緯編針織物幾何建模及其算法

汝 欣， 彭來湖， 呂明來, 史偉民， 胡旭東

(1. 浙江理工大學(xué) 浙江省現(xiàn)代紡織裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 浙江 杭州 310018；2. 杭州旭仁紡織機(jī)械有限公司， 浙江 杭州 310018)

隨著緯編技術(shù)的發(fā)展，緯編針織物在各行各業(yè)中的應(yīng)用逐漸增多，從傳統(tǒng)的服襪發(fā)展到鞋類、醫(yī)療用品、復(fù)合材料等領(lǐng)域。由于針織物結(jié)構(gòu)、紗線配置變化復(fù)雜多樣，緯編針織物的成型、性能研究一直是針織領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問題。建立合理的緯編針織物幾何模型是對緯編針織物進(jìn)行深入研究的基礎(chǔ)。

目前針織物建模中采用最多的紗線模型為圓柱體模型。然而由于紗線一般為粗糙表面，并且具有一定的捻度和彈性，若用光滑的圓柱面代替，諸如紗線視覺、力學(xué)特性如光澤、摩擦、彈性等無法真實(shí)再現(xiàn)。如何使織物模型更貼近真實(shí)，很多學(xué)者對此進(jìn)行了研究。有研究使用特殊截面旋轉(zhuǎn)模擬紗線加捻效果，如對紗線截面增加凹凸擾動[1]，采用鋸齒形截面[2]，使用多紗線截面形成股線效果[3]。為追求真實(shí)的視覺效果，一些學(xué)者通過渲染方法如設(shè)置織物材料、光照來模擬紗線[4-5]。

目前國內(nèi)外對針織物建立幾何模型主要有分段函數(shù)模型、樣條曲線模型2種。分段函數(shù)模型中，早期比較有代表性的是Peirce提出的用分段函數(shù)表示線圈模型[6]。Pierce線圈模型是比較經(jīng)典的幾何模型，該模型使用半圓環(huán)表示針編弧、沉降弧，使用圓柱表示圈柱。雖然Pierce模型過于理想化，模型形態(tài)與實(shí)際織物有一定差距，但仍為后來的研究提供了理論基礎(chǔ)。為更好地描述線圈結(jié)構(gòu)，很多學(xué)者在Peirce基礎(chǔ)上提出了改進(jìn)模型[7-10]。Leaf和Glaskin模型由4個互相對稱的空間圓弧連接而成[11]，考慮了彎紗成圈時紗線的扭曲情況，該模型更貼近真實(shí)的線圈。Kurbak建立了如雙反面、集圈、提花、間隔等眾多緯編針織物模型[12-14]，所建立的模型更加精細(xì)，更貼近真實(shí)織物形態(tài)。分段函數(shù)法建立的模型比較直觀，但是為了貼近織物真實(shí)形態(tài)，分段函數(shù)往往比較復(fù)雜，而且變形控制比較復(fù)雜，不能很好地適應(yīng)織物變形的需求。利用非均勻有理B樣條(NURBS)建立針織物模型的方法主要是根據(jù)織物的控制點(diǎn)或型值點(diǎn)構(gòu)建曲線方程[15-16]。樣條曲線法建立的模型比較精準(zhǔn)靈活，更易貼近織物實(shí)際形態(tài)，特別是樣條曲線的形式更適于曲線形態(tài)控制。隨著計算技術(shù)的發(fā)展，曾經(jīng)計算復(fù)雜的NURBS曲線已擺脫計算機(jī)性能的約束，在越來越多的研究中得到應(yīng)用。目前樣條曲線法建模多采用測量實(shí)際織物獲取型值點(diǎn)的方法，所建立的織物幾何模型已經(jīng)比較貼近真實(shí)織物形態(tài)。然而緯編針織物多采用加捻紗線編織，目前建模過程中多采用圓柱體或特殊表面柱體的紗線模型，沒有從紗線根本結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模，無法滿足進(jìn)一步研究的需求。

本文提出一種采用加捻紗線的緯編針織物幾何模型，從加捻紗線模型、紗線中心線幾何形態(tài)2個維度描述緯編針織物幾何形態(tài)，并提出相應(yīng)建模算法，以期為針織物的仿真、性能分析的進(jìn)一步研究建立基礎(chǔ)。

