SIS病毒傳播模型在單向網(wǎng)絡中的動力學研究

李紀康 唐 亮,2 焦 鵬 靖 可

1(沈陽航空航天大學機電工程學院 遼寧 沈陽 110000)2(大連海事大學交通運輸管理學院 遼寧 大連 116000)

0 引 言

目前，國內外學者已逐漸開始關注特定傳播模型下的動力學特性，并且致力于豐富該領域的理論研究中。文獻[15]研究了傳播媒介對病毒傳播過程中的模型，提出了一種新型的SIS傳播模型。文獻[16]通過平均場方法研究在社會網(wǎng)絡上的病毒傳播動力學行為,推導出傳播閾值公式，發(fā)現(xiàn)傳播閾值與模塊化系數(shù)呈負相關關系。文獻[17]將SIS病毒傳播模型引入到供應鏈風險傳播研究中,建立了供應鏈網(wǎng)絡風險傳播模型。結果表明，當風險傳播概率小于風險傳播閾值時，供應鏈網(wǎng)絡可以吸收風險。當風險傳播概率大于風險傳播閾值時，供應鏈網(wǎng)絡將會受到風險影響。文獻[18]研究在復雜網(wǎng)絡中，節(jié)點具有感染方向的新型SIS模型動力學特性。用時滯來描述帶有方向感染過程中節(jié)點的狀態(tài)，運用平均場函數(shù)理論求出傳播的臨界值，運用數(shù)學分析方法驗證網(wǎng)絡穩(wěn)定性。結果表明，傳播臨界值與實質因素無關。Xu等[19]基于SIS模型的隨機微分方程，提出了一種新型的隨機臨界值理論。文獻[20]研究在非線性發(fā)生率情況下，一系列隨機SIS病毒模型中病毒的持續(xù)和消弭。結果表明，臨界值對病毒的持續(xù)和消弭產生重要的影響。文獻[21]研究在非線性發(fā)生率和周期系數(shù)情況下的，隨機SIS病毒模型的動力學行為，運用了Khasminskill的邊界周期馬爾科夫過程，模型的隨機周期解的存在性得到了求證。

以上文獻研究了SIS病毒傳播模型在無向網(wǎng)絡中的傳播動力學行為，然而對SIS病毒傳播模型在有向網(wǎng)絡中傳播動力學的研究相對較少。本文研究SIS病毒傳播模型在單向規(guī)則網(wǎng)絡中的傳播動力學行為，規(guī)則網(wǎng)絡選取ER隨機網(wǎng)絡，網(wǎng)絡規(guī)模為n。運用數(shù)學語言和簡單的圖形描述病毒在網(wǎng)絡中的傳播，運用平均場理論得出病毒傳播的理論模型，運用數(shù)學方法求得病毒的臨界值，臨界值與出度的平均度呈反比例關系。傳播臨界值與病毒的傳播概率呈正比例關系與恢復概率呈正比例關系?；謴团R界值與傳播概率和出度平均度呈正比例關系。

1 模型描述

1.1 感染過程數(shù)學描述

表1 符號說明

Step1網(wǎng)絡選取ER隨機網(wǎng)絡，出度平均度〈k〉out，網(wǎng)絡規(guī)模為n，感染概率為λ，恢復概率為δ。初始感染節(jié)點為i，出度為ki，初始感染密度ρk(0)=0。

Step3當傳播時間為t時，網(wǎng)絡中初始感染節(jié)點的密度為ρk(t-1)，此階段感染節(jié)點密度為(1-δ)ρk(t-1)+λ〈k〉out(1-ρk(t-1))ρk(t-1)。此階段恢復為易感狀態(tài)的節(jié)點密度為δρk(t)，此時處于感染狀態(tài)的節(jié)點密度為(1-δ)ρk(t-1)+λ〈k〉out(1-ρk(t-1))ρk(t-1)-δρk(t)。

