巧借多元求最值問題的一題多解，深化數(shù)學學習情感

王峰

【摘要】說數(shù)學枯燥其實是錯誤的.數(shù)學教學過程中，教師可以借一題多解讓學生品味到數(shù)學是有“美味”的.同時，學生也可以借一題多解加強對數(shù)學的認知、加深數(shù)學學習情感.在講解“基本不等式及應用”時，筆者將預習方式由寬泛式全面預習調(diào)整為聚焦式有針對性預習，以解法為主線，讓學生思考一道多元求最值問題的解法，讓學生品味到了數(shù)學思考帶來的樂趣、領悟到了數(shù)學能力提升帶來的學習價值、深刻體驗到了數(shù)學學習中獲得各種感受、嘗試、領悟的情感與價值觀.

【關(guān)鍵詞】一題多解；多元求最值問題；深化；數(shù)學學習；情感

無論是新授課還是復習課，一題多解始終是激發(fā)學生數(shù)學學習興趣的重要手段.數(shù)學學習離不開做題，高三復習課更是如此，但是如果學生只是能做題，而不能在做題的過程中領悟到知識運用、方法形成、思想延伸的真諦，也就是“死做題”.借助一題多解，可以深化知識、方法、思想的理解，也能從中感受到數(shù)學學習的趣味，還能領悟到數(shù)學內(nèi)在的聯(lián)系與奧妙.

高三一輪復習過程中，筆者多次想對復習形式稍做調(diào)整，以改變學生對復習課固有模式的“生厭”情緒，幫助學生調(diào)整數(shù)學學習心態(tài)，適當激發(fā)學生高中最后階段的數(shù)學學習激情，同時也是對數(shù)學教學的模式做了一次自我探索.

在復習到“基本不等式及應用”這一節(jié)時，筆者調(diào)整了預習要求，由寬泛式全面預習轉(zhuǎn)變?yōu)榫劢故接嗅槍π灶A習，預習的重心放在了基礎訓練的第5題，以解題方法為預習主線，知識回顧、方法小結(jié)、數(shù)學思想?yún)R總為輔線，讓一名學生在課堂上主講該題，其他學生補充，教師從旁協(xié)助.小試之后，課后與學生交流了這道題，感覺收獲良多.

一、方法再現(xiàn)

題目設x，y，z為正實數(shù)，滿足x-2y+3z=0，則y2xz的最小值是.

（一）主講：學生甲

（法1）由y=x+3z2得到y(tǒng)2xz=（x+3z）24xz=x4z+9z4x+32≥2x4z×9z4x+32=3.

（當且僅當x4z=9zx即x=y=3z時取“=”），故最小值為3.（下面概括性介紹方法）

在這個過程中，有兩點應該要注意：1.應能根據(jù)式子特點選擇消元的處理手段；2.要考慮基本不等式應用的條件“一正二定三相等”.

（法2）在法1的基礎上，得到1=x+3z2y，故而1=x+3z2y2，故y2xz×1=y2xz×x+3z2y2，下同法1，此方法主要是體現(xiàn)基本不等式中“1”的妙用.

（法3）在以上兩種方法的基礎上，由消去y該成消去x或z（效果一樣），即x=2y-3z，代入y2xz得y22yz-3z2=12zy-3zy2=1-3zy-132+13≥3（此時zy=13）.

在這個過程中要注意分子、分母同除以y2時要考慮y≠0.

師：其他同學還有沒有疑惑？

學生乙：zy=13能成立嗎？

學生甲：哦，前面要注意由x=2y-3z及x，y，z是正數(shù)得到zy∈0，23.這里一定要注意被消去的元對保留元的范圍的限制，其次就是轉(zhuǎn)換到二次函數(shù)與分式函數(shù)符合的函數(shù)求最值.

【小結(jié)1】前面三種方法都是建立在直接消元的基礎上完成的.

（法4）等式兩邊同除以y，得到2=xy+3zy，令a=xy，b=zy， 則a+3b=2，所以y2xz=1ab（后略）.

這種處理方法是受到前一節(jié)例題2的啟發(fā)聯(lián)想到的，看來學生的聽課效果還是不錯的.

（法5）由2y=x+3z得到數(shù)列x，y，3z成等差數(shù)列，設公差為d∈R，x=y-d>0，3z=y+d>0，則y2xz=3y2y2-d2（后略）.

（法六）取y=1，則x+3z=2，所以y2xz=1xz（后略）.

【小結(jié)2】以上三種方法主要是建立變相消元的基礎上完成的.

（二）補充1：學生乙

學生乙：從所求式子作為切入點，想到了以下方法.

（法七）令t=y2xz>0，則4y2=4txz，又x+3z=2y，所以整理得到關(guān)于x的一元二次方程在x2+（6z-4tz）x+9z2=0有正數(shù)解.

（法八）在法七的基礎上，將z作為常量，轉(zhuǎn)換為直線y=12x+32z與拋物線y2=tzx的公共點問題，取相切狀態(tài)即可.

【小結(jié)3】以上兩種方法是在函數(shù)與方程中求最值的.

（三）補充2：學生丙

學生丙：運用基本不等式求最值應該是最直接的方法.

（法九）y2xz=3y2x·3z≥3y2x+3z22=3.

（法十）由x+3z=2y≥2x·3z4y2≥12xzy2xz≥3.