1 紗線模型

1.1 加捻紗線幾何模型

紗線的結(jié)構(gòu)是決定紗線內(nèi)在性質(zhì)和外觀特征的主要因素[17]。加捻是使紗線具有一定的強(qiáng)伸性和穩(wěn)定外觀形態(tài)的必要手段。加捻紗線的形態(tài)主要由紗線中纖維類別、紗線捻度、紗線號數(shù)、紗線捻向等因素決定。圖1示出圓型截面纖維在紗線中的排列狀態(tài)。紗線中圓型纖維分層排列，由1根纖維構(gòu)成第1層，6根纖維構(gòu)成第2層，12根纖維構(gòu)成第3層[18]。圖中P2為第2層纖維起始點(diǎn)，α2為P2與原點(diǎn)連線與x軸的夾角。該模型可根據(jù)各紗線實(shí)際情況模擬多層纖維加捻的情形，則每層纖維數(shù)

式中：i為纖維從內(nèi)至外的層數(shù)；ni為第i層纖維根數(shù)。紗線中纖維加捻的螺旋結(jié)構(gòu)及其展開圖如圖2所示。建立右手坐標(biāo)系，z軸與紗線中心線重合，外面2層紗線圍繞中心線螺旋，θi為第i層的捻回角，rad。則具有i層纖維的加捻紗線半徑

ryi=(2i-1)r

式中：r纖維半徑，mm。第i層纖維圍繞中心線螺旋的螺旋半徑為

ri=2r(i-1)

式中：i≥2。

圖1 紗線截面Fig.1 Cross section of twisted yarn

圖2 紗線中的纖維的螺旋結(jié)構(gòu)和展開面Fig.2 Helical-structure (a) and unfolded surface (b) of fiber in twisted yarn

設(shè)紗線中心線為用參數(shù)表示的空間曲線，紗線中心線方程為

Q(u)=x(u)i+y(u)j+z(u)k

式中：i、j、k為坐標(biāo)向量。其中纖維層數(shù)i=1時，

式中：u∈[0,1]，l為中心線長度，mm。

當(dāng)i>1時，第i層第j根纖維的中心線方程為：

1.2 中心線為任意曲線的加捻紗線幾何模型

由于紗線在針織物中彎曲成圈，線圈互相串套連接，不同針織物組織中紗線彎曲形態(tài)各異，因此要建立中心線為任意曲線的加捻紗線模型。由于模型最終在世界坐標(biāo)系中進(jìn)行表達(dá)，而在世界坐標(biāo)系中直接給出任意曲線加捻紗線的公式比較困難，本文通過紗線的幾何變換、坐標(biāo)系變換構(gòu)建世界坐標(biāo)系下的紗線模型。

圖3 加捻紗線模型坐標(biāo)系Fig.3 Coordinate system of twisted yarn

為保證各采樣點(diǎn)處所建立的一系列局部坐標(biāo)平滑變化，本文采取最小旋轉(zhuǎn)標(biāo)架作為采樣點(diǎn)的局部坐標(biāo)系，該標(biāo)架不隨曲線的瞬時切線方向變化而旋轉(zhuǎn)。記U(u)為樣條曲線Q(u)的最小旋轉(zhuǎn)標(biāo)架。

U(u)=(r(u),s(u),t(u))

式中：r(u)、s(u)、t(u)為最小旋轉(zhuǎn)標(biāo)架向量。設(shè)單參數(shù)族單元向量f(u)與t(u)垂直，對于f(u)存在1個?(u),使得以下方程有解。若以下方程有解則稱存在最小旋轉(zhuǎn)及最小旋轉(zhuǎn)向量。

f(u)=(f1(u),f2(u),f3(u))T,第1個等式約束f(u)的變化向量與切向量平型，第2個等式約束2個向量正交。本文采用雙射法求最小旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)[19]。

則根據(jù)任意中心線計算加捻紗線模型的算法如下。

輸入：任意曲線中心線。

輸出：任意曲線的加捻紗線模型。

步驟1：建立絕對坐標(biāo)系。

步驟2：確立任意曲線的采樣的點(diǎn)數(shù)。

步驟3：確立任意曲線的各采樣點(diǎn)。

步驟4：確立一采樣點(diǎn)處的局部坐標(biāo)系

步驟5：計算與曲線采樣點(diǎn)處弧長相同的原直線紗線模型界面上各纖維中心線對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)。

