基于傳遞矩陣法的超聲珩齒復(fù)合變幅器設(shè)計*

□ 周夢妮 □ 張寧寧 □ 侯云盼

渭南師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院 陜西渭南 714099

1 設(shè)計背景

超聲珩齒是將超聲振動切削技術(shù)應(yīng)用于硬珩齒加工的一項技術(shù)，其高頻振動提高了磨粒實際切削速度和切削能力，被加工齒輪的表面質(zhì)量明顯優(yōu)于普通珩齒的表面質(zhì)量［1］。從加工效益、加工質(zhì)量及經(jīng)濟性方面考慮，超聲珩齒能夠達到較好的效果［2］。對于大多數(shù)齒輪與變幅桿組成的變幅器而言，變幅桿作一維縱向振動，齒輪作彎曲振動，兩者振型完全不同，連接處的耦合共振關(guān)系相對比較復(fù)雜，同時齒輪是變幅器的非諧振單元。實際工作中，常用理論解析法、等效電路法或傳遞矩陣法來設(shè)計變幅器，這三種方法均有不同程度的適用性。文獻［3-7］基于經(jīng)典薄板理論對彎曲振動變幅器進行比較深入的研究，認為薄板理論本身存在不足，變幅器數(shù)學(xué)模型不完善，結(jié)果誤差較大，適用范圍小，很有必要對厚板振動方法進行探索。文獻［8］分析了超聲珩齒縱向振動變幅器三種設(shè)計方法的優(yōu)缺點及各自的適用場合，為設(shè)計變幅器時選擇適當?shù)挠嬎惴椒ㄌ峁┝死碚撘罁?jù)。文獻［9-10］應(yīng)用半解析法及罰函數(shù)法研究了厚度變化對中厚環(huán)板振動的影響。文獻［11-12］研究了單一變幅桿、復(fù)合變幅桿與中厚圓板組成的變幅器的動力學(xué)特征，并基于邊界條件方程組求解彎曲振動變幅器。為了改善復(fù)合變幅器的性能，筆者基于Mindlin中厚板理論，推導(dǎo)出復(fù)合變幅器的傳遞矩陣，完成了圓錐形復(fù)合彎曲振動變幅器的設(shè)計，并對其振幅等做了研究。筆者的研究提供了一種合理可行的復(fù)合彎曲振動變幅器設(shè)計方法。

2 變幅器結(jié)構(gòu)

復(fù)合變幅器采用了兩端等長的圓錐形變幅桿［13］，結(jié)構(gòu)如圖l所示。d1、d2分別為變幅桿大小端直徑，l1、l2分別為變幅桿大小段與中間段長度，齒輪簡化為一個等厚度圓環(huán)板，其內(nèi)半徑a=d2/2，外半徑為b，板厚為h。將齒輪安裝于變幅桿小端心軸，并用螺母固定，螺母因為尺寸相對齒輪而言很小，所以在計算中予以忽略。變幅桿作一維縱向振動，齒輪在變幅桿的作用下作彎曲振動，變幅器整體作縱彎耦合振動。

3 變幅器頻率方程

3.1 圓環(huán)板傳遞矩陣

在超聲珩齒中，為了獲得良好的加工質(zhì)量，要求齒輪作節(jié)徑數(shù)為0的軸對稱橫向彎曲振動。齒輪作為圓環(huán)板，在這種振動模態(tài)下其切向內(nèi)力和變形必恒為0。因此，根據(jù)Mindlin中厚板理論，若不計切向應(yīng)變和應(yīng)力，圓環(huán)板橫向彎曲振動在極坐標系中的變形函數(shù)和內(nèi)力函數(shù)如下［14］：

圖1 復(fù)合變幅器結(jié)構(gòu)

式中：βr為圓環(huán)板轉(zhuǎn)角；wr為橫向位移；Mr為彎矩；Qr為剪力； Ji（δi，r）為貝塞爾函數(shù)；Yi（δi，r）為諾伊曼函數(shù)；Ai、Bi為由圓環(huán)板邊界條件決定的待定常數(shù)；G為剪切模量。

δ1、δ2、σ1、σ2為引入的相關(guān)參數(shù)，表達式如下：

式中：ρ、ω、H分別為圓環(huán)板的密度、角頻率、彎曲剛度常數(shù)；R、S分別為圓環(huán)板轉(zhuǎn)動慣量和橫向剪切變形影響因數(shù)；E為彈性模量；γ為泊松比。

圓環(huán)板內(nèi)外表面的力學(xué)和變形分量分別用下標a、b表示，則圓環(huán)板外表面的矩陣形式為：

圓環(huán)板內(nèi)表面的矩陣形式為：

圓環(huán)板內(nèi)外表面間力和變形的關(guān)系矩陣為T，于是有：

得：

3.2 變幅器傳遞矩陣

為方便研究，取兩端等長的圓錐形變幅桿，其四端網(wǎng)絡(luò)傳輸矩陣特征方程為［15-18］：

式中：F1、ξ1分別為變幅桿輸出端的力和振幅；F0、ξ0分別為變幅桿輸入端的力和振幅。

D為復(fù)合變幅器總傳遞矩陣，則有：

由復(fù)合變幅器數(shù)學(xué)模型可知 Mrb=0，F(xiàn)rb=0，βra=0，F(xiàn)0=0，若式（22）有解，則有：

式（23）即為復(fù)合變幅器的頻率方程，若已知材料和幾何參數(shù)，就可以求出系統(tǒng)諧振頻率。根據(jù)求出的頻率，可求出 A1、A2、B1、B2，再代入式（2），可求出圓環(huán)板的橫向位移。

