基于非線性模型的深水隔水管橫向振動(dòng)固有頻率分析

郝逸，王文明,*，李皓冉，龔普，熊明皓，顧繼俊

1 中國(guó)石油大學(xué)(北京)機(jī)械與儲(chǔ)運(yùn)學(xué)院， 北京 102249

2 南京晨光集團(tuán)有限責(zé)任公司地面設(shè)備設(shè)計(jì)研究所，南京 210006

0 引言

隔水管是海洋鉆修井作業(yè)的關(guān)鍵裝備，其長(zhǎng)度長(zhǎng)、柔度大，易發(fā)生振動(dòng)。隨著作業(yè)深度增加，海洋載荷復(fù)雜多變，隔水管動(dòng)力響應(yīng)十分復(fù)雜，嚴(yán)重時(shí)會(huì)發(fā)生共振導(dǎo)致作業(yè)事故[1-2]，造成巨大的經(jīng)濟(jì)損失，甚至對(duì)作業(yè)人員生命安全和海洋環(huán)境造成威脅。隨著國(guó)家深水戰(zhàn)略的提出，對(duì)千米級(jí)隔水管作業(yè)要求愈發(fā)嚴(yán)格。因此，對(duì)隔水管固有特性開(kāi)展研究十分重要[3-6]。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)隔水管固有頻率進(jìn)行了大量理論和實(shí)驗(yàn)研究。Sparks C P[7]研究了隔水管橫向模態(tài)振動(dòng)的物理特性，提出了固有頻率、節(jié)點(diǎn)和反節(jié)點(diǎn)位置、底部球絞的最大轉(zhuǎn)角和隔水管最大彎曲位置的簡(jiǎn)化公式；劉清友等分析了鉆井液的流速、頂張力和隔水管結(jié)構(gòu)參數(shù)等對(duì)固有頻率的影響[8]；暢元江等[9]基于能量守恒定律提出了隔水管固有頻率的簡(jiǎn)化計(jì)算公式，其計(jì)算結(jié)果與相關(guān)文獻(xiàn)[10]計(jì)算結(jié)果比較吻合；郭海燕等[11]利用有限元方法研究了內(nèi)部流體流速和頂張力對(duì)隔水管固有頻率的影響，結(jié)果表明內(nèi)部流體流速越大，固有頻率越?。豁n春節(jié)等[12]采用微元法得到了隔水管數(shù)學(xué)模型，并利用分離變量法求解；邵衛(wèi)東等[13]考慮浮體升沉及張緊環(huán)運(yùn)動(dòng)，提出了計(jì)算深水頂張力立管固有頻率的方法。以上對(duì)隔水管固有頻率的研究，忽略了隔水管軸向力沿長(zhǎng)度的變化，主要利用有限元軟件或者通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定隔水管的固有頻率。

論文采用微元法建立了隔水管橫向振動(dòng)力學(xué)模型，考慮軸向力變化，通過(guò)施加不同頻率的外界激勵(lì)引起隔水管系統(tǒng)共振，從而獲得隔水管系統(tǒng)固有頻率，利用有限差分法求解了隔水管非線性模型。基于隔水管非線性振動(dòng)模型，分析了隔水管的管長(zhǎng)、壁厚、頂部張力、附加質(zhì)量和鉆井液對(duì)隔水管固有頻率的影響。

1 隔水管力學(xué)模型的建立

1.1 隔水管系統(tǒng)模型

隔水管系統(tǒng)建立力學(xué)模型，如圖1所示。以海底井口正上方的海平面為坐標(biāo)原點(diǎn)o，z軸正方向指向海底，海洋載荷沿著x軸作用在隔水管上，隔水管上端通過(guò)上撓性接頭與海上平臺(tái)連接，隔水管下端通過(guò)下?lián)闲越宇^連接在海底井口防噴器組。由于海洋載荷(海流、海浪等)的作用，平臺(tái)一般小范圍偏離井口正上方，從而引起隔水管彎曲變形。隔水管受力復(fù)雜，在建立隔水管數(shù)學(xué)模型之前做如下兩點(diǎn)假設(shè)：