Step4當t→∞時，網(wǎng)絡的穩(wěn)態(tài)感染密度為ρ*，此階段屬于感染狀態(tài)的節(jié)點數(shù)為(1-δ)ρ*+λ〈k〉out(1-ρ*)ρ*。感染節(jié)點以δ的概率恢復為易感狀態(tài)，此階段恢復為易感狀態(tài)的節(jié)點密度為δρ*。此時處于感染狀態(tài)的節(jié)點密度為(1-δ)ρ*+λ〈k〉out(1-ρ*)ρ*-δρ*。

1.2 感染過程圖形描述

圖1 感染過程實例描述

Step5節(jié)點1和3處于感染狀態(tài)，節(jié)點4和5恢復為易感狀態(tài)。該階段處于感染狀態(tài)的節(jié)點為1、3。節(jié)點2和5的感染概率都為λ，感染節(jié)點1和3的恢復概都為δ。

Step7節(jié)點3恢復為易感狀態(tài)，網(wǎng)絡中所有節(jié)點全部處于易感狀態(tài)。此時網(wǎng)絡處于穩(wěn)定狀態(tài)。

2 理論模型構建

由感染模型中的數(shù)學描述可以得到如下節(jié)點傳播的遞推式，模型中節(jié)點出度為k，在t+1時刻節(jié)點感染密度即可表示為：

ρk(t+1)=(1-δ)ρk(t)+λ〈k〉out(1-ρk(t))ρk(t)

(1)

在網(wǎng)絡傳播達到穩(wěn)定狀態(tài)情況時，節(jié)點出度為k時的感染密度可表示為：

(2)

ρ*=(1-δ)ρ*+λ〈k〉out(1-ρ*)ρ*

(3)

對式(3)進行處理可以得到：

(4)

理論分析結果表明，病毒在單向網(wǎng)絡中同樣存在臨界值，傳播臨界值與網(wǎng)絡的出度平均度和恢復概率有關。理論分析結果概括如下：

結論1：當恢復概率δ為定值時，傳播臨界值λc與網(wǎng)絡的出度平均度呈反比例關系。

結論2：當網(wǎng)絡的出度的平均度為定值時，發(fā)生臨界現(xiàn)象時的傳播概率和恢復概率呈線性關系。當恢復概率δ為1時，即感染節(jié)點完全恢復時，臨界值為:

理論分析結果表明，即使感染節(jié)點完全恢復，網(wǎng)絡同樣存在臨界現(xiàn)象。

結論3：當恢復概率δ為1時，傳播臨界值只與網(wǎng)絡的出度的平均度有關，并且與出度平均度呈反比例關系。

對式(3)進行處理可以得到：

δ=λ〈k〉out(1-ρ*)

(5)

δc=λ〈k〉out

理論分析結果表明，恢復臨界值與網(wǎng)絡的出度平均度和傳播概率有關。理論分析結果概括如下：

結論4：當傳播概率λ為定值時，恢復臨界值與網(wǎng)路的出度平均度呈正比例關系。

結論5：當網(wǎng)絡的出度的平均度為定值時，發(fā)生臨界現(xiàn)象時的傳播概率和恢復概率呈線性關系。

3 傳播臨界值仿真分析

為了驗證上述理論分析的結論和相應的分析結果，本文采用VB語言進行數(shù)值仿真，仿真結果主要側重于相關因素對臨界值的影響程度。仿真實驗所用ER隨機網(wǎng)絡均為隨機產生，仿真結果為多次仿真結果的平均值，并且隨著仿真的進行，網(wǎng)絡的結構也會發(fā)生相應的調整。

首先研究，當恢復概率δ為定值，網(wǎng)絡穩(wěn)態(tài)感染密度ρ*和傳播概率λ的關系。模型中的參數(shù)取值為：恢復概率δ=0.8，出度的平均度〈k〉out=3和〈k〉out=4，初始感染密度為ρ0=0.001、ρ0=0.005、ρ0=0.01。在以上參數(shù)取值情況下，對網(wǎng)絡進多次仿真，仿真結果如圖2所示。

