近二年中考數(shù)學(xué)新定義型試題賞析

施存鍔

近幾年來全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)了一種“新定義”型試題.所謂“新定義”型試題，是指給出一個(gè)考生從未接觸過的新概念，要求學(xué)生現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，其目的是考查考生的閱讀理解能力、接受能力、應(yīng)變能力和創(chuàng)新能力，旨在培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、主動(dòng)探究的學(xué)習(xí)方式.這種題型問題情境新穎，閱讀量明了簡(jiǎn)短，讓答題者眼前一亮的同時(shí)猶如一股清新之風(fēng)迎面吹來，令人神清氣爽.在領(lǐng)略了題目的真意之后更體會(huì)到了命題人的匠心獨(dú)具和創(chuàng)新精神.因此，越來越受到全國(guó)各地命題者的青睞，已經(jīng)成為近幾年中考試題中的一道亮麗風(fēng)景線，是中考數(shù)學(xué)試題中的一朵奇葩.而對(duì)“新定義”試題的研究及突破對(duì)教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)都有很高的價(jià)值.下面精選幾道2016、2017年全國(guó)中考數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)的“新定義”型試題作一賞析，不妥之處請(qǐng)批評(píng)斧正.

一、選擇題

1.（2016·杭州）設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，定義@的一種運(yùn)算如下：a@b=（a+b）2-（a-b）2，則下列結(jié)論：

① 若a@b=0，則a=0或b=0；

② a@（b+c）=a@b+a@c；

③ 不存在實(shí)數(shù)a，b，滿足a@b=a2+5b2；

④ 設(shè)a，b是矩形的長(zhǎng)和寬，若矩形的周長(zhǎng)固定，則當(dāng)a=b時(shí)，a@b最大.

其中正確的是（）.

A.②③④

B.①③④

C.①②④

D.①②③

解① 根據(jù)題意得a@b=（a+b）2-（a-b）2，

∴（a+b）2-（a-b）2=0，

整理得（a+b+a-b）（a+b-a+b）=0，即4ab=0，

解得a=0或b=0，正確；

② ∵a@（b+c）=（a+b+c）2-（a-b-c）2=4ab+4ac，

a@b+a@c=（a+b）2-（a-b）2+（a+c）2-（a-c）2=4ab+4ac，

∴a@（b+c）=a@b+a@c正確；

③ a@b=a2+5b2，a@b=（a+b）2-（a-b）2，

令a2+5b2=（a+b）2-（a-b）2，

解得a=0，b=0，故錯(cuò)誤；

④ ∵a@b=（a+b）2-（a-b）2=4ab，

（a-b）2≥0，則a2-2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab，

∴a2+b2+2ab≥4ab，

∴4ab的最大值是a2+b2+2ab，

此時(shí)a2+b2+2ab=4ab，解得a=b，

∴a@b最大時(shí)，a=b，故④正確，故選C.

2.（2016·湖州）定義：若點(diǎn)P（a，b）在函數(shù)y=1x的圖像上，將以a為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)構(gòu)造的二次函數(shù)y=ax2+bx稱為函數(shù)y=1x的一個(gè)“派生函數(shù)”.例如，點(diǎn)2，12在函數(shù)y=1x的圖像上，則函數(shù)y=2x2+12x稱為函數(shù)y=1x的一個(gè)“派生函數(shù)”.現(xiàn)給出以下兩個(gè)命題：

（1）存在函數(shù)y=1x的一個(gè)“派生函數(shù)”，其圖像的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)；

（2）函數(shù)y=1x的所有“派生函數(shù)”的圖像都經(jīng)過同一點(diǎn).

下列判斷正確的是（）.

A.命題（1）與命題（2）都是真命題

B.命題（1）與命題（2）都是假命題

C.命題（1）是假命題，命題（2）是真命題

D.命題（1）是真命題，命題（2）是假命題

解（1）∵P（a，b）在y=1x上，

∴a和b同號(hào)，所以對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，

∴存在函數(shù)y=1x的一個(gè)“派生函數(shù)”，其圖像的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)是假命題.

（2）∵函數(shù)y=1x的所有“派生函數(shù)”為y=ax2+bx，

∴x=0時(shí)，y=0，

∴所有“派生函數(shù)”為y=ax2+bx，經(jīng)過原點(diǎn)，

∴函數(shù)y=1x的所有“派生函數(shù)”的圖像都經(jīng)過同一點(diǎn)，是真命題.

故選C.