步驟6：將直線模型中各纖維中心線對應(yīng)點(diǎn)變換到局部坐標(biāo)系中。

步驟7：將局部坐標(biāo)系中各點(diǎn)坐標(biāo)變換到絕對坐標(biāo)系中。

步驟8：重復(fù)步驟4～7,直至所有采樣點(diǎn)的變換都完成。

步驟9：返回任意曲線的加捻紗線模型。

2 基于NURBS的結(jié)構(gòu)單元模型

2.1 紗線中心線幾何形態(tài)數(shù)學(xué)描述

緯編針織物是由紗線沿緯向墊放在織針上與相鄰橫列紗線互相嵌套形成線圈，因此可將緯編針織物中紗線幾何形態(tài)看作一種空間曲線。

NURBS是一種廣泛應(yīng)用于曲線設(shè)計與造型的參數(shù)曲線，提供了包括Bezier、有理 Bezier、均勻B樣條等多種曲線的統(tǒng)一表達(dá)式，并且能夠精確表達(dá)圓錐曲線。曲線形態(tài)由控制點(diǎn)控制，權(quán)因子可調(diào)整控制點(diǎn)對曲線的控制作用，靈活簡便，擬合準(zhǔn)確。

一條k次NURBS曲線可表示為一分段有理多項(xiàng)式矢函數(shù)，如下式所示

式中：ωi是權(quán)因子，Pi為控制頂點(diǎn)，Ni,k(u)是由節(jié)點(diǎn)矢量U=[u0,u1,…,un+k+1]決定的k次規(guī)范B樣條基函數(shù)。

由于構(gòu)建NURBS曲線必須知道曲線的控制點(diǎn)，根據(jù)上述結(jié)構(gòu)單元曲線上的型值點(diǎn)Qk反算出曲線的控制頂點(diǎn)Pi(i=0,1,…,n+k-1)。再由控制頂點(diǎn)構(gòu)造非均勻有理B樣條曲線。通過確定節(jié)點(diǎn)矢量，控制頂點(diǎn)權(quán)因子，控制頂點(diǎn)和補(bǔ)充的相應(yīng)邊界條件，建立線圈單元模型。

本文線圈模型采用三次NURBS曲線，節(jié)點(diǎn)向量首末取4重重節(jié)點(diǎn)，采取累積弦長參數(shù)化法[21]求解節(jié)點(diǎn)，該方法可反映數(shù)據(jù)點(diǎn)按弦長的分布情況，則節(jié)點(diǎn)矢量U為:

式中：i=1,2,…,8；Δpi=pi-1-pi。對數(shù)據(jù)點(diǎn)作規(guī)范化處理，并將規(guī)范化后的參數(shù)序列與其相對應(yīng)的矢量數(shù)據(jù)點(diǎn)帶入三次NURBS的數(shù)學(xué)函數(shù)，同時滿足插值數(shù)據(jù)點(diǎn)與樣條曲線首末端點(diǎn)與型值點(diǎn)重合的條件，聯(lián)合各方程，即可求出樣條曲線控制點(diǎn)。

2.2 線圈結(jié)構(gòu)單元中心線幾何模型

雖然緯編針織物花色種類繁多，但無論什么種類或多么復(fù)雜的織物都始終遵循紗線橫向墊紗、互相串套的基本工藝特征。緯編針織物3種基本結(jié)構(gòu)為成圈、集圈、浮線[20]。復(fù)雜織物大多都是在這些基本結(jié)構(gòu)上變化、組合而成。

成圈結(jié)構(gòu)對應(yīng)的結(jié)構(gòu)單元為線圈。線圈是組成針織物的基本結(jié)構(gòu)單元，其幾何形態(tài)呈三維彎曲。集圈過程由于編織中織針退圈不足形成懸弧。由于針織物的互相嵌套關(guān)系，集圈工藝最終呈現(xiàn)的結(jié)構(gòu)為線圈和懸弧單元的組合。浮線過程由于織針未參加編織，針鉤上的舊線圈需要到下一次參加編織時才能成圈，當(dāng)前針呈現(xiàn)出紗線水平浮線。要對緯編針織物進(jìn)行建模，首先要對這線圈、懸弧、浮線3類結(jié)構(gòu)單元進(jìn)行建模。

由于針織物受到編織設(shè)備、編織工藝、紗線性質(zhì)等諸多因素影響，同一種組織結(jié)構(gòu)在不同織物中呈現(xiàn)的形狀也略有不同。文本采取NURBS曲線對針織物結(jié)構(gòu)單元幾何形態(tài)進(jìn)行描述，對結(jié)構(gòu)單元的特征點(diǎn)進(jìn)行取樣，以此特征點(diǎn)作為曲線型值點(diǎn)，反算NURBS曲線控制點(diǎn)，構(gòu)造曲線方程。對于不同織物中結(jié)構(gòu)單元形態(tài)的差異，可以通過調(diào)整型值點(diǎn)的位置來控制曲線形狀。

