基于孔結(jié)構(gòu)分形維數(shù)的水泥基材料宏觀性能的研究

金仁東,許修超,林清輝

(臺州職業(yè)技術(shù)學院 建筑工程學院,浙江 臺州 318000)

1 引言

水泥基材料是一種多孔介質(zhì),其內(nèi)部微觀孔隙結(jié)構(gòu)特征決定著材料的力學和耐久性等宏觀性能。因此研究水泥基材料微觀孔結(jié)構(gòu)有助于進一步分析宏觀性能的變化機理和預(yù)測相應(yīng)的變化趨勢。傳統(tǒng)的SEM只能定性地反映多孔材料內(nèi)部的孔隙結(jié)構(gòu),而分形理論則可以通過分形維數(shù)來量化孔結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性。另外工程中常用的水泥基材料,其孔結(jié)構(gòu)在孔隙體積、孔形、孔隙通道和面積方面都表現(xiàn)出明顯的分形特征,因而孔結(jié)構(gòu)和宏觀性能的研究就具備了新途徑。近年來,眾多學者借助分形理論開展了水泥基材料微觀孔結(jié)構(gòu)和宏觀性能的理論和試驗研究。隨著對孔結(jié)構(gòu)和分形理論的深入研究,基于孔結(jié)構(gòu)分形維數(shù)的水泥基材料宏觀性能的研究取得了長足的進展,也逐漸成為水泥基材料孔結(jié)構(gòu)性能研究的重要方向。

2 分形及分形理論概況

2.1 分形

分形是美國教授B.B.Mandelbrot在1973年根據(jù)拉丁語Frangere這一詞匯創(chuàng)造得到的,其本來的意義為支離破碎的、不規(guī)則的和分數(shù)的物體[1]。與此相關(guān)的分形幾何學則是一門研究非規(guī)則幾何形態(tài)的學科,而自然界普遍存在不規(guī)則物體和相關(guān)現(xiàn)象,因而它又是一門描述大自然的幾何學。它的研究對象主要為處處不規(guī)則、處處不可微、復(fù)雜并具有自相似性的幾何體。分形結(jié)構(gòu)的幾何體一般具有的特征：①具有不規(guī)則性,其局部和整體均無法通過幾何語言進行描述；②具有精細的結(jié)構(gòu),無論在何種尺度下它都是復(fù)雜的；③具有自相似性,這種自相似性可以被統(tǒng)計亦可以是近似的[2]。

2.2 分形理論的歷史沿革

經(jīng)典的歐式幾何對諸如汽車、飛機、建筑等人造物體可以用直線、方形、圓圈、立方體、球體等規(guī)則幾何形狀加以描述,但遇到自然界中許多復(fù)雜非線性的山川景色、巖石結(jié)構(gòu)、海岸邊界等真實事物卻無法通過傳統(tǒng)的幾何學去描述和解決[3]。其中分形理論是研究此類問題的重要工具,它源于“大不列顛海岸線有多長”的課題研究。分形幾何學創(chuàng)始人B.B.Mandelbrot將相關(guān)研究者對于該課題的早期結(jié)論與周長無限的結(jié)構(gòu)進行聯(lián)系,發(fā)現(xiàn)了整體和局部形態(tài)之間相似的性質(zhì)。此后,Mandelbrot在1967年發(fā)表在《科學》上的論文“英國海岸線有多長”引起學界的高度重視；在1973年首次在法蘭西講學中提出分形幾何學的概念；在1977年出版的著作《Fractal, Form, Chance and Dimension》又創(chuàng)造了“fractal”一詞,標志著分形理論的誕生[4]。近年來,因分形理論可以較為精確的描述被研究對象的復(fù)雜不規(guī)則性這一特點,所以隨著學科之間的交叉發(fā)展,它被各學科廣泛借鑒而應(yīng)用于生物、物理、化學、材料學、斷裂力學、勘探等多個工程領(lǐng)域之中,也成為目前學界的熱門課題。

