一種采用自適應(yīng)LPA-ICI的最小二乘法相位展開

蔡青青 顧春霞 王 瑋

1(紹興職業(yè)技術(shù)學(xué)院 浙江 紹興 312000)2(中國電信集團(tuán)公司 浙江 紹興 312000)3(中國聯(lián)合網(wǎng)絡(luò)通信集團(tuán)有限公司 江蘇 揚(yáng)州 225000)

0 引 言

相位展開[1-3]是光學(xué)三維測(cè)量中的一個(gè)重要步驟。由傅里葉法[4]和相移法[5-6]等方法得到的相位為折疊相位[6-7]，與真實(shí)相位相差2kπ，因此，相位展開的目的就是獲取精確的k值。在眾多相位展開技術(shù)中，公認(rèn)的最具有魯棒性的一種全局性的算法是最小二乘[8-10]相位展開算法。其本質(zhì)是尋找使纏繞相位的離散偏導(dǎo)數(shù)與解纏相位的偏導(dǎo)數(shù)整體偏差最小的解，并可歸結(jié)為求解具有Neumann邊界條件的離散泊松方程。求解該方程的常用方法[11]有：離散余弦變換法(DCT)、傅里葉變換法(FFT)等。FFT對(duì)圖像尺寸有嚴(yán)格要求，并且耗時(shí)較長(zhǎng)，而DTC對(duì)圖像大小則無過多要求，且速度快。但是，基于DCT的最小二乘法在展開過程中，將噪聲能量分配到周圍像素點(diǎn)，存在過度平滑噪聲現(xiàn)象，使誤差不斷傳播。加權(quán)的最小二乘法[8]的提出，減小相位誤差的傳播，但該方法過分地依賴權(quán)重，且要求高品質(zhì)的質(zhì)量圖，而現(xiàn)有技術(shù)很難滿足該要求。

鑒于此，去除噪聲是最小二乘法亟待解決的問題。局部多項(xiàng)式近似[11](Local Polynomial Approximation)是一種理論上公正的去噪算法，可以根據(jù)信號(hào)的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)出特定性質(zhì)的2D變換，而LPA算法的精度很大程度上受到窗口函數(shù)的影響。文獻(xiàn)[12]提出方向LPA，結(jié)合置信區(qū)間交集(Intersection of Confidence Intervals)準(zhǔn)則來設(shè)計(jì)濾波窗口，提出各向異性LPA-ICI算法。該方法原理簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，在去除噪聲的同時(shí)，極大地保護(hù)圖像的細(xì)節(jié)特征。文獻(xiàn)[13-14]對(duì)該算法進(jìn)行了深入的研究，并結(jié)合PUMA相位展開法，提出PEARLS(Phase Estimation using Adaptive Regularization based on Local Smoothing)相位展開法，提高了相位展開的精度，但PUMA算法本身耗時(shí)較長(zhǎng)，不適用于實(shí)時(shí)在線測(cè)量。

因此，針對(duì)基于DCT的最小二乘法相位展開過度平滑噪聲的問題，提出采用自適應(yīng)LPA-ICI的最小二乘(LIDLS)相位展開法。該方法可以有效地解決DCT-LS過度平滑噪聲的問題，提升抗噪能力。同時(shí)該算法耗時(shí)少，在同數(shù)量級(jí)的誤差范圍內(nèi)，相較PEARLS相位展開法，速度提高顯著。

1 折疊相位去噪

1.1 噪聲模型

在光柵投影測(cè)量系統(tǒng)中，設(shè)由相移法得到的二維包裹相位為φ(x,y)，大小為M×N，其對(duì)應(yīng)的絕對(duì)相位值為φ(x,y)，則相位展開可以表示為：

φ(x,y)=φ(x,y)+2k(x,y)π

(1)

式中：k(x,y)為整數(shù)值函數(shù)。

由于圖像在采集過程中常混有電子噪聲，常用的兩步相移法無法消除圖像固有噪聲，而三步、四步相移法在消除固有噪聲的同時(shí)，卻引入了隨機(jī)噪聲。文獻(xiàn)[13-14]將觀測(cè)到的折疊相位圖模型定義為：

