2017年全國Ⅲ卷文科數(shù)學(xué)第17題試題分析和教學(xué)建議

何清平

摘 要 從全國卷試題與四川卷試題的差異，試題的多個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)和試題的多維度的解法對(duì)2017全國Ⅲ卷文科數(shù)學(xué)17題進(jìn)行分析。

關(guān)鍵詞 易錯(cuò)點(diǎn) 數(shù)列 解法

中圖分類號(hào)：G633.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

2017年是四川省高考科目全面回歸全國卷的第一年，數(shù)學(xué)試題使用的是全國（Ⅲ）卷。無論是老師還是考生都對(duì)全國卷充滿了期待。接下來我就今年全國（Ⅲ）卷文科數(shù)學(xué)試題第17題數(shù)列作簡(jiǎn)要分析，希望能對(duì)老師和考生有所幫助。

1試題呈現(xiàn)

（2017.全國Ⅲ.文17）

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+3a2+…+（2n1）an=2n。

（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和。

2試題評(píng)價(jià)

本題主要考查數(shù)列的概念、數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的含義等基礎(chǔ)知識(shí)，通過遞推式作差、an和sn關(guān)系式等求數(shù)列通項(xiàng)和裂項(xiàng)相消求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考察函數(shù)與方程，轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想。本題采用遞推式的設(shè)問方式，層層遞進(jìn)，第一小題和第二小題連貫性強(qiáng)，邏輯性強(qiáng)，屬于中等題。

今年試題與四川卷的命題風(fēng)格有一定的區(qū)別：四川卷是從數(shù)列的概念、通項(xiàng)和前n項(xiàng)和出發(fā)或者已知中間數(shù)列以此為入口。而 （Ⅲ）卷中是采用構(gòu)建遞推式求通項(xiàng)的考查形式，這樣的考查方法新穎，創(chuàng)新度高，為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)指引方向，也能充分考察學(xué)生綜合分析問題、解決問題的能力，靈活處理知識(shí)與知識(shí)銜接的問題的能力。然而這也造成部分對(duì)數(shù)列知識(shí)掌握不全面、思維不靈活的考生在這道題上的得分率偏低。同時(shí)該題作為文科數(shù)學(xué)第一道大題，不僅導(dǎo)致該題的得分率偏低，也導(dǎo)致整套試卷在大題方面入口高，難度大。

緊扣教材，立足考綱，在教材的基礎(chǔ)上適當(dāng)創(chuàng)新來命制高考試題的理念和方法，充分體現(xiàn)回歸教材、來源于教材的指導(dǎo)思想，引導(dǎo)我們中學(xué)教學(xué)應(yīng)重視教材、夯實(shí)雙基，也體現(xiàn)了新課標(biāo)和考綱的理念和要求。

3考生答題情況綜述

（Ⅰ）本題第一問解題方法比較多，考生主要采用如下幾種方法：

方法一：構(gòu)造遞推式作差：

解：形式1：當(dāng)n≥2時(shí)，a1+3a2+…+（2n3）an-1=2（n1）

形式2：由題知a1+3a2+…+（2n+1）an+1=2（n+1）

問題：（1）整個(gè)解題過程未求首項(xiàng)a1，未考慮項(xiàng)數(shù)n的取值范圍，未驗(yàn)證首項(xiàng)a1是否滿足n≥2的通項(xiàng)公式。原因是對(duì)數(shù)列的概念理解不透徹，犯了邏輯錯(cuò)誤。我們?cè)诮鉀Q數(shù)列問題時(shí)，首要需解決首項(xiàng)，其次是通項(xiàng)公式同時(shí)需要注意是否考慮到所有項(xiàng)。

（2）書寫遞推式時(shí)，不準(zhǔn)確：

遞推式構(gòu)造為a1+3a2+…+（2n2）an-1=2n1或a1+3a2+…+2nan+1=2n+1或3a1+5a2+…+（2n+1）an+1=2（n+1）或a1+a2 +3a3+…+（2n3）an-1=2（n1）