(1)隔水管振動(dòng)屬于小變形問(wèn)題；(2)隔水管是由均質(zhì)、各向同性、線彈性材料制成的，管徑一致，抗彎剛度沿水深不變。

1.2 隔水管微元受力分析

將隔水管劃分為n段微元，取任一微元段ds做受力分析如圖2所示。其中，隔水管單位長(zhǎng)度受到的浮重為Fw、彎矩為M、軸向力Frt、剪力Frs、海洋載荷Fws和慣性力。

圖1 隔水管系統(tǒng)模型Fig. 1 The riser model

圖2 隔水管微元受力分析Fig. 2 Analysis of riser microelement

對(duì)x方向受力分析：

對(duì)z方向受力分析：

對(duì)A點(diǎn)取矩：

式中：Frt為隔水管微元段所受軸向力，N；Frs為隔水管微元段所受剪切力，N；m=mr+ma+ml，分別表示單位長(zhǎng)度隔水管的重量、單位長(zhǎng)度附加水質(zhì)量和單位長(zhǎng)度鉆井液的質(zhì)量；M是隔水管微元段所受彎矩，N·m；Fw是單位長(zhǎng)度隔水管的浮重，N；Fws為單位長(zhǎng)度隔水管所受海洋載荷，N；Rρ為隔水管微元段的曲率半徑；θ是微元段橫截面法線與z軸的夾角；是微元段橫截面法線與z軸的夾角的變化量。

假設(shè)隔水管為等截面梁，則有：

式中：E為材料的彈性模量，Pa；I為截面慣性矩，m4。

將式(5)帶入式(4)可得：

式(6)為剪力和彎矩關(guān)系，帶入式(4)得隔水管橫向振動(dòng)控制方程：

式(7)中已知量有：抗彎剛度EI，軸向力Frt，單位長(zhǎng)度質(zhì)量m，海洋載荷Fws，單位長(zhǎng)度浮重Fw，任意一點(diǎn)的海洋深度z，未知量為x和Frt。

根據(jù)實(shí)際工況，隔水管的頂端和底端為鉸接，則隔水管的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度為0，下端位移為0，上端位移為常數(shù)，可得邊界條件如式(8)所示。

其中：S為平臺(tái)相對(duì)井口的水平偏移量，m。

對(duì)隔水管橫向振動(dòng)的研究都是基于對(duì)(7)式的求解，然而方程高度非線性，無(wú)法直接表示軸向力Frt。國(guó)外內(nèi)研究通常假設(shè)隔水管軸向力沿著海洋深度不變或者線性變化，本文探討采用非線性模型對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行求解。

2 非線性模型求解

2.1 假設(shè)模型

(1)線性模型：認(rèn)為軸向力Frt為恒定不變，隔水管任意位置的軸向力為整段隔水管浮重的1.2～1.6倍。頂張力系數(shù)取1.2，因此隔水管橫向振動(dòng)控制方程變?yōu)橄率剑?/p>

其中：H為海洋深度。

(2)非線性模型：考慮隔水管質(zhì)量，認(rèn)為軸向力Frt隨海洋深度線性變化，隔水管頂部張緊力為整段隔水管浮重的1.2～1.6倍。因此隔水管橫向振動(dòng)控制方程變?yōu)槭?10)：

其中：F0為隔水管頂部張緊力，頂張力系數(shù)取1.2。

非線性模型的頂張力系數(shù)取1.2，故軸向力為：F（rtz , t） = 1 .2HFw- Fwz ， 帶 入 橫 向 振 動(dòng) 方 程 式 得 式(11)。

