基于Logistic混沌映射的數(shù)字圖像加密算法＊

鄭繼明，湯智睿，鄧建秀，林姚

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基于Logistic混沌映射的數(shù)字圖像加密算法＊

鄭繼明，湯智睿，鄧建秀，林姚

（重慶郵電大學(xué)理學(xué)院，重慶 400065）

針對圖像信息傳輸?shù)陌踩珕栴}，運(yùn)用混沌映射加密理論，提出了一種新的數(shù)字圖像加密算法。該算法運(yùn)用Logistic-control-Logistic（LCL）混沌映射生成混沌序列，并結(jié)合SCAN模式對圖像進(jìn)行置亂，再對圖像進(jìn)行多方向擴(kuò)散。實(shí)驗(yàn)與加密性能分析表明，該算法具有很好的安全性，且執(zhí)行效率高，容易實(shí)現(xiàn)。

圖像加密；LCL混沌映射；SCAN模式；多方向擴(kuò)散

使用互聯(lián)網(wǎng)傳輸數(shù)字圖像具有方便快捷、開支小等優(yōu)點(diǎn)，但美中不足的是，數(shù)字圖像在網(wǎng)絡(luò)上傳輸存在許多安全隱患。如何保證數(shù)字圖像的安全傳輸是備受人們關(guān)注的問題。由于圖像數(shù)據(jù)量大、強(qiáng)冗余性、相鄰像素間的強(qiáng)相關(guān)性以及現(xiàn)在圖像攻擊技術(shù)的快速發(fā)展，傳統(tǒng)的圖像加密算法已不能滿足實(shí)際需要。

混沌系統(tǒng)具有不確定性、不可預(yù)測、非周期和初值敏感性，這正是密碼學(xué)中密鑰和密鑰流尋求的特性。許多學(xué)者開展了基于混沌理論加密的研究，得到了一些有效的加密方法。文獻(xiàn)[1-3]中提出，將SCAN模式用于圖像加密，且在加密過程中使用具有擴(kuò)散性的隨機(jī)序列；利用Logistic混沌序列的隨機(jī)性、對初始條件敏感和迭代不重復(fù)的特性，得到了一些基于Logistic映射的數(shù)字圖像加密算法[4-5]；Hua[6]通過對混沌映射的參數(shù)進(jìn)行動(dòng)態(tài)控制，使原混沌系統(tǒng)具有更復(fù)雜的混沌行為；文獻(xiàn)[7]用高維混沌系統(tǒng)對圖像加密，Akram[7]將SPN與混沌理論融合，設(shè)計(jì)出新的算法用于圖像加密；文獻(xiàn)[8]將2個(gè)一維混沌映射融合為二維的混沌映射對圖像進(jìn)行了加密；Wang[9]使用混沌映射對彩色圖像加密；Liu[10]通過變化參數(shù)改進(jìn) Baker映射，增強(qiáng)了初值的敏感性，通過動(dòng)態(tài)參數(shù)的映射加密圖像，使算法能夠有效抵抗相空間重構(gòu)攻擊。Logistic混沌映射表達(dá)式簡單且性能優(yōu)良，非常適合數(shù)字圖像加密。但是，該映射存在不動(dòng)點(diǎn)、穩(wěn)定窗等不足，產(chǎn)生的混沌序列不能保證圖像加密足夠安全。本文基于LCL映射、SCAN模式提出了一種新的圖像加密算法，該方法具有較大密鑰空間。仿真結(jié)果表明，該算法能有效抵抗差分攻擊、暴力攻擊等，具有較高的安全性。

1 Logistic與Logistic-control-Logistic映射的混沌特性

經(jīng)典的Logistic映射是一個(gè)一維離散時(shí)間非線性映射，其表達(dá)式為：

n＋1＝4n（1－n）. （1）

式（1）中：∈[0，1]為映射的參數(shù)；n∈[0，1]。

當(dāng)∈[0.9，1]時(shí)，Logistic映射具有混沌特性。

LCL映射是基于Logistic映射的組合映射，它使用一個(gè)Logistic映射動(dòng)態(tài)控制另一個(gè)Logistic映射的參數(shù)。圖1（a）給出了LCL的結(jié)構(gòu)，其中，1（）、2（）均為Logistic映射，（）為變換函數(shù)。1（）生成序列控制2（）的參數(shù)，稱為控制映射；2（）為最終產(chǎn)生混沌序列的映射，稱為種子映射；變換函數(shù)（）將1（）的輸出映射到2（）參數(shù)的混沌范圍，使得種子映射2（）總是具有混沌行為。

LCL的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

在式（2）中，1（）的輸出為[0，1]，而2（）的參數(shù)混沌范圍約為[0.9，1]。變換函數(shù)（）是將1（）的輸出映射到2（）參數(shù)的混沌范圍，即（）：[0，1]→[0.9，1]。為了簡化計(jì)算，定義變換函數(shù)（）為下面的線性函數(shù)，即：

n＋1＝1－0.1n＋1. （3）

分別將式（1）、式（3）代入式（2），則可得：

任意給定初始值x0，y0以及常數(shù)μ的值，可由式（4）生成一組混沌序列｛xn｝。圖1（b）給出了LCL映射的李雅普諾夫指數(shù)（LE）值。

2 置亂與擴(kuò)散模式

2.1 SCAN模式置亂

以原圖中小塊1，1為例，采用索引排序?qū)π蛄信判?，得到置換序列，從而將小塊1，1表示成二維數(shù)組，選取{二次對角型，連續(xù)正交型，平行對角線型，螺旋型}掃描模式，經(jīng)過2次，將得到的圖像序列表示成二維數(shù)組，結(jié)果如圖2所示。

