余弦定理破解三類題

■河南省鄭州市為民高中 黃一淼

一、余弦定理

二、對(duì)余弦定理的理解

(1)適用范圍:余弦定理對(duì)任意的三角形都成立。

(2)結(jié)構(gòu)特征:“平方”、“夾角”、“余弦”。

(3)揭示的規(guī)律:余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個(gè)角的余弦之間的關(guān)系式,它描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系。

(4)主要用途:余弦定理的主要用途是實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化。

三、余弦定理的應(yīng)用

1.已知三角形的兩邊及其夾角,解三角形

解析：由余弦定理得:

故C=180°-A-B=75°。

方法總結(jié)：已知三角形的兩邊及其夾角,解三角形的常見方法:

先利用余弦定理求出第三邊,求解其余角有兩種思路,一是利用余弦定理的推論求出其余角;二是利用正弦定理求解。

若用正弦定理求解,需對(duì)角的取值進(jìn)行取舍,而用余弦定理就不存在這些問題(在(0,π)上,余弦值所對(duì)應(yīng)角的值是唯一的),故用余弦定理求解較好。

2.已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角,解三角形

例2 在△ABC中,已知b=3,c=33,B=30°,求角A、角C和邊a。

解析：(法一)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得32=a2+(3)2-2a×33×cos30°,即a2-9a+18=0,解得a=3或6。

當(dāng)a=3時(shí),A=30°,故C=120°。

當(dāng)C=60°時(shí),A=90°,△ABC為直角三角形,由勾股定理得=6;

當(dāng)C=120°時(shí),A=30°,△ABC為等腰三角形,a=3。

方法總結(jié)：已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角,解三角形的方法:

可根據(jù)余弦定理列一元二次方程,求出第三邊(注意邊的取舍),再利用正弦定理求其他的兩個(gè)角;也可以由正弦定理求出第二個(gè)角(注意角的取舍),再利用三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角,最后再利用正弦定理求出第三邊。

3.判斷三角形的形狀

例3 在△ABC中,若acosA+bcosB=ccosC,試判斷△ABC的形狀。

等式兩邊同乘以2abc,得:

方法總結(jié)：判斷三角形的形狀應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考,可用正弦、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系,通過因式分解、配方等方式得出邊的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷三角形的形狀,也可利用正弦、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角與角之間的關(guān)系,通過三角變換,得出三角形各內(nèi)角之間的關(guān)系,從而判斷三角形的形狀。