Black—Scholes偏微分方程的求解與應(yīng)用

郭連紅

【摘要】本文用偏微分方程理論研究了Black-Scholes方程的求解問題.利用案例驗證了所求解的結(jié)果.

【關(guān)鍵詞】偏微分方程；Black-Scholes方程

一、引言

在金融市場中，經(jīng)典Black-Scholes微分方程是基于標的資產(chǎn)不支付紅利的假設(shè)下，標的資產(chǎn)的衍生性商品價格所滿足的偏微分方程，即

Vt+12σ2S22Vs2+rSVs-rV=0，（1.1）

其中，r表示無風(fēng)險利率，S為股票的價格（0≤S

方程（1.1）是刻畫期權(quán)價格變化的偏微分方程，實際應(yīng)用時，為確定在合約有效期[0，T]內(nèi)期權(quán)的價值，本文在區(qū)域0≤t≤T，0≤S

Vt+12σ2S22Vs2+rSVs-rV=0，V|t=T=max（S-K；0）.（1.2）

從而得到歐式買入期權(quán)價格的B-S公式.

設(shè)V（s，t）為股價s在時間t的價格，B-S方程的兩個邊界條件：

V（0，t）=0，V（s，t）=max（S-K；0）.（1.3）

令S=Kex，t=2T-tσ2，V=KC（x，τ），其中K表示選擇權(quán)到期時標的物品的履約價格.

定解問題（1.2）轉(zhuǎn)化為常系數(shù)拋物方程的Cauchy問題：

Ct+122Cx2+（l-1）Cs+lC=0（-∞

l=2lσ2.

（1.4）

引理1.1[1]熱傳導(dǎo)方程的Cauchy問題有形式解：

u（x，0）=∫RNΦ（x-y，t）g（y）dy，x∈RN，t>0，

其中，Φ（x，t）=14πtN2e-|x|24t，x∈RN，t>0；0，x∈RN，t<0 為熱傳導(dǎo)方程的基本解，證明見文獻[1].

二、主要結(jié)論與證明

本文用偏微分方程理論得到如下定理.

定理2.1偏微分方程（1.4）在t∈（0，t）上有唯一解：

C（s，t）=SN（d1）-Ke-r（T-t）N（d2），

其中，d1=lnSK+r+σ22（T-t）σT-t，

d2=lnSK+r-σ22（T-t）σT-t.

證明做函數(shù)變換，令v（x，τ）=eαx+β（τ）u（x，t），α，β為待定系數(shù)，則

vτ=eαx+β（τ）u（x，t）u（x，τ）β+uτ，（2.1）

vx=eαx+β（τ）u（x，t）u（x，τ）α+ux，（2.2）

2vx2=eαx+β（τ）u（x，t）u（x，τ）α2+2αux+2ux2，（2.3）

其中，α=1-l2，β=-（l+1）24.

以上三式代入方程（1.4），化為熱傳導(dǎo)方程的Cauchy問題：

uτ-u2x2=0（-∞0），u（x，0）=max（e（l+1）x2-e（l-1）x2，0）=u0（x）.（2.4）

由引理1（N=1），偏微分方程（2.4）的解可用Possion公式表示為

u（x，τ）=12πτ∫+∞-∞u0（x）e-（x-s）24τds.（2.5）

做變換ξ=x-s2τ，以及初值代入式（2.5）得

u（x，τ）

=12π∫+∞-s2τe（l+1）（ξ2τ+s）2e-ξ22dξ-12π∫+∞-s2τe（l-1）（ξ2τ+s）2e-ξ22dξ

=e（l+1）x2+（l+1）2τ4N（d1）-e（l-1）x2+（l-1）2τ4N（d2），（2.6）

其中d1=x2τ+（l+1）2τ2，d2=x2τ+（l-1）2τ2， N（d）=12π∫d-∞e-x22ds為標準正態(tài)分布函數(shù).

將式（2.6）代入v（x，τ）=eαx+β（τ）u（x，t），則

v（x，τ）=eαx+β（τ）u（x，t）=e-（l-1）x2-（l+1）2τ4u（x，τ）=exN（d1）-elτN（d2）.（2.7）

再由C=kv（x，τ），τ=σ2（T-t）2，x=lnSk，代入式（27）得C（x，τ）=eαx+β（τ）u（x，t）=kexN（d1）-kelτN（d2）=SN（d1）-ke-r（T-t）N（d2），（2.8）

其中d1=lnSk+r+σ22（T-t）σT-t，d2=lnSk+r-σ22（T-t）σT-t=d1-σT-t.（2.9）

三、案例分析

定理2.1中方程（1.4）的解即為不支付紅利股票期權(quán)在到期日T執(zhí)行價格K的歐式看漲期權(quán)價格公式.這為金融工作者提供了計算期權(quán)價值的理論依據(jù).在具體應(yīng)用時所需要的參數(shù)有：股票價格的波動率、無風(fēng)險利率、距離到期的時間、行權(quán)價格和股票價格.這些參數(shù)中，后三個容易獲取確定數(shù)值，前兩個需一定計算得到其估值.

例工商銀行（601398.CH）2013年10月8日市價為384元，無風(fēng)險利率為6%，年波動率為15%，求工商銀行行權(quán)價位3.6元，期限為半年的歐式認購期權(quán)與認沽期權(quán)價格.其中期限內(nèi)不支付紅利.

解S=3.84，k=3.6，τ=0.15，T=0.5，代入式（29）得d1=0.9444，d2=0.8383.

查標準正態(tài)分布表得

N（d1）=N（0.9444）≈0.8275，

N（d2）=N（0.8383）≈0.7991，

N（-d1）=1-N（d1）=0.1725，

N（-d2）=N（d2）=0.2009.

依據(jù)定理2.1，得工商銀行股票歐式認購期權(quán)價格：

C=3.84×0.8725-3.6e-0.06×0.5×0.7991=0.386.

工商銀行股票歐式認沽期權(quán)價格：

C=3.6e-0.06×0.5×0.2009-3.84×0.8725=0.0396.

上例表明，理論上該期權(quán)的合理價格是0.386元，如果該期權(quán)市場實際價格低于0.386元，那么意味著該期權(quán)被低估，在沒有交易成本條件下，購買該看漲期權(quán)是有利可圖的.通過代入B-S公式能夠得到看漲期權(quán)價格，B-S模型的優(yōu)點是模型中的變量除了波動率外，其他都可以直接得到，而且期權(quán)價格不依賴于投資者的風(fēng)險偏好.因此，波動率的取值是關(guān)鍵，取值不同，得出的價格會有比較大的出入.B-S模型是最受歡迎的模型，是很多其他模型的基礎(chǔ).投資者應(yīng)用的時候只需要考慮5個可觀察的變量，但缺點是只能計算歐式期權(quán)，而且無法計算分派股息的期權(quán).

【參考文獻】

[1]L C Evans.Partial Differential Equations，Graduate Studies in Mathematics[J].American Mathematics Society，2002（1-2）：55-82.

[2]F Black，M S Scholes.The Pricing of Options and Corporate Liabilities[J].Journal of Political Economy，1973（3）：637-654.

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[4]任智格，何朗，黃樟燦.一種無風(fēng)險利率時變條件下的Black-Scholes期權(quán)定價模型[J].數(shù)學(xué)雜志，2015（1）：203-206.

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