橫看成嶺側(cè)成峰

陳榮爛

北宋詩(shī)人蘇軾在《題西林壁》中寫(xiě)道：“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同.不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中.”廬山是座丘壑縱橫、峰巒起伏的大山，游人所處的位置不同，看到的景物也各不相同.為什么不能辨認(rèn)廬山的真實(shí)面目呢？因?yàn)樯碓趶]山之中，視野為廬山的峰巒所局限，看到的只是廬山的一峰一嶺一丘一壑，局部而已，這必然帶有片面性.游山所見(jiàn)如此，觀察世上事物也常如此.

解析幾何解答題在江蘇高考中看似變化不大，在六道解答題中處于中部位置，有一定的計(jì)算量，考查內(nèi)容也基本穩(wěn)定，但從細(xì)節(jié)分析，還是有很大區(qū)別的.

一、歷年江蘇高考解析幾何解答題的情況分析

年份題號(hào)考查知識(shí)點(diǎn)求解內(nèi)容

2010年18直線(xiàn)、橢圓軌跡方程、點(diǎn)坐標(biāo)、定點(diǎn)坐標(biāo)

2011年18直線(xiàn)、橢圓直線(xiàn)斜率、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離、求證兩直線(xiàn)垂直

2012年19直線(xiàn)、橢圓橢圓方程、直線(xiàn)斜率、定值

2013年17直線(xiàn)、圓直線(xiàn)方程、圓心橫坐標(biāo)范圍

2014年17直線(xiàn)、橢圓橢圓方程、離心率

2015年18直線(xiàn)、橢圓橢圓方程、直線(xiàn)方程

2016年18直線(xiàn)、圓圓方程、直線(xiàn)方程、點(diǎn)的橫坐標(biāo)范圍

2017年17直線(xiàn)、橢圓橢圓方程、點(diǎn)坐標(biāo)

近幾年江蘇高考中解析幾何的解答題以考查直線(xiàn)和橢圓的居多，今年亦是如此.在求解時(shí)，會(huì)用到點(diǎn)到直線(xiàn)的關(guān)系、兩點(diǎn)之間的距離公式、兩直線(xiàn)的位置關(guān)系、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系、對(duì)稱(chēng)性等知識(shí)點(diǎn)，要求學(xué)生熟練掌握并能靈活應(yīng)用.

二、2017年江蘇高考數(shù)學(xué)試題17的解法

題目如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為12，兩準(zhǔn)線(xiàn)之間的距離為8.點(diǎn)P在橢圓E上，且位于第一象限，過(guò)點(diǎn)F1作直線(xiàn)PF1的垂線(xiàn)l1，過(guò)點(diǎn)F2作直線(xiàn)PF2的垂線(xiàn)l2.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線(xiàn)l1l2的交點(diǎn)Q在橢圓E上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（一）設(shè)點(diǎn)法

法1（1）x24+y23=1.

（2）由（1）知，F(xiàn)1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）.

設(shè)P（x0，y0）x0>0，y0>0.

當(dāng)x0=1時(shí)，l2與l1相交于F1，與題設(shè)不符.

當(dāng)x0≠1時(shí)，PF1的斜率為y0x0+1，PF2的斜率為y0x0-1，

因?yàn)閘1⊥PF1，l2⊥PF2，

從而l1：y=-x0+1y0（x+1），l2：y=-x0-1y0（x-1），

則Q-x0，x20-1y0，

而點(diǎn)Q在橢圓上，得x20-1y0=±y0，

即x20-y20=1或x20+y20=1，

由x20-y20=1，x204+y203=1， 得x0=477，y0=377；

x20+y20=1，x204+y203=1 無(wú)解.

故點(diǎn)P477，377.

（二）設(shè)線(xiàn)法

法2（2）設(shè)l1：y=k1（x+1），l2：y=k2（x-1），

則PF1：y=-1k1（x+1），PF2：y=-1k2（x-1），

聯(lián)立l1l2可得Qk2+k1k2-k1，2k1k2k2-k1，用-1k1代k1，用-1k2代k2，

可得Pk1+k2k1-k2，2k2-k1，

又因?yàn)镻，Q都在橢圓上，則xQ=-xP，

由橢圓對(duì)稱(chēng)性得2k1k2k2-k1=2k2-k1或2k1k2k2-k1=-2k2-k1，得k1k2=1或k1k2=-1（不可能），

將k2=1k1代入可得Pk21+1k21-1，2k11-k21，代入橢圓方程可得k21=23±879，

而點(diǎn)P在第一象限，則k21>1，∴k21=23+879，且k1<0，∴k1=-4+73，得P477，377.

（三）對(duì)稱(chēng)法

法3（2）設(shè)P（x0，y0），x0>0，y0>0.

當(dāng)0

當(dāng)x0=1時(shí)，PF2⊥x軸，此時(shí)直線(xiàn)l1與l2的交點(diǎn)為F1，點(diǎn)F1不在橢圓上，不合題意.

當(dāng)x0>1時(shí)，由橢圓對(duì)稱(chēng)性設(shè)Q（-x0，y0）.

1.利用兩直線(xiàn)垂直的斜率關(guān)系

思路1因?yàn)镼F1，則kQF1·kPF1=-y0x20-1=-1，

得x20-y20=1.

2.利用向量垂直

思路2因?yàn)镼F1⊥PF1，

所以QF1·PF1=（-1+x0）·（-1-x0）+y20=0，

得x20-y20=1.

3.利用勾股定理

思路3因?yàn)镼F1，所以QF21+PF21=PQ2，

可得x20-y20=1，

然后與法1相同，得點(diǎn)P477，377.

三、教學(xué)建議

（一）在解析幾何教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法

在上述的解法中，運(yùn)用了分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想，因此，在平時(shí)的解析幾何教學(xué)中，要多注重滲透這些數(shù)學(xué)思想方法.一方面，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度；另一方面，也能讓學(xué)生拓寬思路，在高考中不至于手忙腳亂，而是胸有成竹.

（二）從記中學(xué)向做中學(xué)和悟中學(xué)轉(zhuǎn)變

數(shù)學(xué)思想方法是方法性知識(shí)，需要在做中學(xué)獲得，解決的是會(huì)學(xué)的問(wèn)題.悟中學(xué)獲得價(jià)值性知識(shí)，解決的是樂(lè)學(xué)的問(wèn)題.而記中學(xué)獲得事實(shí)性知識(shí)，解決的是學(xué)會(huì)的問(wèn)題.為此，需要厘清對(duì)于記中學(xué)和講授法的誤解和誤用，更新知識(shí)觀念，轉(zhuǎn)變教學(xué)方式，優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，逐步形成做中學(xué)和悟中學(xué)的教學(xué)模型.做中學(xué)與悟中學(xué)，既是學(xué)生獲得方法性知識(shí)和價(jià)值性知識(shí)的主要學(xué)習(xí)方式，也是需要不斷培養(yǎng)的重要學(xué)習(xí)習(xí)慣和能力.

四、結(jié)束語(yǔ)

解析幾何解答題在江蘇高考中一般出現(xiàn)在17、18題的位置，是考生得分的關(guān)鍵所在，在得分上容易拉開(kāi)差距，在答題時(shí)間上也能拉開(kāi)距離.如果平時(shí)在課堂上多注重對(duì)學(xué)生解答解析幾何試題的關(guān)注度，對(duì)在這部分內(nèi)容上提高總體得分，會(huì)有更大收獲，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生良好的運(yùn)算能力和學(xué)習(xí)習(xí)慣，會(huì)起到至關(guān)重要的作用.