3 孔分形維數(shù)

分形維數(shù)是一種能量化分形特征的重要參數(shù),它能夠定量的表征一個復(fù)雜體系的不規(guī)則性和復(fù)雜程度。習慣上常說的維數(shù)是歐幾里得空間維數(shù),常用來確定幾何圖形和空間物體定位所需的獨立坐標數(shù)目,它所體現(xiàn)的維數(shù)數(shù)值為整數(shù)。分形理論則認為空間維數(shù)是連續(xù)變化的,它可以是整數(shù)也可以是分數(shù)。分形集的維數(shù)有多種定義,如盒維數(shù)、信息維數(shù)、關(guān)聯(lián)維數(shù)、容量維數(shù)等,而Hausdorff維數(shù)則是其中最具代表性的維數(shù),也可以稱為分形維數(shù)。以下是根據(jù)不同分形模型所確定的各種與孔結(jié)構(gòu)相關(guān)的分形維數(shù)。

3.1 孔表面積分形維數(shù)

根據(jù)Menger海綿模型來模擬混凝土中的孔結(jié)構(gòu)：將邊長為R的初始立方體等分成m3個邊長均為R/m的小立方體,然后以一定的規(guī)則隨機取出其中n個立方體,剩余立方體數(shù)目為N1=m3-n。按此方法經(jīng)過k次迭代后,余留的小立方體邊長rk=R/mk,相應(yīng)數(shù)目為Nk=(m3-n)k。

分形維數(shù)和立方體數(shù)目的關(guān)系式為：

Nk=(rkR)-D

(1)

式中：D為分形維數(shù),D=lgN1/lgm。

那么相應(yīng)余留的立方體體積為：

(2)

轉(zhuǎn)化得：

(3)

基于Menger海綿模型所確定的孔表面分形維數(shù)一般研究的對象是中低強度等級的水泥基材料,若遇到高強水泥基材料適用性不強。張宇等就該問題進行研究,根據(jù)壓汞法中外界環(huán)境壓汞的功等于入孔汞液表面能的增加而建立了基于熱力學關(guān)系的分形模型,相應(yīng)關(guān)系式為：

lnWn=lnQn+lnC

(4)

式中C為常數(shù),Wn和Qn為通過壓汞試驗數(shù)據(jù)計算得到。另外將Qn和Wn取對數(shù)后繪制曲線圖,若該曲線斜率趨近于1時,則表明式中所含的D為相應(yīng)試樣的表面積分形維數(shù),否則需重新假設(shè)并計算直至曲線斜率約等于1為止。另外式(4)因多次迭代循環(huán)擬合致計算量過大,進而簡化可得：

(5)

式中Vn為進汞總量,δn為第n次進汞相應(yīng)的孔徑。利用此式進行線性回歸,確定相應(yīng)斜率即為簡化后高強水泥基材料的孔表面積分形維數(shù)D。

孔表面積分形維數(shù)隨著孔表面積、中值孔徑和平均孔徑的增大而增大,它與孔隙率結(jié)合使用可更為合理高效地表征高強水泥基材料的孔結(jié)構(gòu)情況[5]。

3.2 孔體積分形維數(shù)

Ji等人基于水泥混凝土水化反應(yīng)的特點構(gòu)建空間填充模型：將1m3的立方體作為初始單元并等分為m3個相等的小立方體,為模擬水泥水化過程而按一定規(guī)則填充其中n個立方體,剩余未被填充的部分則視為孔隙,此部分立方體數(shù)目為m3-n。據(jù)此規(guī)則經(jīng)歷k次迭代并根據(jù)分維定義得到空間填充模型的分形維數(shù)D=lg(m3-n)/lgm,同時結(jié)合壓汞測孔法建立分形維數(shù)和孔隙體積的關(guān)系,經(jīng)過一定的推導得到：

lgV=lgt+(3-D)lgr

(6)

