用電梯的升降運(yùn)動(dòng)解釋立體幾何中的平行問題

李洪波

高中立體幾何的平行問題是一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，同時(shí)也是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)問題.有些問題即使是教師講解多次，學(xué)生掌握得仍然不好.其中，有很大一部分原因是學(xué)生對圖形的感受性不足，不能與自己的生活常識(shí)聯(lián)系起來，也不能與自己已掌握的知識(shí)產(chǎn)生聯(lián)系.我們知道，對于看得見，摸得著，可以想象的東西，我們研究起來就會(huì)更容易一些，也更容易把它們從實(shí)際中抽象出來進(jìn)行概念研究.本文結(jié)合生活中電梯的升降運(yùn)動(dòng)來幫助學(xué)生理解立體幾何中的平行問題.

我們知道，如果一條直線與平面平行，那么這條直線可以通過平移進(jìn)入到這個(gè)平面內(nèi).這和我們在日常生活中電梯的運(yùn)行方式非常相似，如圖1所示，電梯在運(yùn)行過程中，可以看成是AB沿著l1，l2平行移動(dòng)，最終AB就會(huì)平移到地面.

圖中有兩條導(dǎo)軌l1，l2，它們是平行的，A，B分別在其中的一條上運(yùn)動(dòng)，這樣平移前后很容易構(gòu)造平行四邊形，這是我們常用的利用平行四邊形找平行線的辦法；如果l1，l2不平行，則可以利用梯形（上下底平行，中位線平行）或三角形（等比例平行，如中位線）來找平行線，如圖2所示.

在這里，最重要就是要找到兩條導(dǎo)軌，它們可以平行，也可以相交，但不能異面.

下面我們用電梯的升降運(yùn)動(dòng)來解釋一下具體操作過程：

我們證明線面平行問題時(shí)一般會(huì)用到下面兩個(gè)定理：

（1）通過證明線線平行來得到線面平行：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.

（2）通過證明面面平行來得到線面平行：若兩個(gè)平面平行，那么一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都和另一個(gè)平面平行.

事實(shí)上無論是采用哪種證明途徑，不可繞過的一步就是一定要有線線平行，怎樣找這個(gè)平行線是實(shí)際解題中的一個(gè)難點(diǎn).

下面以2016年全國文科數(shù)學(xué)3卷第19題為例詳細(xì)說明：

例如圖3所示，四棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BA=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn).證明：MN∥平面PAB.

思路一通過證明線線平行來得到線面平行

分析1我們要將MN平移到平面PAB內(nèi)，首先要找到兩條導(dǎo)軌，讓M，N兩點(diǎn)分別沿著導(dǎo)軌滑動(dòng).在已有的直線中，點(diǎn)M在直線AD上，而AD又是與平面PAB相交的，所以可以讓點(diǎn)M沿AD移動(dòng)到平面PAB內(nèi)，下面就要找點(diǎn)N的導(dǎo)軌了.這里引導(dǎo)學(xué)生想象一下，當(dāng)MN移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N會(huì)在平面PBC上留下“痕跡”，讓學(xué)生試著把這個(gè)“痕跡”畫一畫，注意到點(diǎn)N是中點(diǎn)，大多數(shù)學(xué)生都會(huì)認(rèn)為這個(gè)“痕跡”就是△PBC的中位線TN，讓點(diǎn)N沿著TN移動(dòng)就行了.在這里鼓勵(lì)學(xué)生大膽假設(shè)，小心求證，有助于鍛煉他們的空間想象能力.

證明1作PB中點(diǎn)T，連接TN，TA.

由于點(diǎn)N是PC中點(diǎn)，所以TN∥BC，且TN=12BC=2.

由于AM=2MD，所以AM=2.

又AD∥BC，所以四邊形MNTA是平行四邊形，

所以MN∥TA.

又MN平面PAB，TA平面PAB，

所以MN∥平面PAB.

