對一種光學(xué)中心射線狀條紋成因的探究

李文瑤，孫雨彤，周廷明，張君，趙蕓赫

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對一種光學(xué)中心射線狀條紋成因的探究

李文瑤1，孫雨彤1，周廷明1，張君1，趙蕓赫2

（1.四川省溫江中學(xué)，四川 成都 611130；2.北京師范大學(xué)物理學(xué)系，北京 100875）

對使用相機(jī)對路燈等光源進(jìn)行照射時(shí)，照片上呈現(xiàn)的放射狀條紋現(xiàn)象進(jìn)行了理論分析、數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。理論研究上以正多邊形孔的夫瑯禾費(fèi)衍射模型對該現(xiàn)象進(jìn)行了解釋，并采用將正邊形分割為個(gè)等腰三角形后疊加的方法對正多邊形小孔的衍射條紋進(jìn)行了理論推導(dǎo)，然后利用MATLAB進(jìn)行數(shù)值模擬，模擬結(jié)果驗(yàn)證了條紋數(shù)與正多邊形小孔邊數(shù)的關(guān)系，同時(shí)預(yù)測了孔的邊數(shù)、各邊長和衍射屏到觀察屏的距離對衍射圖樣的影響。最后通過實(shí)驗(yàn)研究定性驗(yàn)證了理論模型的合理性。

放射狀條紋；正多邊形孔；夫瑯禾費(fèi)衍射；星芒

在晚上使用相機(jī)對著街上的燈光拍照，或在陽光強(qiáng)烈的時(shí)候透過樹葉的縫隙拍攝太陽時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)照片上有從光源中心發(fā)出的放射狀光線。這是攝影中常有的現(xiàn)象，因其現(xiàn)象獨(dú)特，被稱為“星芒”。星芒的尖角數(shù)與光圈的葉片數(shù)有關(guān)——光圈葉片數(shù)為奇數(shù)時(shí)，產(chǎn)生的星芒尖角數(shù)為2條；為偶數(shù)時(shí)，產(chǎn)生的星芒尖角數(shù)為條。

通過查閱文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)對于這種星芒現(xiàn)象的理論解釋，僅有一些經(jīng)驗(yàn)交流稱其是因攝像機(jī)光圈的衍射現(xiàn)象造成的，沒有與實(shí)際聯(lián)系并進(jìn)行求解。因此，本研究利用正多邊形衍射孔的夫瑯禾費(fèi)衍射模型對該現(xiàn)象進(jìn)行了定性及理論分析，推導(dǎo)并模擬了多邊形孔的衍射圖像，預(yù)測了孔的邊數(shù)、各邊長和衍射屏到觀察屏的距離對衍射圖樣的影響，并利用幾何對稱性解釋了邊數(shù)與條紋的數(shù)學(xué)關(guān)系，進(jìn)而通過實(shí)驗(yàn)研究將理論模擬結(jié)果與實(shí)際現(xiàn)象進(jìn)行對應(yīng)，定性驗(yàn)證了理論模型的合理性。

1 理論分析

在實(shí)際情況中，對比不同相機(jī)拍到的同一光源的圖片，可以發(fā)現(xiàn)不同相機(jī)拍出的照片中射線情況并不相同，但是，同一相機(jī)拍下的同一張照片中各個(gè)光源的射線情況相同。根據(jù)以上分析可以發(fā)現(xiàn)，照片上的射線并不是光源向外發(fā)出的一道道亮光，而是與相機(jī)有關(guān)的、只存在于照片上的現(xiàn)象。

