一類(lèi)非局部非自治分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性

郝瑞雪，魏毅強(qiáng)

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，太原 030024)

ZHANG et al[1]在2007年研究了下列非線性非自治Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階時(shí)滯系統(tǒng)(1)

式中：0<α<1，φ(t)是[-r,0)的連續(xù)函數(shù)，A0，A1是常數(shù)矩陣；r是正常數(shù)。該文獻(xiàn)主要研究系統(tǒng)(1)解的存在唯一性，并且運(yùn)用廣義Gronwall不等式推論證明該系統(tǒng)具有有限時(shí)間穩(wěn)定性。但該文在有限時(shí)間穩(wěn)定性的概念定義上，以及證明過(guò)程中都存在較嚴(yán)重的問(wèn)題。

MIHAILO et al[2]在2008年糾正了文獻(xiàn)[1]的錯(cuò)誤，研究了線性自治分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分系統(tǒng)與帶有控制變量的非自治系統(tǒng)具有有限時(shí)間穩(wěn)定性。

EL-SAYED et al[3]在2009年將問(wèn)題推廣到變系數(shù)的情形，研究了下列線性非自治Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階時(shí)滯系統(tǒng)(2)：

(2)

使得解的存在唯一性的證明得以完成。

WANG et al[4]在2015年研究了下列非自治非線性Caputo型分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分系統(tǒng)(3)在非局部初值條件下解的存在唯一性

(3)

式中：0<α<1；A0，A1是常數(shù)矩陣。文中有關(guān)時(shí)滯項(xiàng)的處理方式及Gronwall不等式的靈活應(yīng)用對(duì)同類(lèi)型問(wèn)題的研究有可借鑒之處。

本文在前人研究的基礎(chǔ)上，將問(wèn)題推廣到下列非局部非自治Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分系統(tǒng)(4)：

(4)

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[5]設(shè)函數(shù)x∈L[a,b],ρ∈R+,記

定義2[5]設(shè)函數(shù)x∈L[a,b],ρ∈R+,m=[ρ]+1,記

稱為x(t)的ρ階Riemann-Liouville型導(dǎo)數(shù)。

引理1[5]ρ∈R+,m=[ρ]+1,υ∈C1[0,1],u∈Cm[0,1],Im-ρu∈Am[0,1],則有

1) ?r,s>0,則IrIsυ(t)=Ir+sυ(t).

2)DρIρυ(t)=υ(t).

u(0).

引理2[6](廣義Gronwall不等式)假設(shè)g(t)是非負(fù)非減的連續(xù)函數(shù),0≤t0,a(t),u(t)是[0,T)的非負(fù)局部可積函數(shù)且

則有

定義3[5]設(shè)n>0,記

稱為n階Mittag-Leffler函數(shù)。特別地,E1(z)=ez.

定義4[7]齊次方程

滿足初始條件x(t)=ψ(t),-τ≤t≤0,關(guān)于[δ,ε,t0,J],δ<ε是有限時(shí)間穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)

‖ψ‖<δ.

那么

‖x‖<ε.

其中t0是初始時(shí)間,J=[t0,t0+T],J?R.

把有限時(shí)間穩(wěn)定性的概念推廣到非線性系統(tǒng)中，定義如下。

定義5 設(shè)?i,t>0,fi(t,0,0,L,0)=0,稱非線性非自治時(shí)滯系統(tǒng)(4)是有限時(shí)間穩(wěn)定的,當(dāng)且僅當(dāng)‖Φ‖<δ,且‖f‖<α,則有‖x‖<ε.