圖2 二維數(shù)組置亂示例

在此需要注意，由于每一次置亂都是在塊內(nèi)進(jìn)行，因此，需要通過螺旋矩陣再對整幅數(shù)字圖像進(jìn)行整體置亂，使每個(gè)像素可能出現(xiàn)在任何位置。

2.2 多方向擴(kuò)散

傳統(tǒng)的擴(kuò)散方式是1個(gè)像素點(diǎn)或2個(gè)像素點(diǎn)單方向地向下一個(gè)像素點(diǎn)擴(kuò)散。為了獲得較好的擴(kuò)散效果，這種擴(kuò)散方式往往周期比較長。本文設(shè)計(jì)多方向擴(kuò)散機(jī)制，1個(gè)像素點(diǎn)從4個(gè)不同的方向朝4個(gè)像素點(diǎn)方向擴(kuò)散，以縮減擴(kuò)散周期，獲得高效的加密算法，具體擴(kuò)散方式如下：

3 加密算法設(shè)計(jì)

圖3 算法流程圖

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及加密性能分析

利用本文提出的算法對Lena圖進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，原始圖像及其灰度直方如圖4（a）、圖4（c）所示，原始圖像加密后效果及加密后灰度直方圖如圖4（b）、圖4（d）所示。

4.1 密鑰空間

加密圖像能否抵抗窮舉攻擊與密鑰空間的大小有關(guān)，只有足夠大的密鑰空間，才能抵抗窮舉攻擊。本算法中共有7組密鑰，共21個(gè)密鑰，令每個(gè)密鑰的最大精度為10－14，那么，密鑰空間大小為：（1014）21＝10294.在相同精度下，本算法的密鑰空間遠(yuǎn)大于文獻(xiàn)[2]的密鑰空間，具有更高的安全性。

圖4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4.2 密鑰靈敏度分析

對其他密鑰進(jìn)行相應(yīng)的改變時(shí)，也可以得到類似的解密結(jié)果圖。從圖5（a）、圖5（b）、圖5（c）中可以看出，當(dāng)密鑰中的任何一個(gè)進(jìn)行10－14級(jí)的微小改動(dòng)時(shí)，解密結(jié)果圖與原始明文圖像完全不同。這說明，本文的加密算法能夠抵擋各種敏感性攻擊。

4.3 相關(guān)性分析

圖4（a）原始圖像水平、垂直和對角方向的相關(guān)性分別如圖6（a）、圖6（b）、圖6（c）所示，采用本算法加密后，水平、垂直和對角方向的相關(guān)性分別如圖7（a）、圖7（b）、圖7（c）所示。

圖7 加密圖像相關(guān)性

從圖6和圖7中可以明顯看出，原始圖像3個(gè)方向上的像素具備較強(qiáng)的相關(guān)性。經(jīng)過本文所示的算法加密后，像素之間基本不具備相關(guān)性。

4.4 信息熵測試

圖像的信息熵可以度量灰度值的分布，結(jié)果顯示，信息熵越大，其灰度分布越一致。對于理想的隨機(jī)圖像，其信息熵等于8.

本文加密圖——圖4（b）的信息熵為7.997 4，已經(jīng)比較接近理想值8，即加密之后圖片灰度分布較一致。

4.5 像素改變率和一致平均改變強(qiáng)度

像素改變率（NPCR）和一致平均改變率（UACI）用于測試整個(gè)加密圖中一個(gè)像素改變的影響。本文將每個(gè)圖像的第一個(gè)像素的灰度值減少5，以Lena為例計(jì)算出像素的改變率為99.630 7，一致平均改變強(qiáng)度為33.402 6.

表1給出了本文算法與文獻(xiàn)[7-9]關(guān)于相關(guān)性、信息熵、像素改變率和一致平均改變率的對比結(jié)果。

表1 本文算法與文獻(xiàn)[7-9]的結(jié)果對比

加密圖像文獻(xiàn)[7]文獻(xiàn)[8]文獻(xiàn)[9]原始圖像 相關(guān)性分析水平0.003 3－0.004 8－0.006 60.002 00.949 2 垂直0.003 8－0.011 2－0.008 90.003 80.970 5 對角0.002 5－0.004 50.042 4－0.001 90.960 7 信息熵7.997 47.996 37.996 57.997 1 NPCR99.630 799.622 899.609 299.586 4 UACI33.402 633.704 133.632 233.253 3

5 結(jié)束語

本文給出了利用LCL映射對圖像加密的算法，通過LCL混沌映射，加密算法具備了更大的密鑰空間。在置亂階段，先使用SCAN模式進(jìn)行塊內(nèi)置亂，再用螺旋矩陣進(jìn)行整體置亂；在擴(kuò)散階段，控制每個(gè)像素點(diǎn)直接擴(kuò)散到4個(gè)像素點(diǎn)，有效地減小了像素點(diǎn)的相關(guān)性。從仿真結(jié)果與性能分析中可以看出，像素之間的相關(guān)性變得非常小，像素改變率和一致平均改變強(qiáng)度達(dá)到了比較理想的結(jié)果，且本算法具有較高的安全性。

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鄭繼明（1963—），男，四川簡陽人，教授，主要從事數(shù)學(xué)建模方法研究。湯智睿（1997—），男，四川廣安人。鄧建秀（1997—），女，四川內(nèi)江人。林姚（1995—），男，四川綿陽人，信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)本科生。

重慶郵電大學(xué)大學(xué)生科研訓(xùn)練項(xiàng)目（編號(hào)：A2017-70）資助

2095－6835（2018）18－0008－04

TP309.7

A

10.15913/j.cnki.kjycx.2018.18.008

〔編輯：白潔〕