快速雙非凸回歸算法及其電力數(shù)據(jù)預(yù)測應(yīng)用

王鋒華，成敬周，文凡

（1. 國網(wǎng)浙江省電力公司，浙江 杭州 310000; 2. 國網(wǎng)浙江省電力公司 經(jīng)濟(jì)技術(shù)研究院，浙江 杭州 310000）

電網(wǎng)是加快工業(yè)進(jìn)步、提高居民生活質(zhì)量、保持社會(huì)穩(wěn)定健康發(fā)展的基礎(chǔ)。因此，電網(wǎng)的發(fā)展具有重要的意義。電網(wǎng)企業(yè)的責(zé)任是確保安全、經(jīng)濟(jì)、清潔和可持續(xù)的能源供應(yīng)，從而為社會(huì)、經(jīng)濟(jì)的健康發(fā)展，人民生活水平的逐步提高保駕護(hù)航。其中，產(chǎn)能輸出和運(yùn)營指標(biāo)管理作為電網(wǎng)企業(yè)經(jīng)營活動(dòng)的中樞，是企業(yè)發(fā)展的重中之重，能對(duì)企業(yè)整體運(yùn)營狀況、管控經(jīng)營、監(jiān)控戰(zhàn)略產(chǎn)生實(shí)效。此外，通過挖掘數(shù)據(jù)資產(chǎn)的潛在價(jià)值，不僅能提升企業(yè)各部門的專業(yè)管理能力，而且還能促進(jìn)企業(yè)安全、有序、健康、高效地運(yùn)營，對(duì)決策制定發(fā)揮重要的輔助作用。然而，確定和下達(dá)經(jīng)營決策的合理性取決于預(yù)測這些指標(biāo)未來變化情況的準(zhǔn)確性，由于預(yù)測電網(wǎng)企業(yè)運(yùn)行運(yùn)營指標(biāo)是面向未來的，且影響指標(biāo)變化的因素較多，因此預(yù)測過程具有很大的隨機(jī)性和不確定性。結(jié)合電網(wǎng)企業(yè)的實(shí)際情況設(shè)計(jì)合適的預(yù)測方法，將直接關(guān)系到預(yù)測實(shí)施的精度。

目前，常用的傳統(tǒng)預(yù)測方法有指數(shù)平滑法(exponential smoothing，ES)[1]、線性回歸分析法(linear regression analysis，LRA)[2]、時(shí)間序列法(time series method，TS)[3]等，ES 認(rèn)為時(shí)間序列的態(tài)勢具有穩(wěn)定性或規(guī)則性，所以時(shí)間序列可被合理地順勢推延，且它認(rèn)為最近的過去態(tài)勢，在某種程度上會(huì)持續(xù)到未來，所以將較大的權(quán)數(shù)放在最近的資料上。LRA利用稱為線性回歸方程的最小平方函數(shù)對(duì)一個(gè)或多個(gè)自變量和因變量之間的關(guān)系進(jìn)行建模的一種回歸分析。TS則通過編制和分析時(shí)間序列，根據(jù)時(shí)間序列所反映出來的發(fā)展過程、方向和趨勢，進(jìn)行類推或延伸，借以預(yù)測下一段時(shí)間或以后若干年內(nèi)可能達(dá)到的水平。雖然這些傳統(tǒng)方法在預(yù)測應(yīng)用中略有成效，但是它們預(yù)測對(duì)象單一、過度依賴歷史數(shù)據(jù)，且無法考慮到未來預(yù)測過程中存在的不確定性因素。

因此，針對(duì)以上問題，一些學(xué)者嘗試將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用到預(yù)測中去，使得預(yù)測系統(tǒng)具有一定的智能信息處理能力，取得了不錯(cuò)的預(yù)測效果。但是，由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)采用的是經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則，容易陷入局部極小點(diǎn)且收斂速度慢，這極大地限制了該方法在實(shí)際過程中的應(yīng)用?；谥С窒蛄繖C(jī)的預(yù)測模型[4]很好地克服了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的這一缺點(diǎn)，SVM采用結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則，整個(gè)求解過程轉(zhuǎn)化為凸二次規(guī)劃問題，能得到全局最優(yōu)解。但是，由于SVM是借助二次規(guī)劃來求解支持向量，而求解二次規(guī)劃將涉及m階矩陣的計(jì)算(m為樣本的個(gè)數(shù))，當(dāng)m數(shù)目很大時(shí)該矩陣的存儲(chǔ)和計(jì)算將耗費(fèi)大量的機(jī)器內(nèi)存和運(yùn)算時(shí)間。因此，其不適用于大規(guī)模訓(xùn)練樣本。