式(11)為非線性偏微分方程，需采用數(shù)值解法求解。為求得固有頻率，假設(shè)對(duì)隔水管在沿管長(zhǎng)方向均勻施加外部激勵(lì)Fws(z, t) = fwsei?t，選取不同的激勵(lì)頻率，當(dāng)隔水管的固有頻率和外部激勵(lì)頻率相近時(shí)，就會(huì)發(fā)生共振，幅值會(huì)無(wú)限大，確定隔水管的固有頻率[13]。

假 設(shè) 立 管 的 穩(wěn) 態(tài) 振 動(dòng) 形 態(tài) 為x( z, t) = x?( z, ? )ei?t，將外部激勵(lì)和振動(dòng)形態(tài)帶入式(11)將偏微分轉(zhuǎn)化為常微分得：

用中心差分公式代替微分[14]，帶入式(12)，得到離散化方程，如式(13)，其中i=1,2,3…n。

上式一共有n個(gè)方程，但是有x-1～xn+2共n+4個(gè)未知數(shù)，為此引入4個(gè)邊界條件，并對(duì)邊界條件進(jìn)行差分[15]，得4個(gè)附加方程：

其中：S為浮體偏移，m。

式(13)與式(14)聯(lián)合得到大型帶狀方程，利用Matlab軟件編程求解。

2.2 算例

假設(shè)作業(yè)水深為1000 m，隔水管計(jì)算參數(shù)如表1所示。

非線性模型的固有頻率通過(guò)共振法求解，通過(guò)對(duì)系統(tǒng)施加不同頻率的外部激勵(lì)，引發(fā)系統(tǒng)共振，間接求得固有頻率。對(duì)整個(gè)隔水管施加0～2 rad/s的激勵(lì)，隔水管在水下300 m、500 m和800 m 3個(gè)位置的位移如圖3所示。

圖3橫軸代表外界載荷激勵(lì)頻率的變化，縱軸表示振動(dòng)位移。在圖3中，隔水管在300 m、500 m和800 m的位移都在特定激勵(lì)頻率作用下同時(shí)達(dá)到無(wú)限大，這些特定激勵(lì)頻率引起了隔水管的共振，由圖3可得非線性模型前十階固有頻率如表2所示。

2.3 非線性模型求解精度分析

為了驗(yàn)證非線性模型求解結(jié)果的準(zhǔn)確性，利用有限元分析軟件ABAQUS提取隔水管前十階固有頻率，其中隔水管選取B21梁?jiǎn)卧?，劃分?000個(gè)單元，隔水管底部x、z方向和頂部x方向固定[18]，施加重力、浮力和頂張力，在頻率提取分析步考慮附加質(zhì)量，計(jì)算結(jié)果匯總在表3中。

為了對(duì)比非線性模型求解精度，與已有參考文獻(xiàn)的求解結(jié)果公式進(jìn)行對(duì)比。文獻(xiàn)[16]給出固有頻率計(jì)算簡(jiǎn)化公式如下，其前十階計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3，

其中：Tl是隔水管頂端張緊力，N；Tb是隔水管底端張緊力，N。

文獻(xiàn)[8]給出固有頻率的簡(jiǎn)化計(jì)算公式如下，相比式(16)，考慮了抗彎剛度的影響，其前十階計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3，

線性模型利用分離變量法即可求解[12]，其前十階計(jì)算結(jié)果如表3所示。

采用不同計(jì)算方法得到的固有頻率如圖4所示。可以看出，非線性模型求解的固有頻率整體小于線性模型，并且隨著階數(shù)升高，線性模型和非線性模型的差距越來(lái)越大。線性模型和非線性模型的一階頻率差0.060 rad/s，十階頻率差0.498 rad/s。原因在于線性模型假設(shè)隔水管各個(gè)位置軸向力為常數(shù)，沒(méi)有考慮重力對(duì)軸向力的影響。

