尋優(yōu)，輸出當(dāng)前最優(yōu)粒子位置作為L(zhǎng)SSVM參數(shù)，否則，t=t＋1，返回步驟③繼續(xù)迭代尋優(yōu)。

3 結(jié)果與分析

3.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

按樹種分別繪制胸徑平方和樹高乘積（橫軸，D2/H）與立木材積（縱軸，V）的散點(diǎn)圖、胸徑（D）與樹高（H）的散點(diǎn)圖、胸徑（D）與立木材積（V）的散點(diǎn)圖（圖1）。利用散點(diǎn)圖法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪整理，側(cè)柏和落葉松依次過(guò)濾異常數(shù)據(jù)10組和8組，得到合格的樣木數(shù)據(jù)側(cè)柏344組，落葉松448組。將樣本數(shù)據(jù)集根據(jù)徑階分為訓(xùn)練集和測(cè)試集，數(shù)據(jù)集結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖2。側(cè)柏訓(xùn)練集樣本共250組，占側(cè)柏樣本總數(shù)的72.67%，測(cè)試集樣本共94組；落葉松訓(xùn)練集樣本共300組，占落葉松樣本總數(shù)的66.96%，測(cè)試集樣本共148組。

圖1 外業(yè)采集樣本數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖Figure 1 Scatter plot of sample data collected in the field

3.2 QPSO-LSSVM二元估算結(jié)果與性能分析

用QPSO算法進(jìn)行尋優(yōu)時(shí)，其參數(shù)設(shè)定為：粒子維度D=2，種群數(shù)量M=30，最大迭代次數(shù)Tmax=300。通過(guò)MATLAB實(shí)現(xiàn)算法，得到側(cè)柏與落葉松的一元材積估算模型最優(yōu)粒子位置依次為（249.43，1.00）和（746.22，3.01），得到側(cè)柏與落葉松的二元材積估算模型最優(yōu)粒子位置依次為（389.67，1.56）和（812.39， 3.99）。

為了說(shuō)明QPSO-LSSVM的效果，分別采用PSO-LSSVM和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（BPNN）算法以及常用的傳統(tǒng)一、二元材積方程建立材積估算模型并與之進(jìn)行比較。其中PSO參數(shù)設(shè)為：粒子維度D=2，種群數(shù)量M=30，最大迭代次數(shù)Tmax=300，加速度系數(shù)C1=C2=2，初始慣性權(quán)值W=0.9。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法BPNN參數(shù)設(shè)為：隱藏層數(shù)量L=1，隱藏層神經(jīng)元數(shù)量為10。傳統(tǒng)一元材積模型采用伯克霍特（Berkhout）方程（9），二元材積模型采用山本式（Yamamoto Kazuhide）方程（10）：

圖2 側(cè)柏與落葉松樣本數(shù)據(jù)分布情況Figure 2 Distribution of sample data of Platycladus orientalis and Larix principis-rupprechtii

式（9）～（10）中：V為立木材積（m3）；D為胸徑（cm）；H為樹高（m）；a，b，c為參數(shù)； ε為誤差項(xiàng)。

由于立木材積數(shù)據(jù)普遍存在著異方差性，在求解模型參數(shù)時(shí)必須采取措施消除異方差的影響。常用的方法是采用對(duì)數(shù)回歸或加權(quán)回歸。本次材積模型建立采用非線性加權(quán)回歸方法，每個(gè)方程的權(quán)函數(shù)W=1/De（e為參數(shù)）根據(jù)普通最小二乘法獨(dú)立擬合的二元材積方程的殘差平方與胸徑的冪函數(shù)回歸關(guān)系確定。利用訓(xùn)練集數(shù)據(jù)分別建立一元與二元材積回歸模型，得材積模型參數(shù)（表2）。

本研究選用以下4項(xiàng)指標(biāo)作為材積模型性能評(píng)價(jià)指標(biāo)：決定系數(shù)（R2），總相對(duì)誤差（TRE），相對(duì)誤差絕對(duì)值的平均值（MARE）和平均相對(duì)誤差（MRE）。各指標(biāo)表達(dá)式定義為：

表2 側(cè)柏和落葉松一、二元材積模型參數(shù)Table 2 Parameters of the one-variable and two-variable tree volume models of Platycladus orientalis and Larix principis-rupprechtii