為此，本文提出一種雙非凸回歸(double nonconvex regression，DNR)算法用于標(biāo)量電力數(shù)據(jù)預(yù)測。該方法首先將稀疏編碼技術(shù)[5]轉(zhuǎn)化為回歸預(yù)測應(yīng)用，再采用lp范數(shù)替換原始的重構(gòu)誤差l2范數(shù)以及表示系數(shù)l1范數(shù)等約束，以獲得更為靈活的模型目標(biāo)泛函形式。最后，利用交替方向乘子法(alternating direction method of multipliers，ADMM)[6]優(yōu)化求解目標(biāo)函數(shù)；其中，為獲得快速的子問題優(yōu)化效果，提出一種改進(jìn)的迭代閾值方法用于求解lp約束子問題，保證全局最優(yōu)解并可實(shí)現(xiàn)并行實(shí)施方案。在電網(wǎng)企業(yè)運(yùn)行運(yùn)營指標(biāo)真實(shí)數(shù)據(jù)上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法切實(shí)可行，且具有很高的預(yù)測精度。

1 雙非凸回歸算法

稀疏編碼技術(shù)[5]已在模式識(shí)別領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用，其通過誤差平方最小化和稀疏性范數(shù)約束搜尋目標(biāo)量的最佳逼近系數(shù)。原始的稀疏回歸模型可以描述為

遺憾的是，受l0偽范數(shù)約束影響，最小化式(1)是一個(gè)NP難問題，僅能在有限樣本集中運(yùn)行實(shí)施[7]。一般將之調(diào)整為Lasso問題，即通過l1范數(shù)替換l0范數(shù)

已有理論表明，在一定的不連貫條件下[7]，l1最小化問題很大概率等價(jià)于l0最小化問題。而且，l1范數(shù)是最逼近于l0范數(shù)的凸約束形式，有利于模型的優(yōu)化求解。

此外，式(1)和式(2)中所采用的l2范數(shù)最小化重構(gòu)誤差僅適合于高斯分布噪聲環(huán)境[8-9]。為適應(yīng)特定的樣本或特征干擾，常采用等價(jià)于拉普拉斯分布的l1范數(shù)約束進(jìn)行誤差最小化[5]，即

然而，當(dāng)矩陣A的不連貫條件無法滿足，或重構(gòu)誤差并不適應(yīng)于常規(guī)的高斯分布或拉普拉斯分布時(shí)，模型(3)的求解結(jié)果往往是次優(yōu)的。針對(duì)此問題，本文采用lp范數(shù)(p∈(0, 1]))替換式(3)中的l1范數(shù)約束，即

為便于區(qū)分，在重構(gòu)誤差中以符號(hào)q表示lp范數(shù)約束。式(4)為本文所提回歸模型的目標(biāo)函數(shù)，對(duì)誤差項(xiàng)和正則項(xiàng)都采用非凸函數(shù)約束，因此稱之為雙非凸回歸算法(double nonconvex regression, DNR)，其中對(duì)α約束lp范數(shù)較l1更接近于l0，使得重構(gòu)系數(shù)α具有更強(qiáng)的稀疏性；對(duì)誤差約束lp范數(shù)使之更貼近于橢圓分布[10]，具有較高斯分布和拉普拉斯分布更為寬泛的適用范圍。