原因：部分考生在書寫遞推公式的時(shí)候，將遞推公式中的項(xiàng)數(shù)取值不準(zhǔn)確。而這部分考生出現(xiàn)思維定勢(shì)錯(cuò)誤，對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式和項(xiàng)數(shù)的實(shí)質(zhì)理解不透徹，面對(duì)新的數(shù)列機(jī)械套用公式。

方法二：構(gòu)造中間數(shù)列bn=（2n1）an，利用前n項(xiàng)和Sn與bn的關(guān)系解決通項(xiàng)公式。部分考生采用此方法，但在解題過程中出現(xiàn)兩種問題：（1）bn=SnSn-1=2n2（n1）=2n，這類考生主要是運(yùn)算錯(cuò)誤，運(yùn)算不準(zhǔn)確，運(yùn)算過程中沒有等價(jià)轉(zhuǎn)化。（2）因?yàn)镾n=a1+3a2+…+（2n1）an。所以an=SnSn-1=2。原因：對(duì)公式死記硬背，沒有領(lǐng)會(huì)公式的實(shí)質(zhì)，運(yùn)用時(shí)張冠李戴，機(jī)械式的照搬照抄，思維不夠靈活。

方法三：不完全歸納法。

問題和原因：部分考生選擇不完全歸納法，得出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。但是不完全歸納法是以有限數(shù)量的事實(shí)作為基礎(chǔ)而得出的一般性結(jié)論，這樣作出的結(jié)論不嚴(yán)謹(jǐn)。因此，還需利用數(shù)學(xué)歸納法證明所得結(jié)論。

本題第二問主要考查裂項(xiàng)相消求數(shù)列的前n項(xiàng)和。

4教學(xué)建議

高考的考查方向?qū)ξ覀冎袑W(xué)教學(xué)具有導(dǎo)向性。從今年全國（Ⅲ）卷文科數(shù)學(xué)的數(shù)列試題考查上就體現(xiàn)出考生在對(duì)數(shù)列的基本概念、原理上理解不透徹，存在偷換概念、混用公式的情況；對(duì)解決數(shù)列通項(xiàng)公式和求和方面的方法掌握不到位，思維定勢(shì)嚴(yán)重不能靈活的運(yùn)用公式、缺乏變通性；還反映出考生的運(yùn)算能力不足，運(yùn)算過程沒有進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化。

因此，教學(xué)中的幾點(diǎn)建議：

（1）注重教材，落實(shí)分層教學(xué)：重視基礎(chǔ)知識(shí)的歸納和方法點(diǎn)撥。回歸教材，研究課本例題、習(xí)題，發(fā)揮例題、習(xí)題功能。注重?cái)?shù)學(xué)概念、原理的講解，分層教學(xué)，及時(shí)檢查學(xué)生對(duì)概念、原理的理解和作業(yè)完成情況。

（2）教學(xué)設(shè)計(jì)要有直觀性、啟發(fā)性、符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，重視知識(shí)的生成過程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和抽象概括能力。

（3）加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)：在教學(xué)中，狠抓函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸、分類與整合、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)，比如：例題的設(shè)計(jì)需注重一題多解、一題多變。

（4）規(guī)范解答、強(qiáng)化運(yùn)算求解能力：在教學(xué)過程中，規(guī)范學(xué)生的解題書寫過程，明確答題點(diǎn)和得分點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)時(shí)間和答題空間的最優(yōu)化。加強(qiáng)定時(shí)訓(xùn)練，提升學(xué)生做題的速度、準(zhǔn)確率，實(shí)現(xiàn)計(jì)算能力的提升。

（5）重視課后輔導(dǎo)：課后輔導(dǎo)是課堂教學(xué)的繼續(xù)和補(bǔ)充，分層進(jìn)行培優(yōu)補(bǔ)差，及時(shí)檢查輔導(dǎo)效果。