高中數(shù)學(xué)排列組合常用的解題方法探討

張楠

摘 要 排列組合作為高中數(shù)學(xué)的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容，同時(shí)也是高考必考的知識點(diǎn)，對于高中階段的學(xué)生而言至關(guān)重要。就目前來看許多學(xué)生在解決排列組合問題時(shí)思路不夠開闊，無法及時(shí)解決問題，導(dǎo)致教學(xué)效率難以提高。因此，本文分析高中數(shù)學(xué)排列組合常用的解題方法，從而進(jìn)一步提高學(xué)生的解題能力。

關(guān)鍵詞 高中數(shù)學(xué) 排列組合 解題方法

1間接法

即部分符合條件排除法，采用正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)換的策略。為求完成某件事的方法種數(shù)，如果我們分步考慮時(shí)，會出現(xiàn)某一步的方法種數(shù)不確定或計(jì)數(shù)有重復(fù)，就要考慮用分類法，分類法是解決復(fù)雜問題的有效手段，而當(dāng)正面分類情況種數(shù)較多時(shí)，則就考慮用間接法計(jì)數(shù)。

例如 ：從6名男生，5名女生中任選4人參加競賽，要求男女至少各1名，有多少種不同的選法？

A.240 B.310 C.720 D.1080 正確答案 ：B

解析 ：此題從正面考慮的話情況比較多，如果采用間接法，男女至少各一人的反面就是分別只選男生或者女生，這樣就可以變化成 C（11，4）-C（6，4）-C（5，4）=310。

2特殊優(yōu)先法

特殊元素，優(yōu)先處理；特殊位置，優(yōu)先考慮。位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法，若以元素分析為主，需先安排特殊元素，再處理其它元素。若以位置分析為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其它位置。若有多個(gè)約束條件，往往是考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)還要兼顧其它條件。

例如：從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項(xiàng)不同的工作，若其中甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，則不同的選派方案共有（ ）。

A.280種 B.96種 C.180種 D.240種 正確答案 ：D

解析：由于甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，所以翻譯工作就是“特殊”位置，因此翻譯工作從剩下的四名志愿者中任選一人有 C（4，1）=4種不同的選法，再從其余的5人中任選3人從事導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔三項(xiàng)不同的工作有 A（5，3）=10種不同的選法，所以不同的選派方案共有 C（4，1）譇（5，3）=240種，所以選 D。

3捆綁法

所謂捆綁法，指在解決對于某幾個(gè)元素要求相鄰的問題時(shí)，先整體考慮，將相鄰元素視作一個(gè)整體參與排序，然后再單獨(dú)考慮這個(gè)整體內(nèi)部各元素間的順序。注意 ：要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問題，可以用捆綁法來解決問題。即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素，再與其它元素一起作排列，同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列。

例如：5個(gè)男生和3個(gè)女生排成一排，3個(gè)女生必須排在一起，有多少種不同排法？

A.240 B.320 C.450 D.480 正確答案 ：B

解析：采用捆綁法，把3個(gè)女生視為一個(gè)元素，與5個(gè)男生進(jìn)行排列，共有 A（6，6）=6？？？？種，然后3個(gè)女生內(nèi)部再進(jìn)行排列，有 A（3，3）=6種，兩次是分步完成的，應(yīng)采用乘法，所以排法共有 ：A（6，6）譇（3，3）=320（種）。

4插空法

所謂插空法，指在解決對于某幾個(gè)元素要求不相鄰的問題時(shí)，先將其他元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置。注意 ：（1）首要特點(diǎn)是不鄰，其次是插空法，一般應(yīng)用在排序問題中 ；（2） 將要求不相鄰元素插入排好元素時(shí)，要注釋是否能夠插入兩端位置 ；（3）對于捆綁法和插空法的區(qū)別，可簡單記為“相鄰問題捆綁法，不鄰問題插空法”。

例如：若有甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)人排隊(duì)，要求甲和乙兩個(gè)人必須不站在一起，且甲和乙不能站在兩端，則有多少種排隊(duì)方法？

A.9 B.15 C.12 D.20 正確答案 ：C

解析：先排好丙、丁、戊三個(gè)人，然后將甲、乙插到丙、丁、戊所形成的兩個(gè)空中，因?yàn)榧住⒁也徽緝啥?，所以只有兩個(gè)空可選，方法總數(shù)為 A（3，3）譇（2，2）=12種。

5插板法

所謂插板法，指在解決若干相同元素分組，要求每組至少一個(gè)元素時(shí)，采用將比所需分組數(shù)目少的板插入元素之間形成分組的解題策略。需要注意的是其首要特點(diǎn)是元素相同，其次是每組至少含有一個(gè)元素，一般用于組合問題中。

例如：將8個(gè)完全相同的球放到3個(gè)不同的盒子中，要求每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，一共有多少種方法？

A.28 B.24 C.32 D.48 正確答案 ：A

解析：解決這道問題只需要將8個(gè)球分成三組，然后依次將每一組分別放到一個(gè)盒子中即可。因此問題只需要把8個(gè)球分成三組即可，于是可以將8個(gè)球排成一排，然后用兩個(gè)板插到8個(gè)球所形成的空里，即可順利的把8個(gè)球分成三組。其中第一個(gè)板前面的球放到第一個(gè)盒子中，第一個(gè)板和第二個(gè)板之間的球放到第二個(gè)盒子中，第二個(gè)板后面的球放到第三個(gè)盒子中去。因?yàn)槊總€(gè)盒子至少放一個(gè)球，因此兩個(gè)板不能放在同一個(gè)空里且板不能放在兩端，于是其放板的方法數(shù)是 C（8，2）=28種。

6總結(jié)

排列組合是高中生數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，雖然總體難度不高，但是對于學(xué)生的邏輯思維能力與審題能力都提出了較高的要求，學(xué)生容易在解題時(shí)出現(xiàn)問題。為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率與質(zhì)量，要重視引導(dǎo)學(xué)生對自身學(xué)習(xí)思維理念的認(rèn)識，引導(dǎo)學(xué)生主動分析探討數(shù)學(xué)問題，還可以定期實(shí)施針對性訓(xùn)練、加強(qiáng)學(xué)生思維訓(xùn)練力度、對概念理解不斷深化、適當(dāng)進(jìn)行課后反思等，為高中數(shù)學(xué)排列組合教學(xué)效果的有效提升奠定重要基礎(chǔ)。