2 模型優(yōu)化求解

針對(duì)常規(guī)的單lp約束稀疏回歸問題，迭代重加權(quán)最小二乘(IRLS)[11]、迭代重加權(quán)l(xiāng)1最小化(IRL1)[12]、交替方向乘子[6]以及迭代閾值收縮(IST)[13]等求解算法都得到了成功應(yīng)用。然而，對(duì)于式(4)所示雙非凸約束模型，所述求解算法都無法直接應(yīng)用。如果強(qiáng)行將迭代重加權(quán)型算法擴(kuò)展為雙加權(quán)凸約束形式，所得解也非常容易陷入局部最優(yōu)；ADMM算法能夠進(jìn)行有效地多變量拆分，但是要求各子優(yōu)化問題具有閉式解或快速求解策略；IST具有高效的收斂性能，但前提需將目標(biāo)函數(shù)中的觀測矩陣A變換至正交形式。結(jié)合所述分析，本節(jié)采用ADMM算法和IST算法融合策略進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)式(4)的求解優(yōu)化。首先，通過ADMM變量拆分，獲得部分子問題的閉式解；其次，提出改進(jìn)的迭代閾值算法進(jìn)行非凸子問題優(yōu)化；最后，給出完整的模型求解算法并分析其運(yùn)算復(fù)雜度。

2.1 ADMM變量拆分

考慮到DNR模型包含兩個(gè)非凸lp范數(shù)約束，需要引入兩個(gè)輔助變量用于問題簡化，將式(4)轉(zhuǎn)化為等價(jià)約束優(yōu)化式

并得到其增廣拉格朗日形式

式中：μe、μβ＞0 為懲罰參數(shù)，γe和 γβ為拉格朗日乘子系數(shù)。根據(jù)ADMM變量分離規(guī)則，式(6)包含以下迭代步驟：

1) 固定 α 和 γβ，βk+1的更新子問題為

2) 固定 α 和 γe，ek+1的更新子問題為

3) 固定 e、β、γe和 γβ，αk+1的更新子問題為

4) 根據(jù)計(jì)算所得的 β、e 和 α1，更新 γe和 γβ

上述迭代步驟中，式(10)是ADMM固有的乘子升級(jí)規(guī)則。式(9)通過微分后可得αk+1的解析解：

式中：在給定μe和μβ的前提下，逆算子C=(μeATA+μβI)-1是常量，可提前計(jì)算并緩存，加速算法的求解效率。因此，非凸子問題(7)和(8)是求解式(6)的關(guān)鍵步驟?？紤]到p次lp范數(shù)約束的可疊加性，式(7)和式(8)得以分解成獨(dú)立且并行可解的標(biāo)量子問題：

當(dāng)p=1時(shí)，可由經(jīng)典的軟閾值算法[14]進(jìn)行有效求解。針對(duì)本文的非凸情況 (0＜p＜1)，IRLS、IRL1、IST等求解算法都存在局部次優(yōu)解的缺陷。如圖 1所示，當(dāng) σ=0.9，p=0.2且 λ=1時(shí)，IRLS、IRL1和IST都陷入了局部最小值。為解決該問題，本文提出一種改進(jìn)的閾值迭代方法，在保證高效求解的同時(shí)能夠獲得全局最優(yōu)值。

圖 1 幾種算法對(duì)典型非凸問題式(12)的最優(yōu)解Fig. 1 Several algorithms for the optimal solution to the typical nonconvex problem in formula (12)

2.2 改進(jìn)的迭代閾值優(yōu)化算法

根據(jù)式(12)的對(duì)稱性以及閾值收縮規(guī)則[13]，當(dāng) σ＞0 時(shí)，最優(yōu)解范圍為[0, σ]；當(dāng) σ＜0 時(shí)，最優(yōu)解范圍為[σ, 0]。不失一般性，本節(jié)僅考慮σ＞0的情形。設(shè)p=0.6，λ=2.5，圖2給出了不同σ值下的f(δ)最優(yōu)解情況。由圖2中可見，f (δ)的最小值取決于某臨界 σ 值 τσ，當(dāng) σ＜τσ時(shí)，minf (δ)位于 δ=0；當(dāng) σ≥τσ時(shí)，minf (δ)位于 δ＞0 的某個(gè)點(diǎn)。因此，求解式(12)的核心由τσ和δ兩個(gè)關(guān)鍵值確定。