式（11）～（14）中：yi和y＾i分別為第i株樣木的實(shí)測(cè)值和預(yù)估值，為全部樣木實(shí)測(cè)值的平均值。

利用測(cè)試集數(shù)據(jù)，對(duì)比側(cè)柏與落葉松的一、二元材積方程的性能指標(biāo)（表3）可以看出：在決定系數(shù)（R2）指標(biāo)上，QPSO-LSSVM算法的擬合度均優(yōu)于其他3種模型，PSO-LSSVM與傳統(tǒng)一、二元材積方程基本相當(dāng)，而BPNN算法擬合度則相對(duì)較差一些。QPSO-LSSVM材積估算模型的總相對(duì)誤差（TRE），相對(duì)誤差絕對(duì)值的平均值（MARE）和平均相對(duì)誤差（MRE）均優(yōu)于傳統(tǒng)一、二元材積方程。

在執(zhí)行材積估算模型代碼過(guò)程中，QPSO-LSSVM的平均收斂速度要優(yōu)于PSO-LSSVM。以側(cè)柏二元材積模型為例，連續(xù)執(zhí)行材積估算建模代碼15次并計(jì)算測(cè)試集估算結(jié)果的相對(duì)誤差最大值REmax和相對(duì)誤差絕對(duì)值的平均值MARE（圖3）。經(jīng)計(jì)算得到傳統(tǒng)一、二元材積模型，QPSO-LSSVM，PSO-LSSVM和BPNN算法的MARE的標(biāo)準(zhǔn)差依次為0.00，0.03，0.09，0.88，可以看出BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估算結(jié)果的REmax和MARE變化較大，4種材積估算模型的穩(wěn)健性由強(qiáng)到弱排序?yàn)椋簜鹘y(tǒng)材積估算方法＞QPSO-LSSVM＞PSOLSSVM＞BPNN。綜合材積估算模型的性能指標(biāo)，平均收斂速度和穩(wěn)健性，QPSO-LSSVM材積模型要優(yōu)于其他3種材積模型。

表3 材積估算模型性能指標(biāo)對(duì)比Table 3 Comparison of performance indicators for the volume models

圖3 側(cè)柏二元材積估算模型指標(biāo)Figure 3 Indicator of the estimate model of the two-variable volume of Platycladus orientalis

QPSO-LSSVM，PSO-LSSVM，BPNN等3種模型為機(jī)器學(xué)習(xí)算法，模型參數(shù)較多，不同于傳統(tǒng)模型表達(dá)直觀，但模型使用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)，具有可重用性和可移植性，在應(yīng)用模型時(shí)，可將訓(xùn)練好的模型封裝為獨(dú)立的可執(zhí)行程序發(fā)布使用，也可移植到林業(yè)相關(guān)系統(tǒng)中進(jìn)行材積的自動(dòng)化計(jì)算，還可利用MATLAB的編譯器功能將模型進(jìn)行重新編譯嵌入手機(jī)、平板電腦等智能終端。另外，可直接利用訓(xùn)練好的模型編制立木材積表。

4 結(jié)論

采用電子經(jīng)緯儀無(wú)損立木材積精測(cè)法與伐倒解析法結(jié)合的方案獲取樣本數(shù)據(jù)，利用傳統(tǒng)一、二元材積方程，QPSO-LSSVM，PSO-LSSVM和BPNN算法建立材積模型，通過(guò)分析計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)，側(cè)柏與落葉松的一、二元QPSO-LSSVM材積模型測(cè)試集的估算值與實(shí)測(cè)值的決定系數(shù)（R2）均優(yōu)于其他3種算法；側(cè)柏和落葉松的傳統(tǒng)的一、二元材積模型的總體相對(duì)誤差（TRE）依次為－0.90%，－0.18%，0.85%，-0.59%，QPSO-LSSVM材積模型的總體相對(duì)誤差優(yōu)于傳統(tǒng)一、二元材積模型；4種材積估算模型的穩(wěn)健性強(qiáng)弱關(guān)系為傳統(tǒng)材積方程＞QPSO-LSSVM＞PSO-LSSVM＞BPNN。QPSO-LSSVM材積模型雖然在穩(wěn)健性上比傳統(tǒng)材積方程稍弱一些，但相差無(wú)幾，且在估算精度上要優(yōu)于傳統(tǒng)材積方程。

綜上所述，QPSO-LSSVM材積模型綜合性能要優(yōu)于其他3種模型，相比傳統(tǒng)材積模型無(wú)需在多種經(jīng)驗(yàn)方程中進(jìn)行選擇，且具有估算精度高，收斂速度快，穩(wěn)健性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，該方法在高精度材積估算中具有較好的應(yīng)用前景。

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