進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn)：①光圈葉片數(shù)為奇數(shù)時(shí)，產(chǎn)生的星芒尖角數(shù)為2條；為偶數(shù)時(shí)，產(chǎn)生的星芒尖角數(shù)為條。②光圈越小，星芒尖角越尖銳。③光圈距離被拍攝的光源越遠(yuǎn)，星芒成像越大、越明顯。故推斷產(chǎn)生“星芒”現(xiàn)象的主要原因是相機(jī)的光圈近似正多邊形，如圖1所示。光在經(jīng)過相機(jī)的光圈時(shí)發(fā)生衍射，最后經(jīng)透鏡在CCD（相當(dāng)于衍射光屏）上呈現(xiàn)出這一現(xiàn)象。

圖1 光圈葉片工作示意圖

另外，在使用相機(jī)拍照時(shí)，光圈到光源之間的距離遠(yuǎn)大于光圈到成像屏上的距離，近似符合夫瑯禾費(fèi)衍射“無限遠(yuǎn)”的特點(diǎn)，可以看作等效無限遠(yuǎn)，故本文以正多邊形孔的夫瑯禾費(fèi)衍射模型來解釋這一現(xiàn)象產(chǎn)生的原因。

對于一個(gè)正多邊形孔的衍射，直接計(jì)算顯然并不容易。故采用將正多邊形孔分割為多個(gè)全等的等腰三角形孔，以其中某一個(gè)三角形為基礎(chǔ)，對其進(jìn)行坐標(biāo)變化后，積分求得整個(gè)孔在觀察屏上的光強(qiáng)表達(dá)式的方式來求解這個(gè)問題。

1.1 等腰三角形孔的衍射

首先，考慮最基本的情況，即當(dāng)發(fā)生衍射的小孔是一個(gè)頂角為、底邊長為的等腰三角形，之后再在此基礎(chǔ)上進(jìn)行變換[1]。

圖2 等腰三角形孔的衍射

當(dāng)光的波長確定時(shí)，式（1）中的是一個(gè)常值（由此也可以看出，如果使用顏色不同的光，成像的規(guī)律是不會(huì)變化的，只是在分布上呈現(xiàn)定量的規(guī)律性差異）。同時(shí)，當(dāng)光的波長確定時(shí)，也是一個(gè)常值：

這里表示開孔平面上光的分布（，）它一般是均勻的，在此我們考慮它是均勻的。為方便代入計(jì)算，我們令：

將（4）（5）（6）式代入原式，那么對于此小三角形孔上發(fā)生衍射的振幅就可以通過以下積分計(jì)算：

（，）就是小孔發(fā)生衍射后在觀察屏上的振幅分布。

1.2 正多邊形孔的衍射

建立直角坐標(biāo)系，如圖3所示，將這個(gè)正多邊形分解，此正多邊形與單個(gè)等腰小三角形的面積和角關(guān)系就可以表示出來：

（8）

以等腰三角形1為基礎(chǔ)，沿逆時(shí)針方向?qū)ζ溥M(jìn)行坐標(biāo)變化：

將這一結(jié)果用矩陣來表示并進(jìn)行計(jì)算：

對正多邊形區(qū)域積分可得：

而光強(qiáng)為其復(fù)振幅與其共軛復(fù)振幅的乘積，故觀察屏上的光強(qiáng)表達(dá)式為：

另外，可以推斷，當(dāng)→∞時(shí)，這個(gè)多邊形小孔發(fā)生衍射將可以近似看作圓孔。

2 數(shù)值模擬

將推導(dǎo)出的上述關(guān)系編寫成代碼，使用MATLAB運(yùn)行程序并繪制觀察屏上的光強(qiáng)分布圖像（運(yùn)行環(huán)境：MATLAB2016b）。在此，我們考慮3個(gè)自變量，即孔的邊數(shù)、各邊長和衍射屏到觀察屏的距離，對所涉及的3個(gè)變量，控制變量分別對其進(jìn)行研究，模擬其對成像的影響，得到3組圖像（其中，黑色正方形方格的實(shí)際大小為1 m2），如圖4、圖5、圖6所示。