圖 2 不同σ值下非凸問題f (δ)的最優(yōu)解Fig. 2 The optimal solution of non-convex problem f (δ)under different σ values

式(12)的一階和二階微分別為

設(shè) f"(δ(λ,p))=0，可得 δ(λ,p)=(λp(1-p))1/(2-p)。結(jié)合圖2 可知，當(dāng) δ∈(0, δ(λ,p))時(shí)，f(δ)是凹函數(shù)；當(dāng) δ∈(δ(λ,p), +∞)時(shí)，則 f(δ)是凸函數(shù)。進(jìn)一步，為保證f(δ)在 (δ(λ,p), +∞)具有最小值，需滿足 f'(δ(λ,p))≤0，文獻(xiàn)[13]令 f'(δ(λ,p))=0 并計(jì)算出 τσIST用于迭代閾值求解。然而，該閾值設(shè)法存在問題，如圖1所示，IST計(jì)算所得的解滿足上述所有規(guī)則，且時(shí)保證

在 (δ(λ,p), +∞)中具有唯一的最小值。然而，f(δ*)具體取值依然高于 f(0)。

從圖 2 可見，存在特定的 τσ使得 f(δ*)=f(0)，當(dāng)σ＜τσ時(shí)，δ=0 為 f(δ)的最小值；當(dāng) σ≥τσ時(shí)，f(δ)最小值在δ＞0的某個(gè)位置。因此，正確的閾值τσ和δ*計(jì)算公式應(yīng)該為

將式(17)中的τσ值代入式(16)可得

其最優(yōu)解 δ*∈(δ(λ,p), +∞)為 δ*=(2λp(1-p))1/(2-p)，并可進(jìn)一步計(jì)算出τσ為

根據(jù)式(15)和式(19)，所提的迭代閾值規(guī)則如算法1描述。算法1主要更改了閾值計(jì)算策略，基本步驟與文獻(xiàn)[13]類似，當(dāng)J=2時(shí)能夠獲得令人滿意的收斂結(jié)果。

結(jié)合算法1與ADMM優(yōu)化框架，完整的DNR優(yōu)化步驟按式(7)～(10)循環(huán)進(jìn)行，具體的收斂條件按文獻(xiàn)[6]設(shè)定。值得注意的是，式(7)與式(8)由算法1并行計(jì)算實(shí)施，其計(jì)算復(fù)雜度僅為O(n)，而式(9)的計(jì)算復(fù)雜度在逆算子緩存的前提下為O(max(n2, nm))。假設(shè)ADMM迭代次數(shù)為t，則完整的算法復(fù)雜度為O(tnmax(n, m))，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于IRLS、IRL1等算法的O(n3)。

算法1 改進(jìn)的迭代閾值規(guī)則

輸入 參數(shù) σ，λ ，p，J；

輸出 δ*。

1) 按式 (19)計(jì)算 τσ值；

2) 如|σ|＜τσ；則令 δ*=0；

3) f反之，令 k=0，δk=σ；

3 實(shí)驗(yàn)分析

分別對(duì)電力企業(yè)運(yùn)行中的全負(fù)荷電能輸出(兆瓦時(shí))以及運(yùn)營指標(biāo)中的月利潤總額進(jìn)行預(yù)測。首先對(duì)電力企業(yè)的產(chǎn)能輸出和運(yùn)營數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，然后將所提算法與經(jīng)典的SVM[15]、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[16]和非凸非光滑約束NNR方法[7]進(jìn)行精度對(duì)比。

3.1 電能輸出預(yù)測

通過某電力企業(yè)復(fù)循環(huán)動(dòng)力裝置(包括兩個(gè)燃?xì)鉁u輪，一個(gè)汽輪機(jī)以及兩個(gè)熱回收系統(tǒng))6年運(yùn)行數(shù)據(jù)作為預(yù)測樣本，共含該企業(yè)全負(fù)荷運(yùn)行674天所產(chǎn)生的9 568個(gè)采樣點(diǎn)，樣本特征包括環(huán)境溫度(AT)、大氣壓力(AP)、相對(duì)濕度(RH)、排汽壓力(V) 4個(gè)維度。隨機(jī)選擇{10%, 20%, 30%,40%, 50%}個(gè)采集數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，其余作為測試數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)精度由絕對(duì)誤差均值(MAE)和均方誤差(RMSE)兩者表示，其計(jì)算式分別為