表1 算例參數(shù)Table 1 Examples parameters

圖3 不同位置的位移圖Fig. 3 Displacement in different positions

表2 非線性模型前十階固有頻率Table 2 The natural frequency of nonlinear model

表3 有限元仿真、線性模型、文獻(xiàn)[16]、文獻(xiàn)[8]計(jì)算的前十階固有頻率Table 3 natural frequency by different methods

非線性模型與仿真結(jié)果相比，頻率差值很小，雖然隨著階數(shù)升高，兩者頻率差逐漸增大，但十階頻率的差值也只有0.0147 rad/s，證明非線性模型計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確性較高。

非線性模型與文獻(xiàn)[16]在低階固有頻率的結(jié)果比較接近，一階頻率差只有0.0009 rad/s。但隨著階數(shù)升高，差值明顯增大，十階頻率相差達(dá)到0.1802 rad/s。非線性模型與文獻(xiàn)[8]的差值較小，十階頻率相差為0.0506 rad/s，可以看出非線性模型的求解精度更高。

綜上可知，非線性模型考慮軸向力的變化，符合實(shí)際作業(yè)情況，結(jié)果對(duì)比分析也證明，非線性模型準(zhǔn)確性較高。對(duì)隔水管的振動(dòng)分析，應(yīng)優(yōu)先采用非線性模型。

3 隔水管固有頻率的影響因素

影響隔水管固有頻率的因素有外在因素和內(nèi)在因素，外在因素主要是頂部張力、附加質(zhì)量和鉆井液；內(nèi)在因素主要是管長(zhǎng)和壁厚。論文在探究各因素對(duì)隔水管固有頻率影響時(shí)，均以非線性模型進(jìn)行計(jì)算。

3.1 頂張力對(duì)固有頻率的影響

隔水管的長(zhǎng)度、直徑、壁厚和鉆井液等因素假設(shè)不變，分析頂張力對(duì)固有頻率的影響。隔水管頂部張力會(huì)影響隔水管的剛度，從而對(duì)固有頻率產(chǎn)生較大影響。隔水管頂部張力一般為浮重的1.2～1.6倍，取浮重的1.2倍、1.4倍和1.6倍進(jìn)行分析，計(jì)算結(jié)果如圖5所示。

由圖5可以看出，隨著頂張力增大，隔水管各階固有頻率整體增大。針對(duì)海洋環(huán)境的復(fù)雜多變性，可通過(guò)調(diào)整隔水管頂部張緊力的大小改變系統(tǒng)特性[17]。

3.2 附加質(zhì)量對(duì)固有頻率的影響

圖4 采用不同計(jì)算方法得到固有頻率Fig. 4 Using different methods to get the natural frequency

圖5 頂部張力對(duì)固有頻率的影響Fig. 5 The effect of top tension on natural frequency

海洋載荷會(huì)迫使隔水管振動(dòng)，對(duì)管柱周圍的流體做功，使管柱周圍流體速度發(fā)生變化。計(jì)算時(shí)一般將其等效為附加質(zhì)量，單位長(zhǎng)度附加質(zhì)量如式(18)所示。

式中：Cm為附加質(zhì)量系數(shù)，取1；D為隔水管外徑，m；ρw為海水密度，kg/m3。

假設(shè)隔水管的長(zhǎng)度、直徑、壁厚、鉆井液和頂部張緊力等因素不變，分析附加質(zhì)量對(duì)固有頻率的影響，計(jì)算結(jié)果如圖6所示。

由圖6可以看出。模型考慮海水作用時(shí)計(jì)算的頻率要比不考慮海水作用的整體偏低，并且隨著階數(shù)升高其頻率差值呈增大趨勢(shì)，十階頻率的數(shù)值相差最大為 0.351 rad/s。因此，計(jì)算時(shí)必須考慮由水動(dòng)力引起的附加質(zhì)量。