觀察這3組圖，可以得出結(jié)論：①衍射圖像呈有共同起點(diǎn)的放射狀光束，且中間有一較大的光斑。②條紋以明暗相間的樣式延展，且由中心到四周發(fā)散，由明到暗并逐漸消失。③當(dāng)邊長與距離一定，邊數(shù)為奇數(shù)時(shí)，可觀察到2個(gè)尖角；邊數(shù)為偶數(shù)時(shí)，可觀察到個(gè)尖角。④當(dāng)邊數(shù)與距離一定時(shí)，以正六邊形為例，隨著孔徑的變大，呈現(xiàn)的圖像越來越小，可觀察到的范圍越來越大。⑤當(dāng)邊數(shù)與距離一定時(shí)，隨著焦距的變大，視野中可觀察到的范圍變小，條紋圖像越來越大。

圖4 a＝3e－5（m），焦距f＝10 m時(shí)，改變邊數(shù)n

圖5 當(dāng)邊數(shù)n＝6，焦距f＝10 m時(shí)，改變孔的邊長a（m）

圖6 當(dāng)孔邊長a＝3e－5（m），邊數(shù)n＝6，改變焦距f（m）

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)器材及裝置

為了驗(yàn)證理論結(jié)果，本研究制作了多個(gè)不同邊數(shù)的觀察孔片，為了避免“平行光”這一夫瑯禾費(fèi)衍射需要的條件受限，借助激光光學(xué)演示儀（型號J-2513）對這些裝片進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究。由于手工制作的裝片精度不夠高，無法精確地控制邊長和距離，只能定性地驗(yàn)證上文關(guān)于衍射孔邊數(shù)的結(jié)論。

圖7為實(shí)驗(yàn)環(huán)境，圖8為實(shí)驗(yàn)器材。

圖7 實(shí)驗(yàn)環(huán)境

圖8 實(shí)驗(yàn)器材

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與模擬圖象進(jìn)行對比，不難看出實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象符合星芒條數(shù)變化的規(guī)律。由于無法精確控制變量，且手工制作和拍攝存在一定誤差，結(jié)論②和③可以觀察到較為清楚的現(xiàn)象。圖9為驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)對比圖。由圖9可以看到，星芒圖樣的棱角數(shù)與衍射孔邊數(shù)的關(guān)系與理論預(yù)言一致。另外，在每一條星芒射線中出現(xiàn)了明暗相見的條紋，這是波動(dòng)光學(xué)現(xiàn)象的典型特征。至此，從實(shí)驗(yàn)上說明了星芒的出現(xiàn)是一種波動(dòng)光學(xué)現(xiàn)象，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論預(yù)測相符。

4 結(jié)論

本研究基于正多邊形孔的夫瑯禾費(fèi)衍射模型對照相機(jī)拍照時(shí)出現(xiàn)的“星芒”現(xiàn)象進(jìn)行了理論與實(shí)驗(yàn)研究，得出并解釋了星芒條數(shù)與光圈葉片數(shù)的變化規(guī)律，得出了“星芒大小與小孔邊長成反相關(guān)，與衍射屏到觀察屏的距離成正相關(guān)”的結(jié)論。然后通過自制小孔，對以上結(jié)論進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象基本符合理論。

［1］宋易知.任意正多邊形小孔夫瑯禾費(fèi)衍射成像探討［J］.物理實(shí)驗(yàn)，2017，37（11）：48-51.

［2］鐘錫華.現(xiàn)代光學(xué)基礎(chǔ)［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2012.

2095－6835（2018）18－0012－04

O436.1

A

10.15913/j.cnki.kjycx.2018.18.012

李文瑤（2002—），女，四川成都人，四川省溫江中學(xué)高2017級學(xué)生。

趙蕓赫（1993—），女，吉林長春人，北京師范大學(xué)物理學(xué)系2016級碩士研究生，研究方向?yàn)槲锢碚n程與教學(xué)論、IYPT問題解決。

〔編輯：劉曉芳〕