二、填空題

3.（2017·山東威海）閱讀理解：如圖1所示，⊙O與直線a，b都相切，不論⊙O如何轉(zhuǎn)動(dòng)，直線a，b之間的距離始終保持不變（等于⊙O的直徑），我們把具有這一特性的圖形成為“等寬曲線”，圖2是利用圓的這一特性的例子，將等直徑的圓棍放在物體下面，通過圓棍滾動(dòng)，用較小的力既可以推動(dòng)物體前進(jìn)，據(jù)說，古埃及人就是利用這樣的方法將巨石推到金字塔頂?shù)?

拓展應(yīng)用：如圖3所示的弧三角形（也稱為萊洛三角形）也是“等寬曲線”，如圖4所示，夾在平行線c，d之間的萊洛三角形無(wú)論怎么滾動(dòng)，平行線間的距離始終不變，若直線c，d之間的距離等于2 cm，則萊洛三角形的周長(zhǎng)為cm.

解如圖3所示，由題意知AB=BC=AC=2 cm，

∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，

∴AB在以點(diǎn)C為圓心、2為半徑的圓上，

∴AB的長(zhǎng)為60·π·2180=2π3，

則萊洛三角形的周長(zhǎng)為2π2×3=2π，

故答案為2π.

三、解答題

4.（2017·重慶市A卷）對(duì)任意一個(gè)三位數(shù)n，如果n滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個(gè)數(shù)為“相異數(shù)”，將一個(gè)“相異數(shù)”任意兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)后可以得到三個(gè)不同的新三位數(shù)，把這三個(gè)新三位數(shù)的和與111的商記為F（n）.例如，n=123，對(duì)調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到213，對(duì)調(diào)百位與個(gè)位上的數(shù)字得到321，對(duì)調(diào)十位與個(gè)位上的數(shù)字得到132，這三個(gè)新三位數(shù)的和為213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6.

（1）計(jì)算F（243），F(xiàn)（617）；

（2）若s，t都是“相異數(shù)”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整數(shù)），規(guī)定：k=F（s）F（t），當(dāng)F（s）+F（t）=18時(shí)，求k的最大值.

解（1）F（243）=（423+342+234）÷111=9；

F（617）=（617+176+671）÷111=14.

（2）∵s，t都是“相異數(shù)”，s=100x+32，t=150+y，

∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F(xiàn)（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6.

∵F（t）+F（s）=18，

∴x+5+y+6=x+y+11=18，

∴x+y=7.

∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整數(shù)，

∴x=1，y=6， 或x=2，y=5， 或x=3，y=4， 或x=4，y=3， 或x=5，y=2， 或x=6，y=1.

∵s是“相異數(shù)”，∴x≠2，x≠3.

∵t是“相異數(shù)”，∴y≠1，y≠5.

∴x=1，y=6， 或x=4，y=3， 或x=5，y=2，

∴F（s）=6，F(xiàn)（t）=12， 或F（s）=9，F(xiàn)（t）=9， 或F（s）=10，F(xiàn)（t）=8，

∴k=F（s）F（t）=12或k=F（s）F（t）=1或k=F（s）F（t）=54，

∴k的最大值為54.

綜上所述，新定義題型在中考試題中以選擇題、填空題、解答題的形式出現(xiàn)，試題涉及對(duì)純代數(shù)或純幾何知識(shí)點(diǎn)或代數(shù)和幾何相結(jié)合的綜合題型的考查，有種亂花漸欲迷人眼的感覺，但也有其解答策略.一般是運(yùn)用新定義的法則轉(zhuǎn)化成常規(guī)方法解答的題型即可.新定義型試題考查了學(xué)生的閱讀能力、遷移能力和創(chuàng)新能力，旨在培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、主動(dòng)探究的學(xué)習(xí)方式，又給學(xué)生創(chuàng)造了一個(gè)探索創(chuàng)新的機(jī)會(huì)，是中考數(shù)學(xué)試題的一個(gè)亮點(diǎn)；新定義型試題鼓勵(lì)重視數(shù)學(xué)應(yīng)用的教與學(xué)，用相關(guān)的知識(shí)靈活解決問題.在解決這一問題的時(shí)候，閱讀理解能力成為打開問題第一道大門的“金鑰匙”，所以平時(shí)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力的培養(yǎng)必須重視起來.新定義題型立足于課標(biāo)，不拘泥于課標(biāo)，新穎而迷人眼的問題情境要求教師培養(yǎng)學(xué)生透過現(xiàn)象看問題本質(zhì)的方法；要求教師在完成教學(xué)任務(wù)同時(shí)注重學(xué)生創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)，也為教師日常教學(xué)工作指明了新的導(dǎo)向.千變?nèi)f化的題型，迥異的解答策略，是數(shù)學(xué)魅力所在，更是命題人的創(chuàng)新精神所在.也是我們教育工作者必備的精神品質(zhì).