基于改進的JC法求解結(jié)構(gòu)可靠度指標

明澤文，單德山，傅 杰

(西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，四川成都 610031)

為了對實際工程結(jié)構(gòu)進行可靠度分析研究，各國學(xué)者相繼提出了中心點法、JC法、映射變換法、近似概率極限狀態(tài)設(shè)計法等多種計算方法，但是目前使用最為廣泛還是JC法。JC法由Rackwitz和Fiessler[1]等提出，并已經(jīng)被國際安全度聯(lián)合委員會(JCSS)所推薦。從二十世紀初至今，JC法已經(jīng)逐步推廣到我國橋梁、建筑、巖土、港口和水利等各個領(lǐng)域的結(jié)構(gòu)可靠度分析中。

JC法的特點是能夠考慮非正態(tài)分布的隨機變量，其計算過程較為簡單，在滿足一般工程精度的條件下，能夠?qū)煽慷戎笜甩逻M行近似計算，而且還可以得到滿足極限狀態(tài)方程的“驗算點”設(shè)計值[2]。然而在實際工程的可靠度分析中，JC法經(jīng)常會出現(xiàn)迭代不收斂、收斂速度慢的情況，其大規(guī)模的應(yīng)用推廣具有一定的局限性。因此，本文將對JC法的基本計算原理進行分析，總結(jié)并找出影響其收斂性的原因，并提出適合的數(shù)學(xué)方法對其進行改進，使得改進之后的JC法具有更強的收斂性，能夠更好的應(yīng)用于實際工程結(jié)構(gòu)的可靠度分析和研究中。

1 JC法的基本原理

在工程結(jié)構(gòu)的可靠度分析中，永久荷載一般為正態(tài)分布，但是諸如截面抗力、風(fēng)壓、雪荷載、樓面活荷載等，一般服從其它類型的分布(如極值I型等)。因此，在使用JC法求解可靠度指標時，往往第一步就是要進行隨機變量的當量正態(tài)化[3]，也即將非正態(tài)隨機變量當量化為正態(tài)隨機變量。

1.1 隨機變量的當量正態(tài)化

一般情況下，結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程是由多個相互獨立的隨機變量X1,X2,…,Xn組成，如式( 1 )所示：

Z=gX(X1,X2,…,Xn)=0

(1)

由上述的兩個當量正態(tài)化條件，可以得到以下兩個重要公式[4]：

(2)

(3)

式中：φ為標準正態(tài)分布函數(shù)，φ為標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，φ-1為標準正態(tài)分布函數(shù)的反函數(shù)，uYi和σYi為正態(tài)分布隨機標量Yi的均值和標準差。經(jīng)過當量正態(tài)化之后，式(1)也隨之轉(zhuǎn)化為：

Z=gY(Y1,Y2,…,Yn)=0

(4)

1.2 可靠度指標的求解

在當量正態(tài)化的基礎(chǔ)上，可靠度指標β可由以下三個方程聯(lián)合求解得到[5]：

(5)

(6)

(7)

2 基于拉格朗日乘子法對JC法進行改進

2.1 JC法存在的問題

2.2 可靠度指標β的幾何意義

令：Hi=(Yi-uYi)/σYi，則Hi符合標準正態(tài)分布N(0,1)，由式(5)可以得到：

(8)

于是，由上式可以得到：

(9)

很明顯，式(9)表示的是在標準正態(tài)隨機變量Hi空間里面的法線式超平面方程，法線就是極限狀態(tài)曲面上設(shè)計驗算點(在Y空間里面就是點P*)到標準正態(tài)化空間中原點O的連線。其方向余弦為cosθHi，長度為β。因此，可靠度指標β等于標準正態(tài)化空間中坐標原點到極限狀態(tài)曲面的最短距離。從而求解β的關(guān)鍵在于如何在失效曲面上找到一個點，使它到坐標原點的距離最短。

2.3 基于拉格朗日乘子法對JC法進行改進

由上一小節(jié)得出的可靠度指標的幾何意義，可以發(fā)現(xiàn)，求解可靠度指標β相當于求解如下所示的最優(yōu)化問題：

(10)

在方程組式(10)中，Hi為標準正態(tài)分布隨機變量，其可由不服從標準正態(tài)分布的隨機變量Xi按照1.1小節(jié)所述進行當量正態(tài)化和標準正態(tài)化得到。gH(h1,h2,…,hn)=0是極限狀態(tài)方程(損傷狀態(tài)曲面)在標準正態(tài)化空間中的表達式。

下面根據(jù)拉格朗日乘子法[6]對方程組(10)進行最優(yōu)化求解。首先構(gòu)造一個如下所示的拉格朗日函數(shù)k(h)：

(11 )

在函數(shù)k(h)中，λ為拉格朗日乘子。要使得最優(yōu)化問題式(10)取最優(yōu)解，那么函數(shù)k(h)必須取極小值，則下面n+1個方程必須同時成立：

(12)

對于不同結(jié)構(gòu)的不同損傷模式，方程組式(12)可能是線性的，也可能是非線性的。則我們完全可以根據(jù)數(shù)值分析[7]的方法求解出上面的n+1元方程組的解，也即標準正態(tài)化空間中極限狀態(tài)曲面上距坐標原點距離最短的點H*：

H*={h1*,h2*,…,hn*}T

(13)

則可靠度指標為：

(14)

3 算例分析

在針對某鐵路簡支梁橋進行抗震性能評估時，已知其支座構(gòu)件發(fā)生輕微損傷[8]的極限狀態(tài)方程為：

式中：X1和X2均服從對數(shù)正態(tài)分布，其均值和標準差隨著水平向地震動PGA(單位：g)的大小變化而變化，具體見表 1。

表1 隨機變量Xi統(tǒng)計參數(shù)

求不同地震動PGA水平對應(yīng)的支座可靠度指標β。

按照2.3小節(jié)所述方法，首先通過當量正態(tài)化將隨機變量X1和X2轉(zhuǎn)換到服從正態(tài)分布的隨機變量Y1和Y2。由1.1小節(jié)可以求得Y1和Y2的均值和標準差見表 2。

表2 隨機變量Yi統(tǒng)計參數(shù)表

通過標準正態(tài)化：

Hi=(Yi-uYi)/σYi

表3 改進的JC法計算結(jié)果表

表4 JC法計算結(jié)果表

4 結(jié)論

傳統(tǒng)的JC法在求解可靠度指標的時候容易出現(xiàn)迭代不收斂、收斂速度過慢等問題。因此，本文通過研究可靠度指標β在標準正態(tài)化空間中的幾何意義的基礎(chǔ)上，結(jié)合拉格朗日乘子法建立最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，提出了一種求解可靠度指標的改進的JC法。并通過實際工程算例進行驗證，算例分析結(jié)果表明：本文提出的改進的JC法能夠很好地克服傳統(tǒng)JC法迭代不收斂、收斂速度過慢的問題，而且兼顧了計算方法的精度和效率，具有一定的優(yōu)越性，可以推廣到實際的工程應(yīng)用中。