將壓汞數(shù)據(jù)按照式(3)繪制相應(yīng)曲線,孔體積分形維數(shù)D的數(shù)值即為該曲線斜率[6]。

然而空間填充模型的模擬過程與壓汞測孔之間存在一定的差異,那么直接由壓汞儀得到的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)至該模型進而求得的分形維數(shù)也會存在一定的誤差,并影響后續(xù)分析的精準性。相比之下,Menger海綿模型在一定程度上與壓汞測孔法在過程上更為接近。因此對式(1)亦可推導出：

lgVk∝(3-D)lgrk

(7)

然后利用壓汞數(shù)據(jù)求得Vk和rk并據(jù)式(7)繪制函數(shù)曲線圖,則該曲線斜率即為孔體積分形維數(shù)。

水泥基材料的孔體積分形維數(shù)和孔結(jié)構(gòu)參數(shù)相關(guān)性良好,該分形維數(shù)越大,則該孔隙率越高、中值孔徑越大,抗拉壓強度越小。所以,孔體積分形維數(shù)既能有效評價微觀孔結(jié)構(gòu)特征,又能合理反映宏觀力學性能。

3.3 孔軸線分形維數(shù)

前文所述Menger海綿模型,空間填充模型和基于熱力學關(guān)系的分形模型所考慮的混凝土孔隙通常是平滑直線型的圓柱孔,而實際上孔隙一般是非平滑的曲線型復(fù)雜孔。為形象描述其迂曲程度,以更接近真實情況的Von Koch曲線特征模型為基礎(chǔ)如圖1所示,構(gòu)件孔軸線分形維數(shù)模型具體過程如下：

將長度為1的直線初始單元按照一定規(guī)則等分得到N個小直段,每段長度為1/m,則相應(yīng)曲線長度為L1=N/m,以這樣的操作經(jīng)過k次迭代后得到最終曲線長度為Lk=(N/m)k。同時依據(jù)分形維數(shù)相關(guān)概念得到曲線長度關(guān)于分形維數(shù)的函數(shù)表達式為：Lk=(1/mk)1-D。結(jié)合壓汞法試驗原理可導出：

(8)

圖1 Von Koch曲線特征模型

4 研究現(xiàn)狀

4.1 力學性能方面

2003年,李永鑫等通過建立適用于水泥基材料的Menger海綿分形模型,并結(jié)合MIP實驗數(shù)據(jù)回歸分析得到粉煤灰-水泥凈漿的孔體積分形維數(shù),重點分析了分形維數(shù)與孔結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系,并初步探討了分形維數(shù)與相應(yīng)砂漿強度的關(guān)系,研究表明粉煤灰-水泥砂漿抗折及抗壓強度隨孔體積分形維數(shù)的增大而增大[7]。2006年,尹紅宇設(shè)計了對不同配比混凝土試件分別進行壓汞和單軸受壓試驗研究,得到孔隙體積分形維數(shù)和孔軸線分形維數(shù)與混凝土抗壓強度關(guān)系散點圖相關(guān)性良好,表明混凝土抗壓強度可用孔結(jié)構(gòu)分形維數(shù)來評價[8]。2007年,喻樂文等通過壓汞法測得摻珍珠巖水泥石孔結(jié)構(gòu)參數(shù),結(jié)合Menger海綿模型計算出相應(yīng)孔體積分形維數(shù),并著重分析了該分形維數(shù)與微觀孔結(jié)構(gòu)參數(shù)與宏觀力學性能之間的關(guān)系,結(jié)果表明它與抗壓強度成反比,同時也可綜合評定水泥基材料的微觀孔結(jié)構(gòu)[9]。2014年,周明杰等借助MATLAB編寫程序并基于盒計數(shù)法原理計算得到不同粉煤灰摻量下泡沫混凝土的分形維數(shù),另外將同等情況下的抗壓強度與之關(guān)聯(lián)對比研究,結(jié)果表明泡沫混凝土的分形維數(shù)和抗壓強度擬合良好,也說明分形維數(shù)可用于泡沫混凝土力學性能指標的預(yù)測和控制[10]。2016年,韋庭叢等通過壓汞法和Menger海綿模型計算出漂珠低密度水泥石孔體積分形維數(shù),探討了該水泥基材料的孔體積分形維數(shù)和力學性能的關(guān)系,得出其抗拉壓強度隨著孔體積分形維數(shù)的增大而減小的結(jié)論,表明孔體積分形維數(shù)能在一定程度上反映水泥基材料宏觀力學性能的優(yōu)劣[11]。

