為什么正弦交流電的產(chǎn)生與線框形狀、轉(zhuǎn)軸無關(guān)

楊文皓

(成都市實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校(西區(qū))高2016級1班 610213)

從課本的推導(dǎo)談起，在選修3-2教科版P33有關(guān)于矩形線框正弦交流電產(chǎn)生的推導(dǎo)，筆者對此作了參考：

圖1

如圖1所示，將手搖發(fā)電機(jī)磁極間的磁場視為磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，方向水平向右；線圈簡化為單匝矩形線框abcd，線框邊長分別為ab=L1，bc=L2.設(shè)線框abcd繞水平的中心軸OO′沿逆時針以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動，線框中將產(chǎn)生怎樣的感應(yīng)電動勢？

在線框勻速轉(zhuǎn)動的過程中，ab邊和cd邊要切割磁感線而產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，由于這兩邊的運(yùn)動速度始終是大小相等而方向相反，所以兩邊產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢大小相等.回路abcd中總的感應(yīng)電動勢e=2eab.現(xiàn)在我們研究ab邊切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢.

圖2

如圖2所示，經(jīng)過時間t，ab邊繞軸OO′轉(zhuǎn)過的角度θ=ωt，此時v的方向如圖所示，v與磁場方向垂直的分量v2=vsinθ=vsinωt.根據(jù)電磁感應(yīng)定律，在ab邊產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢的大小eab=BL1vsinωt而v=ω·L2/2

由此可得e=2eab=BL1L2ωsinωt

取任意位置初相為φ0，則e=BSωsin(ωt+φ0)由此表達(dá)式可看出，矩形線框正弦交流電的感應(yīng)電動勢e只與線框的大小(面積)有關(guān)，與線框的形狀、轉(zhuǎn)軸無關(guān).

圖3

拓展1 仍然采用矩形線框，若改變轉(zhuǎn)軸的位置，相當(dāng)于改變了切割的形狀，那么是否還會產(chǎn)生同樣的正弦交流電呢？如圖3.

(其中虛線為轉(zhuǎn)軸)取對角線為轉(zhuǎn)軸(轉(zhuǎn)軸對角線垂直于磁場)由于是對稱結(jié)構(gòu)，則此時兩邊產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢大小相等，選取線框一半(一個三角形)分析：

通過微元法的思想，把三角形分成無數(shù)個極小的小矩形，分析每個小矩形的切割情況，再將所求每個部分的電動勢進(jìn)行求和，得到總電動勢設(shè)某個小矩形的長為m(相當(dāng)于把對角線分割成長度為m的無數(shù)份)，寬為n

e小矩形=Bnvsinωt

v=ω·m

e小矩形=Bmnωsinωt=BS1ωsinωt

求和e半=∑e小矩形=Bωsinωt(S1+S2+…+Si)

面積之和

S1+S2+…+Si=S總=L1L2/2

由此可得

e=2e半=BL1L2ωsinωt

取任意位置初相為φ0，則

e=BSωsin(ωt+φ0)

仍然產(chǎn)生相同的感應(yīng)電動勢

新視角：通過投影，從磁通量角度進(jìn)行探究

線框平面在垂直磁場方向的投影：

S′=Scosθ=Scosωt

易知，無論形狀怎樣變化，只要面積不變，投影面積變化始終相同無論形狀、轉(zhuǎn)軸如何變化，總有：

對磁通量Φ求導(dǎo)即可得到感應(yīng)電動勢的瞬時值

利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式

Φ′=BSsinωt·ω

由此可得e=BSωsinωt

仍然產(chǎn)生正弦交流電.

如果線圈匝數(shù)為N，初相為φ0則感應(yīng)電動勢為

e=NBSωsin(ωt+φ0)由此可見，對于任意形狀、任意轉(zhuǎn)軸，正弦交流電的產(chǎn)生只能與面積有關(guān)，與形狀、轉(zhuǎn)軸無關(guān).

總結(jié)與反思：正弦交流電e=Emsinωt的產(chǎn)生是高中物理重點(diǎn)內(nèi)容，本文從課本視角入手，分析切割磁感線的電動勢的產(chǎn)生及其大小，論證正弦交流電的產(chǎn)生與形狀、轉(zhuǎn)軸無關(guān).隨后筆者提出了磁通量這一新視角，從磁通量變化與正弦交流電的關(guān)系進(jìn)行論證，可以起到快速普適的效果.我們平時在物理學(xué)習(xí)中要善于分析，注意物理與數(shù)學(xué)的結(jié)合，善于利用數(shù)學(xué)武器解決物理問題，豐富自己的高中學(xué)習(xí)！