φ=φz+φn

(2)

式中：φ是觀測(cè)到的折疊相位值，φz是真實(shí)的折疊相位，φn是噪聲值。相位展開其實(shí)是采用合理的方法從觀測(cè)的φ中去除噪聲，估計(jì)出適當(dāng)?shù)膋(x,y)的過程。在對(duì)式(1)展開的過程中，受到式(2)所示的疊加了噪聲的觀測(cè)值模型影響，使誤差沿相位展開方向擴(kuò)展，從而出現(xiàn)“拉線”等現(xiàn)象。去噪的目的是從式(2)所示的折疊相位模型中，得到精確相位展開值φ=W(φz)，W(·)為相位展開操作。

1.2 自適應(yīng)LPA-ICI算法

為了保持計(jì)算復(fù)雜度和估計(jì)值的精確度的平衡，采用LPA的零階近似來推斷窗口尺寸，和一階近似來計(jì)算相位估計(jì)值。

假設(shè)在任意點(diǎn)(x,y)鄰域內(nèi)的相位φ(x,y)可以表達(dá)成：

(3)

式中：p=(p1,p2,p3)T是一階多項(xiàng)式的向量，其中，p1=1,p2=x,p3=y，c=(c1,c2,c3)T是一個(gè)未知參數(shù)的向量。假設(shè)在相位為φ的點(diǎn)(x,y)的某個(gè)鄰域內(nèi)，存在一點(diǎn)(xs,ys)的相位φ無限接近，則必定存在向量c使得：

(4)

向量c的擬合函數(shù)為：

(5)

式(5)中Jh(c)定義為：

(6)

(7)

(8)

式(7)中：

ejc1Wh[(c2-c2)xs+(c3-c3)ys]

(9)

(10)

和一階多項(xiàng)式近似估計(jì)：

(11)

ICI準(zhǔn)則協(xié)助LPA完成濾波器窗口尺度的優(yōu)化，采用的自適應(yīng)算法的判定準(zhǔn)則為：

(12)

(13)

2 相位展開算法

2.1 最小二乘法

對(duì)已知的折疊相位做最小二乘擬合，得到擬合函數(shù)：

(14)

(15)

(16)

式(15)和式(16)中的2kπ是為了保證方向梯度的值在[-π,π]。Hunt[15]的矩陣公式給出了上述最小二乘矩陣的線性方程組：

φ(x+1,y)+φ(x-1,y)+φ(x,y+1)+φ(x,y-1)-4φ(x,y)=ρ(x,y)

(17)

(18)

顯然可以能過DCT該方程得到相位展開值φ(x,y)。

2.2 DCT算法

二維DCT過程為：

(19)

式(19)中：Di,j是像素點(diǎn)tx,y的二維DCT的譜值，其逆變換為：

tx,y

式(20)中：

w1(i)=1/2,i=0;w1(i)=1,1≤i≤M-1

w2(j)=1/2,j=0;w2(j)=1,1≤j≤N-1

根據(jù)式(17)和式(20)，在離散余弦變換域上對(duì)相位φ(x,y)展開，得到其精確解為：

(21)

2.3 LIDLS相位展開法實(shí)現(xiàn)

Step2應(yīng)用ICI準(zhǔn)則來選擇最佳窗口尺寸h+(x,y)；

Step3根據(jù)式(11)和h值，計(jì)算一階相位估計(jì)值，直至遍歷整個(gè)圖的像素點(diǎn)，否則跳至Step1；

3 仿真、實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

3.1 仿真結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證本文提出的方法的性能，采用硬件環(huán)境是CPU為奔騰D，主頻為2 GHz，內(nèi)存為3 GB，軟件環(huán)境為MATLAB R2014a。根據(jù)文獻(xiàn)[14]設(shè)置參數(shù)Γ=2.0，窗口尺寸區(qū)間定義為H={1,2,3,4}。