【小結(jié)4】這兩種方法都是直接使用基本不等式求解最值，關(guān)鍵是和、積之間的轉(zhuǎn)換.

至此，這道題的解法已經(jīng)基本完畢，雖然在課堂上呈現(xiàn)的并不是如此的有規(guī)律，課后與學生交流之后，很多學生都能將所呈現(xiàn)的方法有序歸納，使得筆者深刻感受到這堂課“收益匪淺”.

二、一題多解

同一數(shù)學問題用不同的數(shù)學方法來解答，我們稱之為“一題多解”.其特點就是對同一個問題從不同的角度、不同的結(jié)構(gòu)形式、不同的相互關(guān)系通過不同的思路去解答同一個問題.一題多解能快速整合所學知識，重要的是能培養(yǎng)學生細致的觀察力、豐富的聯(lián)想力和創(chuàng)造性的思維能力.

一題多解是一個老生常談的問題，但是在這里它發(fā)揮了不小的促進數(shù)學學習的功效.

1.強化了數(shù)學學習三基.在這道題中基本不等式是解決問題的基礎也是主干知識，但是為了使用基本不等式，學生需要擁有觀察、化簡、配湊、計算等基本技能，這些技能都在一題多解之中得到了強化.同時求最值運用基本不等式的方法也在這一題多解中不斷使用、不斷強化.

2.生發(fā)了數(shù)學趣味.這堂課學生學得很輕松、很自在，因為他們真正地做了學習的主人，這主要是得益于一題多解使學生更積極主動地參與進解決問題之中.

3.開拓了數(shù)學思維.從消元到換元再回到消元，從基本不等式到函數(shù)與方程再回到基本不等式，無不滲透了數(shù)學思維的訓練，使學生的數(shù)學思維經(jīng)過反復操練，達到爐火純青的地步.

三、多元問題

這是高中數(shù)學必須研究的問題，也是高考中的熱門問題，多與函數(shù)、基本不等式、解析幾何等知識相結(jié)合考查學生的數(shù)學綜合素養(yǎng).解決多元求最值問題主要按照：確立關(guān)系式→消元或換元→構(gòu)造基本不等式→確定函數(shù)與方程關(guān)系的步驟解決，如果無法確立多元的關(guān)系式，則在消元或換元的基礎上需要找尋相應的解決之策.

當然多元求最值問題需要注意：1.消元時要注意被消去的元的范圍對保留元的范圍的制約；2.換元時要注意新元的范圍.

四、學生收獲

課下與學生交流了這樣一次課堂給他們的感受如何，學生皆大呼好久沒有這樣動過腦筋了，真的很過癮.于是我讓學生對這堂課做了一個總結(jié)，大致整理下來有以下收獲.

1.四個“學會”：學會思考、學會研究、學會反思、學會做數(shù)學題.在高速推進教學進度的過程中，教師即使想在一題多解上花點時間也不敢花的時間過多，這就導致了學生的思考的間隙被嚴重壓縮，無法有自己的思考，更沒有展現(xiàn)學生“原生態(tài)”思考的機會.研究數(shù)學、反思數(shù)學更是無從談起.

2.三個“理解”：理解知識、理解方法、理解數(shù)學內(nèi)在.每一名學生在小結(jié)中都提到了這道題徹底“吃透”了，還有很多學生能把消元、換元的意識，使用基本不等式要注意“三相等”的檢驗寫在了小結(jié)里，確實證明了他們的理解.其實本題涉及的知識與方法并不多，更多的是一種形式上的轉(zhuǎn)換（或變形），不論是直接或間接運用不等式還是函數(shù)與方程解題，都有共同的內(nèi)在聯(lián)系.

3.兩個“激發(fā)”：激發(fā)了數(shù)學學習的積極性、激發(fā)了數(shù)學學習的主動性.智慧的教學是激發(fā)學生主動參與的有效教學.在參與中鍛煉學生學習主動性，培養(yǎng)學生學習的積極性.新課程讓學生做學習的主人.把學習看成是師生交往，積極互動，共同發(fā)展的過程.教學實踐也一再證明，沒有學生主動參與的教學不是有效教學，更談不上學生的自主學習.在教學探索中，我們認識到學生主動參與至少要達到充分激發(fā)和調(diào)動學生學習的主動性、積極性和自覺性，引導學生思維與情感的主動參與的目的.

4.一個“確定”：確定了數(shù)學學習的目標.數(shù)學教學必須有教學目標，數(shù)學素養(yǎng)就是教學目標.數(shù)學學習也需要確定方向，這樣才能堅定不移地學習數(shù)學，不論在這個過程中遇到多大的挫折也都能勇敢面對，直至實現(xiàn)自己的目標.當看到絕大多數(shù)學生主動給自己制訂了一個目標分數(shù)及數(shù)學學習計劃（之前沒有布置）之后，我相信學生們已經(jīng)有了自己明確的數(shù)學學習目標.

通過這道一題多解的題讓學生品味到了數(shù)學思考帶來的樂趣、領悟到了數(shù)學能力提升帶來的學習價值、體驗到了數(shù)學學習中獲得各種感受、嘗試、領悟的一種學習方法，它與新課程中教學三維目標的情感態(tài)度價值觀有了直接聯(lián)系.