分析2另外，在已有的直線中，點(diǎn)N是在直線PC上，而PC也是與平面PAB相交的，可以讓點(diǎn)N沿PC移動(dòng)到平面PAB內(nèi)，下面就要找點(diǎn)M的導(dǎo)軌了.MN向“后”平移，尋找點(diǎn)M的“痕跡”對學(xué)生來說有些難度，這里可以建議學(xué)生反向思考，既然向“后”平移困難，不妨讓MN向“前”移動(dòng)，讓M，N都移到點(diǎn)C處，這時(shí)，點(diǎn)M在平面ABCD上留下“痕跡”就是MC了，那么如果向“后”移動(dòng)呢？自然就會(huì)在MC的延長線上，延長MC與BA延長線交于點(diǎn)T，連接PT，證明MN∥PT就行了.這里應(yīng)用“正難則反”的數(shù)學(xué)思想，使得“柳暗花明又一村”，突破了難點(diǎn).

證明2連接MC，并延長與BA延長線交于點(diǎn)T，連接PT（如圖4所示）.

在△TBC中，AM∥BC，且AM=12BC，所以AM是△TBC中位線，故點(diǎn)M是TC中點(diǎn).

又點(diǎn)N是PC中點(diǎn)，所以MN是△CPT中位線，

故MN∥PT.

因?yàn)镸N平面PAB，PT平面PAB，

所以MN∥平面PAB.

以上兩種解法都是充分利用題目已有的條件，讓點(diǎn)沿著與平面相交的直線平移，最終把直線平移到平面內(nèi)，平移后的直線就是我們要找的線線平行.證明1的兩條導(dǎo)軌是平行的，證明2的兩條導(dǎo)軌是相交的，這也是我們利用平行四邊形與三角形中位線來找平行的具體運(yùn)用.

思路二通過證明面面平行來得到線面平行

分析1如果想要構(gòu)造一個(gè)過MN平行于平面PAB的平面，一般情況下我們可以在現(xiàn)有的平面內(nèi)先構(gòu)造平行于平面PAB的一條直線，再來構(gòu)造平面.這里我們還是要盯緊點(diǎn)M，N，先以點(diǎn)N為例，我們可以過點(diǎn)N作平行于PB的直線交BC于Q，再連接QM就會(huì)有新平面MNQ，下面只需要證明它與平面PAB平行即可.

證明3過點(diǎn)N作平行于PB的直線交BC于Q，連接QM，如圖5所示，在△CPB中，CN=NP，QN∥PB，則QN為△CPB中位線，所以BQ=QC=2.

又AM=2，且AM∥BQ，

所以四邊形AMQB為平行四邊形，所以QM∥AB.

又因?yàn)镼N，QM平面QMN，且QN∩QM=Q，

所以平面QMN∥平面PAB.

又MN平面QMN，所以MN∥平面PAB.

分析2在這里我們是過點(diǎn)N作平行于PB的直線，有同學(xué)就提出疑問，還能作其他的平行線嗎？當(dāng)然可以，可以過點(diǎn)N作平行于PA的直線（如圖6所示）.事實(shí)上，我們可以在PA，PB，AB三條直線中找一條相對容易作的即可.

分析3同樣的道理，我們來過點(diǎn)M作平行線，PA，PB，AB三條直線中，PA，AB的平行線容易作出.

（1）過點(diǎn)M作平行于AB的直線，交BC于Q，連接QM（如圖7所示）；

（2）過點(diǎn)M作平行于PA的直線，交PD于Q，連接QM（如圖8所示）.

作到這里，善于思考的同學(xué)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)圖7與圖5是一模一樣的，為什么會(huì)這樣呢？其實(shí)從圖5到圖8，這幾個(gè)新作出平面本來就是同一個(gè)平面，只是外觀有所不同.這是因?yàn)檫^平面外的一條與已知平面平行的直線，有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.

在以上的各種證明過程中，問題的本質(zhì)還是要找線線平行，思路1是把直線平移到平面內(nèi)，思路2是把平面內(nèi)的直線平移出來.把直線平移進(jìn)去，除了一些較明顯的能利用平行四邊形與三角形中位線的情況外，其他的對學(xué)生的空間想象能力要求較高；把直線移出來相對簡單一些，一是因?yàn)楝F(xiàn)有的直線較多，選擇余地較大，另外是因?yàn)橐话阌鞋F(xiàn)成的平面作為平移的載體.在實(shí)際教學(xué)中，我們要讓學(xué)生從多個(gè)方面考慮問題，多參照生活中的實(shí)例來提升自己的空間想象能力.