反例教學在數(shù)學學習中的作用評析

蔡振樹

【摘要】反例教學在數(shù)學學習過程中可以起到強化概念理解、鞏固新知、辨析真?zhèn)?、尋因糾果等作用，對教與學具有積極的意義，是教學環(huán)節(jié)提升有效性的有力載體.

【關(guān)鍵詞】反例教學；數(shù)學學習；作用評析

【基金項目】本文是福建省教育科學規(guī)劃“十三五”規(guī)劃2016年立項課題《高中數(shù)學作業(yè)校本化的實踐研究》（立項編號FJJKXB16-192）的研究成果之一.

數(shù)學中要判斷一個命題是正確的，必須經(jīng)過嚴格的證明，而說明一個命題是錯誤的，只需舉出一個與結(jié)論相矛盾的例子就行了.如要否定命題“y=f（x）和y=g（x）都是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，那么y=f（x）·g（x）也是（-∞，+∞）上的增函數(shù)”，只需舉出反例：“y=x與y=x均是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，然而y=x·x=x2就不是（-∞，+∞）的增函數(shù).”這種與命題相矛盾的例子在數(shù)學上稱為反例.下面筆者根據(jù)多年來的教學實踐就反例在數(shù)學教學中的作用探討見解.

一、反例教學可強化對概念的理解

數(shù)學概念教學，需要不斷地強化對概念的理解，正確的例子當然有助于理解概念，但要更深刻領(lǐng)會概念本質(zhì)，反例教學是有益加強理解的.

例如，關(guān)于函數(shù)的概念，許多學生往往片面地認為：“一個變量隨著另一個變量的變化而變化，它們之間的關(guān)系就是函數(shù)關(guān)系.”為了幫助學生糾正這種錯誤，可向?qū)W生提出兩個問題：“考試成績與學習時間成函數(shù)關(guān)系嗎？”“如果y=sec2x-tan2x”，y是x的函數(shù)嗎？其結(jié)果有不少學生會為第一問題的y是x的函數(shù).通過討論，不難發(fā)現(xiàn)，學習時間雖與考試成績有關(guān)，但不能確定考試成績，即當自變量（學習時間）發(fā)生變化時，考試成績沒有完全確定的值和它對應，因此，不符合函數(shù)的定義，考試成績與學習不能構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，而在y=sec2x-tan2x中，對每一給定的x值，y隨x而總有唯一確定的值和它對應，因而，y是x的函數(shù)，只不過當x變化時，y的值始終不變，由此使學生認識到y(tǒng)是x的函數(shù)，并不一定要y隨x的變化而變化.

通過上面的兩個反例，學生會自覺地體會到，對變量x的每一個確定的值，變量y有唯一確定的值和它對應，這才是函數(shù)的本質(zhì)，從而就不會產(chǎn)生以上片面的認識了.

二、反例教學有助于學生鞏固新知

定理、公式和法則的學習，條件的適用范圍是關(guān)鍵的，往往學生會忽視，通過適當舉些反例能幫助學生更好地掌握所學的定理、公式和法則.

例如，函數(shù)y=f（x）在什么條件下，才有反函數(shù)？學生往往記?。骸爱斍覂H當y=f（x）是單調(diào)函數(shù)時，才有反函數(shù).”其實不是這樣的，如舉反例：

函數(shù)y=f（x）=1，當x=1，0，當x=2，3，當x=3，

此函數(shù)圖像是三個點：

它顯然不是單調(diào)函數(shù)，但它有反函數(shù)

y=f-1（x）=1，當x=1，

2，當x=0，

3，當x=3，

所以應改為“當且僅當y=f（x）是定義域到值域的一一映射時，y=f（x）有反函數(shù).”

如此舉反例講解，使學生更明白函數(shù)y=f（x）存在有反函數(shù)的充要條件.

又如，三垂線定理及逆定理，學生往往只記住：

“若影垂，則斜垂，反之，若斜垂，則影垂，”而常常平面內(nèi)的一條直線中“內(nèi)”的特定條件，

教學中可舉出如下反例：

在正方體ABCD-A′B′C′D′中，∵A′B∥CD′，CD′⊥C′D，∴DC′⊥A′B，又A′B是A′B在平面A′B′C′D′內(nèi)的射影，故C′D⊥A′B.