式中：p和r分別為預(yù)測值和真實(shí)值，n為測試樣本總量。

表1給出了SVM、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、NNR以及DNR三種對(duì)比算法在不同訓(xùn)練樣本量下的預(yù)測精度對(duì)比，其中DNR的參數(shù)值p=q=1。從表1可見，DNR算法在不同的訓(xùn)練數(shù)下都具有最低的誤差均值和均方誤差值，展示了更為優(yōu)秀的預(yù)測精度。而且，DNR算法在30%～50%訓(xùn)練樣本量下的精度非常接近，MAE基本穩(wěn)定在4.95左右，而BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、SVM和NNR在不同樣本量下的預(yù)測值跨度相對(duì)較大，說明DNR具有更高的算法穩(wěn)定性，對(duì)輸入訓(xùn)練樣本量要求更小。同時(shí)，DNR計(jì)算所得的AT、AP、RH、V這4個(gè)特征表示系數(shù)絕對(duì)值分別為 0.767、0.085、0.102、0.426，即 4個(gè)特征的預(yù)測貢獻(xiàn)度依次為AT＞V＞RH≈AP，與文獻(xiàn)[17]的理論分析結(jié)果吻合。此外，SVM、BP、NNR、DNR 3種算法在50%訓(xùn)練量下的完整預(yù)測時(shí)間分別為 2.91 s、0.48 s、0.32 s和 0.06 s，可見 DNR 具有明顯更高的運(yùn)行效率。最后，表2和表3分別給出了DNR算法在不同p、q值下的預(yù)測精度。從中可見，隨著p、q值的優(yōu)選變化，DNR的預(yù)測精度得以進(jìn)一步提升，驗(yàn)證了非凸約束的優(yōu)越性，且最優(yōu)值處于 p、q∈[0.5, 0.8]，與文獻(xiàn)[18]的理論結(jié)論吻合。

表 1 電能輸出預(yù)測精度對(duì)比Table 1 Comparison of prediction accuracy of energy output

表 2 DNR算法不同q值下的電能輸出預(yù)測精度Table 2 Predicting accuracy of energy output in different q of DNR algorithm

表 3 DNR算法不同p值下的電能輸出預(yù)測精度Table 3 DNR algorithm power output prediction accuracy in different p

3.2 運(yùn)營數(shù)據(jù)預(yù)測

選取某電網(wǎng)企業(yè)自2013年1月—2014年12月期間的流動(dòng)資產(chǎn)周轉(zhuǎn)率(次)，購電成本(萬元)，可控費(fèi)用(萬元)，貨幣資金，主營業(yè)務(wù)利潤率，單位資產(chǎn)售電量，每萬元電網(wǎng)資產(chǎn)運(yùn)行維護(hù)成本等真實(shí)數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本集，2015年1月—2015年12月期間的運(yùn)營指標(biāo)數(shù)據(jù)作為測試樣本集。表4為部分訓(xùn)練樣本集數(shù)據(jù)。

表 4 部分訓(xùn)練樣本集數(shù)據(jù)Table 4 Partial training sample data set

實(shí)驗(yàn)中通過DNR、SVM、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和NNR這3種預(yù)測方法對(duì)2013年1月—2014年12月連續(xù)2年的月利潤總額進(jìn)行擬合，對(duì)2015年1月—2015年12月1年的月利潤總額進(jìn)行預(yù)測，并比較三者的預(yù)測精度，其結(jié)果如圖3～6以及表5所示。

圖 3 DNR對(duì)訓(xùn)練樣本的擬合效果及對(duì)測試樣本的預(yù)測效果對(duì)比Fig. 3 Comparison of the fitting effect of DNR on training samples and the prediction effect of test samples