圖2 恢復概率為定值時，穩(wěn)態(tài)感染密度和傳播概率的關系

其次研究，網(wǎng)傳播概率λ為定值，網(wǎng)絡穩(wěn)態(tài)感染密度ρ*和恢復概率δ的關系。模型中的參數(shù)取值為：傳播概率λ=0.2，出度的平均度〈k〉out=3和〈k〉out=4，初始感染密度為ρ0=0.001、ρ0=0.005、ρ0=0.01。在以上參數(shù)取值情況下，對網(wǎng)絡進行多次仿真，仿真結果如圖3所示。

由圖3可得，病毒傳播不僅存在臨界現(xiàn)象，而且恢復臨界值存在一定的規(guī)律。網(wǎng)絡的初始感染密度不同時，臨界值有所不同，隨著初始感染密度ρ0的增大，網(wǎng)絡臨界值逐漸增大。即使初始感染密度不同，當恢復概率δ=0時，網(wǎng)絡的穩(wěn)態(tài)感染密度趨于相同值，網(wǎng)絡處于穩(wěn)態(tài)下節(jié)點基本全部發(fā)生感染。由圖3可得，出度的平均度〈k〉out越大，臨界值越大。實驗結果表明，當傳播概率λ為定值時，恢復臨界值與出度平均度呈現(xiàn)正比例關系，與結論2基本一致。在同種網(wǎng)絡中，即使初始感染有所密度不同，但是伴隨著恢復概率的增大，穩(wěn)態(tài)感染密度的值都趨于相同值。在初度平均度不同的網(wǎng)絡，隨著恢復概率的不斷變小，網(wǎng)絡的穩(wěn)態(tài)感染密度趨于相同值。伴隨恢復概率的增大，不同網(wǎng)絡穩(wěn)態(tài)感染密度的差別逐漸增大。

接著研究，網(wǎng)絡恢復概率δ=1時，即感染節(jié)點全部恢復情況下，網(wǎng)絡穩(wěn)態(tài)感染密度ρ*和傳播概率λ的關系。模型中的參數(shù)取值為：恢復概率δ=1，出度的平均度〈k〉out=3和〈k〉out=4，初始感染密度為ρ0=0.001、ρ0=0.005、ρ0=0.01。在以上參數(shù)取值情況下，對網(wǎng)絡進行多次仿真，仿真結果如圖4所示。

由圖4可得，即使恢復概率δ=1，網(wǎng)絡依然存在臨界現(xiàn)象，并且臨界值存在一定的規(guī)律。網(wǎng)絡的在初始感染密度不同時，臨界值有所不同，隨著初始感染密度ρ0的增大，網(wǎng)絡傳播臨界值的逐漸變小。當傳播概率大于臨界值時，穩(wěn)態(tài)感染密度由0急劇上升，但是隨著傳播概率的逐漸增大，網(wǎng)絡穩(wěn)態(tài)感染密度增長較為緩慢。即使初始感染密度不同，隨著傳播概率的增大，穩(wěn)態(tài)感染密度趨于相同值。隨著傳播概率的增大，穩(wěn)態(tài)感染密度趨于相同值。隨著網(wǎng)絡出度平均度〈k〉out的增大，傳播臨界值逐漸減小。當傳播概率λ=1時，穩(wěn)態(tài)密度下網(wǎng)絡有近半的節(jié)點發(fā)生感染。實驗結果表明，當恢復概率δ為1時，臨界值與出度平均度有關，臨界值與出度平均度呈反比例關系，與結論3基本一致。

最后研究，當網(wǎng)絡發(fā)生臨界現(xiàn)象時，臨界值的理論值和仿真值之間的關系。模型中的參數(shù)取值為：出度的平均度〈k〉out=4，初始感染密度為ρ0=0.001、ρ0=0.005、ρ0=0.01、ρ0=0.5、ρ0=1。在以上參數(shù)取值情況下，對網(wǎng)絡進行多次仿真，仿真結果如圖5所示。