圖1(a)是大小為100×100像素的高斯平面絕對(duì)相位圖；對(duì)(a)的相位進(jìn)行相位纏繞后得到其折疊相位圖如(b)所示；(c)是添加了μ=0，σ=0.5的高斯噪聲的折疊相位圖；(d)是由最小二乘法進(jìn)行相位展開的絕對(duì)相位圖；(e)是由ICI準(zhǔn)則獲取的窗口尺寸參數(shù)，在一階多項(xiàng)式是很好的近似數(shù)據(jù)的區(qū)域中選擇較大的窗口，反之亦然；(f)是采用本文方法進(jìn)行相位解包裹的絕對(duì)相位圖。對(duì)比相位展開結(jié)果圖，可以明顯觀測(cè)到LIDLS有效地減小了噪聲對(duì)相位展開的影響。

(a) 原始相位平面 (b) 折疊相位

(c) 添加高斯噪聲(σ=0.5) (d) DCT-LS展開繅

(e) ICI給出的窗口參數(shù)h (f) LIDLS展開結(jié)果圖1 高斯平面仿真結(jié)果(σ=0.5)

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，圖2(a)是大小為200×200像素的隨機(jī)高度的相位折疊圖；(b)是對(duì)(a)的相位進(jìn)行相位纏繞后，添加了μ=0、σ=0.75的高斯噪聲的折疊相位圖；(c)是由最小二乘法進(jìn)行相位展開的絕對(duì)相位圖；(d)是PEARLS相位展開法進(jìn)行相位展開的結(jié)果；(e)是LIDLS進(jìn)行相位解包裹的絕對(duì)相位圖；(f)是選取一行(i=120)相位值進(jìn)行比較的示意圖。對(duì)比發(fā)現(xiàn)，LIDLS有效地抑制了噪聲的影響，比LS和PEARLS的展開結(jié)果更接近于原始相位圖。

(a) 原始相位平面 (b) 添加高斯噪聲的折疊相位(σ=0.75)

(c) DCT-LS相位展開結(jié)果 (d) PEARLS相位展開結(jié)果

(e) LIDLS展開結(jié)果 (f) 結(jié)果比較(i=120)圖2 隨機(jī)高度仿真結(jié)果(σ=0.75)

本文算法的實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)是光柵投影系統(tǒng)，其相位展開圖類似一個(gè)斜面。圖3(a)是大小為400×400像素的斜面的折疊相位圖；(b)是添加了μ=0、σ=0.75的高斯噪聲的折疊相位圖；(c)是由ICI準(zhǔn)則獲取的窗口尺寸參數(shù)；(d)是LIDLS進(jìn)行相位解包裹的絕對(duì)相位圖。由結(jié)果可以看出，LIDLS可以有效地恢復(fù)出斜面。

(a) 折疊相位 (b) 添加高斯噪聲(σ=0.75)

(c) ICI給出的窗口參數(shù)h (d) LIDLS展開結(jié)果圖3 斜面的仿真結(jié)果(σ=0.75)

通過上述結(jié)果展示，可以看出本文方法能有效地從噪聲中恢復(fù)出絕對(duì)相位信息。為了定量分析上述各方法相位展開的效果，可以計(jì)算相位展開后的相位估計(jì)值與原始相位的均方根誤差[14](RSME)值，其表達(dá)式為：

(22)

表1 相位展開結(jié)果的RSME值

通過表1，可以發(fā)現(xiàn)PEALS算法也可以有效地抑制噪聲。為了進(jìn)一步分析本文的性能，表2給出了三種方法的耗時(shí)，結(jié)合表1的數(shù)據(jù)可以分析出，PEARLS算法在相位展開時(shí)對(duì)噪聲的抑制有明顯效果，但當(dāng)圖像大小增大時(shí)，PEARLS算法的耗時(shí)增長(zhǎng)時(shí)長(zhǎng)量特別大，而LIDLS在耗時(shí)上有明顯的優(yōu)勢(shì)。