事實上，AB′⊥C′D，∠DC′D′=45°，即C′D與A′B′所成的角為45°，并不垂直，造成上述錯誤的原因是忽視了“C′D并不在平面A′B′C′D′內(nèi)”用這個反例強調(diào)定理中“內(nèi)”字條件的重要性，學生的體驗尤為深刻.

又例如，要說明結(jié)論“y=sinx在第一象限為增函數(shù)”是錯誤的，可引導學生舉出反例，也就是角x越大，函數(shù)值sinx不一定隨之越大，如反例：取60°，330°均是第一象限角且60°<330°，但sin60°>sin330°，即32>12.這樣，學生容易理解、認識，命題“y=sinx在區(qū)間2kπ-π2，2kπ+π2，k∈Z上是增函數(shù)”是正確的.也用同樣反例說明“y=cosx在第一象限為減函數(shù)，y=tanx在第一象限為增函數(shù)”都是假命題.

三、反例教學可以辨析結(jié)論的真?zhèn)?/p>

在數(shù)學教學中，類比、推廣等方法的結(jié)論，有些不一定完全正確，反例可以幫助否定這些謬論.

例如，有學生把“圓柱過兩條母線的截面中以軸截面面積為最大”的結(jié)論類推到圓錐，誤認為：“圓錐過兩條母線的截面中，也以軸截面的面積為最大？”事實上，如一個錐頂角為120°，母線長為1的圓錐，易知S軸=12×1×1×sin120°=34，作一個頂角為90°的截面，此時S軸=12×1×1×sin90°=12，顯然12>34.由此可見，當錐頂角大于90°時，并非以軸截面面積為最大.

又如，有學生把實數(shù)集上的運算律“（a·b）·c=（b·c）·a”已成立，把它盲目地類比到向量集合中，誤認為“（a·b）·c=（b·c）·a”也成立，為了否定這一謬論，教師可引導學生舉出如下反例：在空間向量中，已知|a|=|b|=|c|=2，且〈a·b〉=〈b·c〉=〈c·a〉=π3.那么左邊=（|a|·|b|cos〈a·b〉）c=2c，右邊=（|b|·|c|cos〈b·c〉）a=2a.

顯然2c≠2a，即左邊≠右邊.這種反例有時比正面講解，印象更為深刻.

四、反例教學可以引導學生尋因糾果

面對一個數(shù)學問題的解答，通過反例可引導學生尋求錯因并糾正錯誤，這也是幫助學生更好掌握解題方法的有力武器.

例如，若方程x2+（k-3）x+6-k=0的兩個根都比2大，求實數(shù)k的取值范圍.

解首先Δ≥0（k-3）2-4（6-k）≥0k≥5或k≤3，①

其次x1>2，x2>2x1+x2>4，x1x2>43-k>4，6-k>4.②

由①②得：k≤-3.

反例：如取k=-4≤-3，則此時方程x2-7x+10=0，已知一個根為2，與題意不符，故上述解答是錯誤的.

事實上x1>2，x2>2，與x1+x2>4，x1x2>4.

并不等價，后者僅是前者的必要條件，并非充分條件，其錯因是將必要條件當作充要條件.

正確解法是：x1>2，x2>2x1-2>0，x2-2>0

（x1-2）+（x2-2）>0，（x1-2）（x2-2）>0x1+x2-4>0，x1x2-2（x1+x2）+4>0，

又由于Δ≥0聯(lián)合得-4

又如，求證“四面體中的四個面的三角形，至多只有三個是直角三角形”是假命題.

欲證某命題是假命題，只需舉一反例：如圖所示的四面體ABCD中，已知AB⊥底面BCD，且∠BCD=90°，根據(jù)三垂線定理得AC⊥CD，從而可得四個角∠ABC=∠ABD=∠BCD=∠ACD=90°，所以原命題是假命題.

總之，反例因其具有直觀、明顯、說服力強等突出特點，決定了它在數(shù)學教學中起著不可替代的作用，是教與學的有效工具，能為學習找到更清晰的路徑和載體.