線圈單元由于相鄰線圈的嵌套作用，沉降弧、針編弧成圓弧狀，圈柱向中間收攏，線圈為對稱圖形，線圈的基本形狀如圖4所示。根據(jù)線圈形狀，模型共選取13個型值點(diǎn)，分為記為Qi(xi,yi,zi),i=0,1,…,12。各特征點(diǎn)如下：線圈的起始和終點(diǎn)各選取1個特征點(diǎn)(Q0，Q12)，即為沉降弧的端點(diǎn)；沉降弧與圈柱連接處兩側(cè)分別選取2個特征點(diǎn)(Q1，Q2，Q10，Q11)；兩側(cè)圈柱上選1個特征點(diǎn)(Q3，Q9)；針編弧與圈柱連接處兩側(cè)分別選取2個特征點(diǎn)(Q4，Q5，Q7，Q8)；針編弧最高點(diǎn)選取1個特征點(diǎn)(Q6)。

圖4 線圈單元示意圖Fig.4 Knit unit diagram

懸弧單元由于沒有上一線圈的約束，圈柱向兩側(cè)擴(kuò)張。懸弧單元的基本形狀如圖5所示。特征點(diǎn)的選取方式同線圈單元。建模時懸弧單元最高點(diǎn)略低于線圈最高點(diǎn)，在厚度方向上，拉長的線圈在前，懸弧在后。

圖5 懸弧單元示意圖Fig.5 Tuck unit diagram

浮線單元是以水平浮線狀連接相鄰的線圈。浮線單元示意圖如圖6所示。浮線單元只需選取起點(diǎn)、終點(diǎn)為特征點(diǎn)即可。浮線處于被拉長的線圈后面。

圖6 浮線單元示意圖Fig.6 Float unit diagram

3 織物幾何模型

建立緯編針織物模型，首先根據(jù)結(jié)構(gòu)意匠圖及結(jié)構(gòu)單元模型建立織物中心線模型，再依據(jù)中心線及紗線模型構(gòu)建最終模型，具體算法如下。

輸入：織物結(jié)構(gòu)意匠圖。

輸出：采用加捻紗線的緯編針織物模型。

步驟1：輸入結(jié)構(gòu)意匠圖。

步驟2：根據(jù)結(jié)構(gòu)意匠圖分析各結(jié)構(gòu)單元尺寸、位置。

步驟3：根據(jù)分析結(jié)果計算織物上各型值點(diǎn)坐標(biāo)。

步驟4：根據(jù)累積弦長法反算NURBS曲線控制點(diǎn)。

步驟5：根據(jù)控制點(diǎn)計算NURBS方程。

步驟6：計算中心線各點(diǎn)坐標(biāo)。

步驟7：計算加捻紗線織物各點(diǎn)坐標(biāo)。

步驟8：輸出采用加捻紗線的緯編針織物模型。

本文使用MatLab建立采用加捻紗線的緯編針織物幾何模型，所使用的相關(guān)參數(shù)如表1、2所示。

表1 紗線參數(shù)Tab.1 Parameters of yarn

表2 織物參數(shù)Tab.2 Parameters of fabric mm

整個建模過程如圖7所示。圖中：“×”表示成圈；“?”表示集圈；“□”表示浮線。

圖7 緯編針織物建模過程Fig.8 Modelling process of weft knitted fabric. (a) Structure notation; (b)Central line diagram; (c) Twisted yarn diagram; (d)Render diagram

4 結(jié)束語

本文采用3層纖維加捻紗線結(jié)構(gòu)，使用NURBS曲線構(gòu)建3種緯編針織物結(jié)構(gòu)單元，結(jié)合織物結(jié)構(gòu)意匠圖，構(gòu)建采用加捻紗線的緯編針織物幾何結(jié)構(gòu)模型。此模型可應(yīng)用于緯編針織物仿真及性能研究。與現(xiàn)有模型相比，采用加捻紗線模型所構(gòu)建的緯編針織物模型更加精細(xì)，外形上更加逼真，結(jié)構(gòu)上更加貼近實(shí)際真實(shí)織物。雖然采用多層纖維結(jié)構(gòu)建模計算量較大，但是計算機(jī)性能不斷進(jìn)步，算法不斷提高，該模型更適用于對針織物變形等的進(jìn)一步研究。