表2 各算法的相位展開耗時(shí)

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證本文方法的實(shí)用性，采用光柵投影測(cè)量系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，采用NEC投影儀向投射光柵周期為16像素的黑白條紋圖，用工業(yè)相機(jī)獲取灰度圖像，圖像大小為640像素×480像素。獲取實(shí)物光柵投影圖，如圖4(a)所示；待測(cè)量物體為普通鼠標(biāo)，采用相移法得到的折疊相位圖，如(b)所示；為了分析相位展開法抑制噪聲的性能，添加σ=0.5高斯噪聲，如(c)所示；(d)為DCT-LS的相位展開結(jié)果圖；(e)為ICI給出的本次實(shí)驗(yàn)的窗口尺寸參數(shù)示意圖；(f)為PEARLS相位展開結(jié)果圖；(g)為L(zhǎng)IDLS的相位展開結(jié)果圖，根據(jù)高度-相位差公式計(jì)算出高度值；(h)給出了鼠標(biāo)的三維點(diǎn)云視圖。實(shí)驗(yàn)結(jié)果定性分析，可以看出相位展開結(jié)果有顯著的抗噪聲能力。

(a) 光柵條紋圖 (b) 折疊相位

(c) 添加高斯噪聲(σ=0.5) (d) DCT-LS展開結(jié)果

(e) ICI給出的窗口參數(shù)h (f) PEARLS展開結(jié)果

(g) LIDLS展開結(jié)果 (h) 點(diǎn)云視圖圖4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表3給出實(shí)驗(yàn)結(jié)果，其中RSME值是對(duì)展開后的相位值進(jìn)行再包裹后，與圖4(b)所示的折疊相位相較的結(jié)果。數(shù)據(jù)表明，本文方法比DCT-LS有明顯的抗噪能力；略低于PEARLS的效果，但耗時(shí)很短。

表3 各相位展開法的性能對(duì)比

3.3 性能分析

1) 抗噪性能分析 圖5將上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，繪制RMSE-SNR關(guān)系圖，可以看出DCT-LS只對(duì)SNR高于12 dB的折疊相位有效展開，LIDLS可以對(duì)SNR高于3 dB的折疊相位進(jìn)行有效展開，抗噪能力顯著提升。

(a) DTC-LS展開不同尺寸圖像的RMSE (b) LIDLS展開不同尺寸圖像的RMSE

(c) DTC-LS展開不同模型的RMSE (d) LIDLS展開不同模型的RMSE圖5 不同平面的RMSE-SNR關(guān)系圖

2) 耗時(shí)性能分析 在3.1和3.2節(jié)的結(jié)果分析中得知，LIDLS抗噪能力接近于PEARLS。為了進(jìn)一步比較算法性能，圖6給出三種方法對(duì)折疊相位處理時(shí)間消耗和噪聲值的關(guān)系圖。結(jié)果表明，在同樣的噪聲情況下，LIDLS比PEARLS在時(shí)間消耗上有數(shù)量級(jí)的改善。

圖6 三種算法的時(shí)間消耗對(duì)比圖

4 結(jié) 語

本文討論了光學(xué)三維測(cè)量中的相位展開的方法，介紹了基于DCT的最小二乘法。針對(duì)該算法在相位展開過程中過度平滑噪聲導(dǎo)致誤差傳遞的問題，提出一種采用LPA-ICI的最小二乘相位展開法。該方法首先獲取的折疊相位，然后自動(dòng)調(diào)整窗口尺度進(jìn)行LPA-ICI算法去除噪聲，直至獲取滿意的濾波相位圖，最后結(jié)合最小二乘法完成相位的展開。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，本文的方法在精度上有了明顯的提高，具有良好的準(zhǔn)確性；而在消耗時(shí)間上，比同樣采用LPA-ICI算法的PEARLS相位展開法有可觀的減小，適合工程上三維測(cè)量的應(yīng)用，具有良好的實(shí)時(shí)性。同時(shí)，給出了大量的仿真實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，證明了該方法具有實(shí)用性。