4 動力學(xué)分析

復(fù)合變幅器具體參數(shù)為d1=54 mm，d2=18 mm，l1=30 mm，a=9 mm，b=60 mm，h=18 mm， 工作頻率 f=30 kHz，變幅桿中間段長度l2=20～140 mm。應(yīng)用MATLAB軟件繪制頻率方程解的誤差Δ與變幅桿中間段長度l2的關(guān)系曲線，如圖2所示。由圖2可以看出，解誤差曲線與誤差為0的直線有交點，即為頻率方程的數(shù)值解，可得變幅桿中間段的設(shè)計長度l2=90 mm。

▲圖2 頻率方程解誤差與變幅桿中間段長度關(guān)系曲線

復(fù)合變幅器材料為45號鋼，密度ρ=7.8×103kg/m3，泊松比γ=0.28，彈性模量E=216 GPa，剪切模量G=84 GPa，對復(fù)合變幅器位移振幅進行計算，可以分別得出變幅桿和圓環(huán)板振幅隨自身幾何尺寸的變化曲線，如圖3和圖4所示。在此基礎(chǔ)上，對變幅器進行ANSYS有限元仿真諧振響應(yīng)分析，可以得到變幅桿和圓環(huán)板振幅隨自身幾何尺寸的變化仿真曲線，如圖5和圖6所示。由仿真分析可知，在頻率為29.719 kHz時變幅桿作縱向振動，圓環(huán)板作橫向彎曲振動，與理論計算基本一致，頻率誤差僅為0.94%，誤差值在工程應(yīng)用允許范圍之內(nèi)。

5 頻率特性分析

為進一步研究復(fù)合變幅器幾何參數(shù)對系統(tǒng)諧振頻率的影響，保持其它參數(shù)不變，改變其中一個參數(shù)，將有限元分析結(jié)果與理論計算結(jié)果進行比較，見表1～表5。

表1 系統(tǒng)諧振頻率隨變幅桿中間段長度變化數(shù)據(jù)

表2 系統(tǒng)諧振頻率隨變幅桿兩端長度變化數(shù)據(jù)

由表1和表2可以看到，在保持圓環(huán)厚徑比0.30不變的情況下，變幅器諧振頻率隨變幅桿中間段長度和大小兩端長度的增大而減小，理論計算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果比較一致，誤差較小，表明理論計算的正確性。

▲圖3 變幅桿振幅變化曲線

▲圖4 圓環(huán)板振幅變化曲線

▲圖5 變幅桿振幅仿真變化曲線

▲圖6 圓環(huán)板振幅仿真變化曲線

表3 系統(tǒng)諧振頻率隨圓環(huán)板厚度變化數(shù)據(jù)

表4 系統(tǒng)諧振頻率隨圓環(huán)板外徑變化數(shù)據(jù)

表5 系統(tǒng)諧振頻率隨變幅桿兩端半徑變化數(shù)據(jù)

由表3可以看到，在其它參數(shù)不變的情況下，隨著圓環(huán)厚度的增大，復(fù)合變幅器的諧振頻率增大。由表4可以看到，在其它參數(shù)不變的情況下，隨著圓環(huán)板外徑的增大，復(fù)合變幅器的諧振頻率減小。由表5可以看到，當變幅桿大小端半徑比值保持不變時，系統(tǒng)諧振頻率隨兩端半徑的增大而增大，理論計算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果基本一致，但是圓環(huán)彎振頻率與計算值及仿真值相差較大，這充分體現(xiàn)了非諧設(shè)計理論的正確性。

6 測試

為驗證理論分析和有限元仿真結(jié)果的正確性，按照所設(shè)計的復(fù)合變幅器結(jié)構(gòu)尺寸，采用45號鋼加工復(fù)合變幅器簡化模型，用螺母連接圓環(huán)板和圓錐形變幅桿，用阻抗分析儀進行測試。在計算機軟件中選擇串口為COM1，輸入起始頻率為29 kHz，終止頻率為31 kHz，選擇坐標系為對數(shù)坐標系，精度等級為Normal。掃描結(jié)束后，得到測試結(jié)果，如圖7所示。由圖7可知，導(dǎo)納圓為單圓，對數(shù)坐標只有一對極大值和極小值，被測變幅器的導(dǎo)納曲線正常，表明被測變幅器振動性能良好，其諧振頻率為30.537 kHz，與設(shè)計頻率誤差為1.79%，誤差值在工程應(yīng)用允許范圍之內(nèi)。

▲圖7 復(fù)合變幅器測試結(jié)果

7 結(jié)論

基于Mindlin中厚板理論，推導(dǎo)了應(yīng)用傳遞矩陣法計算由圓環(huán)板與圓錐形變幅桿組合的超聲珩齒復(fù)合變幅器諧振頻率方程，對振動特性進行了研究，分析了變幅器各參數(shù)對系統(tǒng)諧振頻率的影響，結(jié)果表明理論計算和有限元仿真及測試結(jié)果基本一致，系統(tǒng)頻率隨變幅桿各段長度的增大而減小，隨圓環(huán)板厚度的增大而增大，隨圓環(huán)板外徑的增大而減小，此結(jié)果可為復(fù)合變幅器的實際應(yīng)用提供參考，同時也表明基于傳遞矩陣法設(shè)計的復(fù)合變幅器達到了生產(chǎn)應(yīng)用要求。筆者所述方法是一種有效的變幅器設(shè)計方法，可用于超聲珩齒振動系統(tǒng)動力學(xué)特性的研究。