3.3 鉆井液對(duì)固有頻率的影響

隔水管作業(yè)時(shí)內(nèi)部會(huì)充滿鉆井液，選取鉆井液密度為 800 kg/m3、1000 kg/m3、1200 kg/m3和不考慮鉆井液4種情況。計(jì)算時(shí)不考慮鉆井液的流動(dòng)，假設(shè)隔水管的長(zhǎng)度、直徑、壁厚和頂部張緊力等因素不變，計(jì)算結(jié)果如圖7所示。

由圖7可以看出，與不考慮鉆井液相比，考慮鉆井液計(jì)算得到的固有頻率明顯偏大，但隨鉆井液密度增大，隔水管固有頻率僅略微升高。對(duì)比不考慮鉆井液與隔水管內(nèi)部充滿1000 kg/m3的鉆井液，其十階頻率相差達(dá)0.7346 rad/s。因此，計(jì)算時(shí)需考慮鉆井液的影響。

3.4 隔水管管長(zhǎng)對(duì)固有頻率的影響

假設(shè)隔水管直徑、壁厚、內(nèi)部鉆井液和頂部張緊力等因素不變，選取1000 m、1200 m和1500 m 3種管長(zhǎng)。隔水管管長(zhǎng)越長(zhǎng)，隔水管柔度越大，計(jì)算結(jié)果如圖8所示。

由圖8可得，隨著管長(zhǎng)增大，隔水管頻率整體降低，雖然在前三階變化并不明顯。但隨著階數(shù)升高，頻率相差越來(lái)越大，長(zhǎng)度1000 m 和1500 m隔水管的十階頻率相差達(dá)到0.469 rad/s。

3.5 隔水管壁厚對(duì)固有頻率的影響

從式(19)中可以看出，隔水管壁厚增加，會(huì)使得隔水管的截面慣性矩增大，從而影響結(jié)構(gòu)的抗彎剛度，

式中：D為隔水管外徑，m，d為隔水管內(nèi)徑，m。

為了探究壁厚對(duì)固有頻率的影響，選取25.4 mm、31.8 mm和50.8 mm 3種壁厚，假設(shè)隔水管長(zhǎng)度、直徑、內(nèi)部鉆井液和頂張力等因素不變，計(jì)算結(jié)果如圖9所示。

由圖9可得，壁厚越大，各階固有頻率越高。雖然在前幾階變化不顯著，但隨著階數(shù)升高，頻率差值明顯增大。壁厚25.4 mm和50.8 mm的隔水管在九階頻率差為0.247 rad/s。

圖6 附加質(zhì)量對(duì)固有頻率的影響Fig. 6 The effect of additional mass on natural frequency

圖7 鉆井液對(duì)固有頻率的影響Fig. 7 The effect of drilling fluid on natural frequency

圖8 管長(zhǎng)對(duì)固有頻率的影響Fig. 8 The effect of pipe length on natural frequency

4 結(jié)論

通過(guò)以上分析，得到的結(jié)論如下：

(1)利用微元法構(gòu)建了隔水管橫向振動(dòng)控制方程，假設(shè)隔水管軸向力沿著深度方向線性變化，得到了非線性模型，能夠較真實(shí)地簡(jiǎn)化實(shí)際工況。

圖9 壁厚對(duì)固有頻率的影響Fig. 9 The effect of wall thickness on natural frequency

(2)利用共振法求解得到了隔水管的各階固有頻率，與有限元仿真結(jié)果、參考文獻(xiàn)結(jié)果、線性模型結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了非線性模型的準(zhǔn)確性。

(3)分析了隔水管管長(zhǎng)、壁厚、頂部張力、鉆井液和附加質(zhì)量對(duì)固有頻率的影響。隨著隔水管壁厚和頂部張力增加，隔水管固有頻率增高；隨著隔水管管長(zhǎng)增大，隔水管固有頻率降低；固有頻率計(jì)算時(shí)需考慮附加質(zhì)量和鉆井液的影響，但鉆井液密度大小對(duì)固有頻率影響較小。