為了討論方便,引出幾個(gè)今后使用的條件：

2 主要結(jié)論

定理1 在H1的假設(shè)條件下，在C[-r,T]空間內(nèi)系統(tǒng)(4)與下列系統(tǒng)(5)等價(jià)。其中C[-r,T]空間表示[-r,T]上的連續(xù)空間。

(5)

證明：當(dāng)t∈(0,T]時(shí),系統(tǒng)(4)的第一個(gè)式子由Riemann-Liouville型導(dǎo)數(shù)的定義可得：

對(duì)等號(hào)兩邊同時(shí)積分并由系統(tǒng)(4)中的條件I(1-ρ)xi(t)|t=0=0可得：

對(duì)等號(hào)兩邊求ρ階積分得:

對(duì)等號(hào)兩邊再求一階導(dǎo)數(shù)即得:

反過(guò)來(lái),對(duì)系統(tǒng)(5)中的第一個(gè)式子等號(hào)兩邊先求(1-ρ)階積分,再求一階導(dǎo)數(shù)可得：

化解即得:

當(dāng)t∈(-r,0]時(shí),很顯然是恒成立的。

則有

…,xn(t))]|=0.而

即：

定理2 在H1,H2的假設(shè)條件下,如果?β>1,使得

證明：由定理1可知，只要證明系統(tǒng)(5)解的存在唯一性即可。

當(dāng)t∈[-r,0]時(shí),很顯然其解是存在且唯一的。

由于對(duì)任意i=1，2，...，10，j=1，2，3，4，y=1，Ey（288））+SD（DEy（288）D（288））＜0.2，因此，群決策矩陣D（288）=（）10×4是全局一致性可接受的決策矩陣，表10所示。

當(dāng)t∈(0,T]時(shí),定義映射F:C[-r,T]aC[-r,T],則有

先來(lái)討論t∈(r,T].

即：

‖bij‖Lβ[0,T]+‖lij‖Lβ[0,T]]‖x-y‖≤

R1‖x-y‖ .

同理,當(dāng)t∈(0,r]時(shí),有

R1‖x-y‖ .

由于R1<1,所以F是壓縮映射,即存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。因此在C[-r,T]空間內(nèi)系統(tǒng)(4)存在唯一的解。

定理3 在H1,H2的假設(shè)條件下,

取充分大的N,使得

證明：由定理1可知，只要證明系統(tǒng)(T)解的存在唯一性即可。

當(dāng)t∈(-r,0]時(shí),很顯然其解是存在且唯一的。

x

j

(

t

-

r

j

)+

f

i

(

t

,

x

1

(

t

),

x

2

(

t

),…,

x

n

(

t

))] .

為了討論方便,引出幾個(gè)今后使用的符號(hào)：

先來(lái)討論t∈(r,T].

(s-rj)-yj(s-rj))+(fi(s,x1(s),x2(s),…,

xn(s))-fi(s,y1(s),ys(s),…,yn(s)))]ds|≤

則：

‖x-y‖λ.

即：

R2‖x-y‖λ.

同理, 當(dāng)t∈(0,r)時(shí),

由于R2<1,所以F是壓縮映射,即存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。因此在C[-r,T]空間內(nèi)系統(tǒng)(4)存在唯一的解。

定理4 在定理3的假設(shè)條件下,若對(duì)于?i,t>0,fi(t,0,0,K,0)=0,‖f‖<α,‖Φ‖<δ,且

成立,則在C[-r,T]空間內(nèi)范數(shù)

的意義下系統(tǒng)(4)具有有限時(shí)間穩(wěn)定性。

證明：設(shè)x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))是系統(tǒng)(4)的解。

當(dāng)t∈[r,T]時(shí),

x2(s),…,xn(s))|ds.

從而

對(duì)上式分析可知,滿足運(yùn)用廣義Gronwall不等式的條件,因此運(yùn)用廣義Gronwall不等式可得:

從而

{Eρ[(‖A‖+‖B‖)Tρ]-1} .

則

那么

{Eρ[(‖A‖+‖B‖)Tρ]-1}<ε.

當(dāng)t∈(0,r]時(shí),同理可得，‖x‖<ε.

由此可知,系統(tǒng)(4)具有有限時(shí)間穩(wěn)定性。