圖5 出度平均度為4時，理論值和仿真值之間的關系

圖中加粗的直線為臨界值的理論值，在初始感染密度不同時，網(wǎng)絡臨界值的仿真值也有所不同，每組的仿真值都是隨著傳播概率的增大而進行線性增長。當初始感染密度ρ0=0.001時，在此情況下，臨界值的仿真值和理論值之間具有較大的誤差。當初始感染密度ρ0=0.5時，臨界值的仿真值于理論值誤差最小，并且隨著傳播概率的增大，臨界值的仿真值與理論值之間的誤差越來越小。當初始感染密度ρ0=1，傳播概率λ<0.15時，臨界值的仿真值與理論值誤差較小，當λ>0.15時，臨界值的仿真值不僅超過了理論值，并且隨著傳播概率的增大，臨界值與理論值的誤差值逐漸增大。當網(wǎng)絡的出度平均度〈k〉out為定值時，發(fā)生臨界現(xiàn)象時的傳播概率與恢復概率呈線性關系，與結論4和5結論基本一致。

由圖2-圖5可以看出，在特定的情況下，病毒在單向網(wǎng)絡中傳播，總會存在臨界現(xiàn)象。并且發(fā)現(xiàn)發(fā)生臨界現(xiàn)象時的傳播臨界值和恢復臨界值與網(wǎng)絡的初度平均度呈線性關系。理論分析的五個結論在仿真分析中均得到了有效的驗證。除此之外，從四個圖的仿真結果還顯示，在同種網(wǎng)絡中臨界值也會存在差異，并且網(wǎng)絡趨于吸收相態(tài)時的速率有很大的差別。在不同網(wǎng)絡中，網(wǎng)絡臨界值與初度平均度和初始感染密度有關。最后實驗的仿真值和理論值之間的關系圖顯示，理論值和仿真值存在一定的誤差，并且在初始感染密度趨于某些值時，誤差可以得到有效控制。

4 結 語

基于SIS病毒傳播模型的網(wǎng)絡傳播過程中，臨界值與網(wǎng)絡平均度密切相關。理論分析表明，當傳播概率為定值時，網(wǎng)絡的恢復臨界值與網(wǎng)絡的出度平均度呈正比例關系。并且發(fā)生臨界現(xiàn)象時，傳播概率和恢復概率呈線性關系?；謴透怕蕿槎ㄖ禃r，網(wǎng)絡傳播臨界值與網(wǎng)絡的出度平均度呈反比例關系?；謴透怕蕿?時，傳播臨界值與初度平均度同樣呈反比例關系。研究結果表明，單向網(wǎng)絡的臨界值同樣存在，并且與單向網(wǎng)絡的出度平均度相關。傳播臨界值隨著出度平均度的線性增加而減小。當恢復概率和出度平均度為定值時，隨著初始感染密度的線性增大，臨界值的仿真值也呈線性增長的趨勢。相反，當傳播概率和出度平均度為定值時，臨界值的仿真值也隨著初始感染密度的變化而變化。隨著初始感染密度的增加，臨界值的仿真值與理論值之間的誤差逐漸縮小。本文提出了基于SIS病毒傳播模型的單向網(wǎng)絡傳播模型，利用簡單的數(shù)學和圖形描述來刻畫病毒在單向網(wǎng)絡中的傳播過程，利用平均場理論研究該模型在均勻單向網(wǎng)絡中的傳播動力學行為。實驗驗證了理論分析的五個結論，本文只考慮了均勻單向網(wǎng)絡，在實際生活中大多網(wǎng)絡是無標度網(wǎng)絡。未來會對單向無標度網(wǎng)絡進行進一步的詳細研究，以豐富復雜網(wǎng)絡臨界值的研究。