由圖3可知，DNR對(duì)24個(gè)月數(shù)據(jù)的擬合值基本貼合原始值的走勢，表現(xiàn)出優(yōu)秀的擬合能力。圖4中SVM的擬合能力一般，特別是第1個(gè)月～第11個(gè)月的擬合值與原始值相差較大。圖5中BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)數(shù)據(jù)的擬合值符合原始值的一般走向，只是在數(shù)值上存在一定程度上的等比例縮小。由圖6可以看出NNR的擬合和預(yù)測誤差較大。而對(duì)于DNR、SVM和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測效果，通過圖3～6的預(yù)測對(duì)比可知DNR更為接近地預(yù)測出了2015年1月—2015年10月的月利潤總額。雖然其對(duì)11月～12月這兩個(gè)月的數(shù)據(jù)預(yù)測不甚理想，但整體利潤趨勢與實(shí)際值吻合。相較而言，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)這兩個(gè)月的數(shù)據(jù)預(yù)測較精準(zhǔn)，但1月～4月的預(yù)測值卻與實(shí)際值相差甚遠(yuǎn)。SVM的預(yù)測值與實(shí)際值雖大致在同一數(shù)值層上，但整體預(yù)測值離精確點(diǎn)相去較遠(yuǎn)。此外，NNR雖與實(shí)際值走勢相似，但存在多個(gè)嚴(yán)重偏離真實(shí)值的預(yù)測值。

圖 4 SVM對(duì)訓(xùn)練樣本的擬合效果及對(duì)測試樣本的預(yù)測效果對(duì)比Fig. 4 Comparison of test samples and training samples’s fitting effect by SVM

圖 5 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)訓(xùn)練樣本的擬合效果及對(duì)測試樣本的預(yù)測效果對(duì)比Fig. 5 Comparison of test samples and training samples’s fitting effect by BP neural network

圖 6 NNR對(duì)訓(xùn)練樣本的擬合效果及對(duì)測試樣本的預(yù)測效果對(duì)比Fig. 6 Comparison of test samples and training samples’s fitting effect by NNR

表 5 DNR、SVM、BP和NNR在運(yùn)營數(shù)據(jù)中的預(yù)測對(duì)比Table 5 Predictive comparison of DNR, SVM, BP and NNR in operational data

綜上所述，DNR和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在運(yùn)營數(shù)據(jù)中對(duì)訓(xùn)練樣本的擬合效果優(yōu)于SVM。雖然DNR和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的擬合效果接近，但對(duì)于測試樣本的預(yù)測結(jié)果對(duì)比圖中明顯可以看出，DNR的預(yù)測結(jié)果最佳。NNR因?yàn)榇嬖诙鄠€(gè)高偏離度的預(yù)測點(diǎn)而次于SVM。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測效果最差。

此外，由表5可知，不論訓(xùn)練樣本還是測試樣本，DNR的MEA和RMSE值均小于SVM BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和NNR的誤差均值和均方差，再次驗(yàn)證了圖3～6的擬合效果和預(yù)測效果，并且DNR的運(yùn)行時(shí)間(單位：s)也遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于SVM、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和NNR。

4 結(jié)束語

電網(wǎng)企業(yè)運(yùn)行和運(yùn)營數(shù)據(jù)預(yù)測是一個(gè)極為復(fù)雜的課題，數(shù)據(jù)采集過程中儀器老化產(chǎn)生的測量誤差、人工疏忽導(dǎo)致的漏檢誤標(biāo)等因素使得預(yù)測過程具有很大的隨機(jī)性和不確定性。本文提出一種稱為非凸回歸的預(yù)測算法，改進(jìn)了經(jīng)典稀疏回歸法中的模型約束形式，對(duì)重構(gòu)誤差和稀疏系數(shù)引入lp(0＜p≤1)正則化項(xiàng)約束，使之包含更為稀疏的目標(biāo)項(xiàng)并具有更為靈活的擴(kuò)展應(yīng)用能力。通過交替方向乘子法對(duì)該回歸模型進(jìn)行求解，并對(duì)其中的子問題提出一種新的閾值優(yōu)化規(guī)則，確保目標(biāo)函數(shù)具有快速的非凸優(yōu)化求解能力。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與支持向量機(jī)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和非凸約束算法NNR相比，本文所提方法具有較高的預(yù)測精度和更好的預(yù)測效果，且運(yùn)行效率高。