4.2 耐久性方面

2005年,唐明等以Menger海綿模型為基礎(chǔ)結(jié)合壓汞測孔試驗計算混凝土凍融循環(huán)后的孔隙分形特征,得到C40的普通混凝土和高性能混凝土在250次凍融循環(huán)后孔隙體積分形維數(shù)較受凍前明顯降低[12]。2009年,尹紅宇等結(jié)合壓汞試驗和Menger海綿分形模型研究了碳化后水泥砂漿的分形特征,結(jié)果表明水泥砂漿孔結(jié)構(gòu)具備多重分形特點,其中凝膠孔孔隙體積分維降低,而毛細孔和大孔等有害孔體積分維增大[13]。2010年,張建波等利用壓汞法和Menger海綿模型定量研究含礦物摻合料混凝土孔體積分形維數(shù),并據(jù)此探討了摻加不同礦物摻合料條件下混凝土氯離子滲透性與孔體積分形維數(shù)的關(guān)系,結(jié)果表明兩者之間相關(guān)性良好,且成反比關(guān)系,另外摻加摻合料活性越大,兩者負相關(guān)性越明顯[14]。2011年,楊帆引入分形理論,從孔隙通道屈曲分形維數(shù)Dτ和孔隙分布分形維數(shù)D入手研究水泥基材料的滲透性和孔隙復(fù)雜程度的關(guān)系,結(jié)果表明混凝土滲透率與孔隙分布分形維數(shù)D成正比,而與孔隙通道屈曲分形維數(shù)Dτ成反比[15]。2017年,鄧雷等基于分形理論并通過MIP法求得鋰渣混凝土孔分形維數(shù),并得出鋰渣混凝土氣體滲透性與孔軸線分形維數(shù)相關(guān)性較差,而與孔體積分形維數(shù)相關(guān)性較好的結(jié)論[16]。

5 結(jié)語

通過以上綜述內(nèi)容發(fā)現(xiàn),經(jīng)過國內(nèi)外研究者的共同努力,在水泥基材料孔結(jié)構(gòu)分形方面的研究已經(jīng)已取得了一定的進展,在此基礎(chǔ)上也有眾多學者初步探討了水泥基材料宏觀性能和孔結(jié)構(gòu)分形維數(shù)的相關(guān)關(guān)系,并取得了一定的研究成果,然而歸納現(xiàn)有成果發(fā)現(xiàn),在這方面的研究仍然存在以下方面需要進一步研究：

(1)不同的分維模型因測試理論和結(jié)構(gòu)參數(shù)的不同導致求得的分形維數(shù)差異較大,即使同一分維模型也因研究者關(guān)于物理意義和公式參數(shù)的理解差異而造成分形維數(shù)仍有計算偏差,因此進一步統(tǒng)一分維模型和強化理解是一項重要工作。

(2)絕大多數(shù)研究者關(guān)于水泥基材料孔結(jié)構(gòu)分形維數(shù)和宏觀性能研究的重點偏向分形維數(shù)的求解上,對于如何定量反映分形維數(shù)和宏觀性能的相關(guān)關(guān)系缺乏深入研究。

(3)水泥基材料宏觀性能中的耐久性是目前研究的重點,尤其是其中抗凍、抗?jié)B方面如何通過分形維數(shù)建立與孔結(jié)構(gòu)的定量關(guān)系尤為重要,所以水泥基材料耐久性和孔結(jié)構(gòu)分形維數(shù)的關(guān)系方面仍然有較大的研究空間。