淺談數(shù)形結(jié)合法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

楊永健

【摘? ? 要】數(shù)字和形狀組合中的“數(shù)字”和“形狀”是數(shù)學(xué)中最基本的兩個(gè)概念，它們是相反的和統(tǒng)一的。每一個(gè)數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的圖形，圖形也可以轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)。這是化抽象為具體的最佳方式，是高中生應(yīng)掌握的關(guān)鍵數(shù)學(xué)思維方法。本文將詳細(xì)闡述數(shù)形結(jié)合法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合? 高中數(shù)學(xué)? 運(yùn)用

中圖分類號(hào)：G4? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2018.20.128

“數(shù)形組合”是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方法之一。它讓思維方式在抽象和具體之間自由切換，既有數(shù)字的嚴(yán)謹(jǐn)性，又有圖形的直觀性，是優(yōu)化解題過(guò)程的重要途徑之一。那么，作為優(yōu)秀的高中數(shù)學(xué)老師，如何在教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，使它更容易被學(xué)生接受呢？我有以下幾點(diǎn)的運(yùn)用的方法，可以供讀者參考使用。

一、數(shù)形結(jié)合在函數(shù)問(wèn)題上的運(yùn)用

函數(shù)問(wèn)題一直是高中數(shù)學(xué)的重中之重，也是高考的必修的內(nèi)容。所謂“函數(shù)”，在數(shù)學(xué)中的定義是：給定一個(gè)數(shù)集A，假設(shè)其中的元素為x?，F(xiàn)在將對(duì)應(yīng)的定律f應(yīng)用于A中的元素x，表示為f（x），并且獲得另一個(gè)集合B.假設(shè)B中的元素為y。則y與x之間的等量關(guān)系可以用y=f（x）表示。我們稱這種關(guān)系為函數(shù)關(guān)系，簡(jiǎn)稱函數(shù)。所以，由函數(shù)的定義可知，函數(shù)問(wèn)題與數(shù)據(jù)之間有著很強(qiáng)邏輯關(guān)系，還包括了基本函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)等等。在解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)，我們可以使用“數(shù)形組合”的方法來(lái)激發(fā)學(xué)生思考。從圖形入手，運(yùn)用發(fā)散思維去找到其中的解題方案。那么，我在此給出一個(gè)例子來(lái)幫助讀者來(lái)理解數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用。如題目：“已知x屬于（2，4）問(wèn)：f（x）的最小值為多少？”在這個(gè)題目中，我們可以巧妙的利用一元二次函數(shù)在坐標(biāo)軸上的圖像來(lái)解決問(wèn)題，把這個(gè)函數(shù)的圖像畫(huà)在坐標(biāo)軸上，就明白了函數(shù)的趨勢(shì)和它的特殊點(diǎn)的位置，那么，函數(shù)在定義域中的最小值也可以很清楚的得到了，大大的簡(jiǎn)化的解題步驟，何樂(lè)而不為呢？

二、數(shù)形結(jié)合在方程中參數(shù)問(wèn)題上的運(yùn)用

隨著新課程理念在教育中的不斷推進(jìn)和深化，如何使學(xué)生明確數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要目標(biāo)，對(duì)于不同種類的題目、不同類型的題型，形成自己能夠靈活運(yùn)用的解題方法，逐步完善自己的解題思路，全面發(fā)展自己的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力就成了老師、學(xué)生最關(guān)心的問(wèn)題。眾所周知，方程中的參數(shù)問(wèn)題一直都是考試的重心。它是培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力和新型問(wèn)題的一種手段，有助于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維和發(fā)散思維能力。那么，在參數(shù)問(wèn)題中如何利用“數(shù)形結(jié)合”這一方法去思考問(wèn)題呢？在此，我不妨也來(lái)舉一個(gè)參數(shù)中的例子來(lái)說(shuō)明觀點(diǎn)。

比如題目：“如果√2x+1=x+m的等式有兩個(gè)不同的實(shí)根，那么找到m的值范圍。”在這道題目中，最讓老師和學(xué)生頭疼的就是如何處理這個(gè)關(guān)于x的方程。根據(jù)標(biāo)題，該等式包含兩個(gè)字母x和m，其中x是未知數(shù)，m是未知參數(shù)，對(duì)于此，我們可以將m視為已知數(shù)，則x為未知數(shù)，并且因?yàn)檫@是一個(gè)等式，所以左側(cè)和右側(cè)相等，并且使用“數(shù)形組合”的思維方法，我們?cè)谶@里可以假設(shè)左邊的根式為f（x），右邊的方程為g（x），那么，就成功的轉(zhuǎn)化為了f（x）=（x）的形式了，在數(shù)值軸上，我們可以很容易地繪制f（x）和g（x）的圖像。底數(shù)為2x+1的函數(shù)，g（x）是一個(gè)斜率為1且截距為m的直線，在xoy軸上，要使左右兩邊都相等，那么一定是兩個(gè)圖像有至少一個(gè)公共點(diǎn)，只有這樣才滿足是有根的條件，所以，思考到這里，我們便把一個(gè)數(shù)字性的函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了一個(gè)結(jié)合圖像處理的問(wèn)題了，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，明了化，便于學(xué)生理解和分析。這個(gè)問(wèn)題是典型函數(shù)，方程和不等式的綜合問(wèn)題。“數(shù)形組合”有利于思想的發(fā)展，解決問(wèn)題的過(guò)程清晰易懂，并能快速找到解決問(wèn)題的方法。

三、數(shù)形結(jié)合法在集合問(wèn)題上的運(yùn)用

在整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，首先要揭示的關(guān)鍵知識(shí)之一就是“集合”。集合問(wèn)題通常都是需要結(jié)合圖像去解決的，比如我們都很熟悉的Venn圖，數(shù)軸區(qū)間等等，所以由此可見(jiàn)，數(shù)形結(jié)合在集合問(wèn)題也是有著廣泛的運(yùn)用。下面，我也舉出一個(gè)例子來(lái)具體說(shuō)明在集合中的用法。比如題目：“設(shè)集合，Q={x/x≤1}，p={x/x2-3x-4<0}求出x的取值范圍?！北局黝}中提到的問(wèn)題是P和Q的集合，所謂的“集合”是元素即是P的元素，也要是Q中的元素，然后我們?cè)賮?lái)看看已知條件，由條件知是給出了P和Q集合的兩種集合表達(dá)形式，根據(jù)“數(shù)形結(jié)合”的方法，我們可以先在xy軸上對(duì)P集合化簡(jiǎn)，使它的集合表達(dá)形式與Q集合的集合表達(dá)形式一致，那么由一元二次函數(shù)在圖像上的畫(huà)法，我們可以做出P集合的范圍，同時(shí)把這個(gè)范圍做在一條新的數(shù)軸上，再把Q集合的范圍也做在這條數(shù)軸上，觀察兩個(gè)集合包含了哪些區(qū)域和哪些特殊點(diǎn)，便寫(xiě)出了P和Q的并集了。數(shù)形結(jié)合法是每一個(gè)合格的高中生應(yīng)該掌握的數(shù)學(xué)方法之一，“數(shù)形結(jié)合”的形成基于數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略和數(shù)學(xué)方法的整合。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法開(kāi)展教學(xué)，可以大大節(jié)省問(wèn)題解決時(shí)間，提高解決問(wèn)題的效率，并且可以提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

四、數(shù)形結(jié)合在線性規(guī)劃問(wèn)題中的運(yùn)用

數(shù)學(xué)知識(shí)中有一個(gè)非常有用的知識(shí)點(diǎn)，即“線性規(guī)劃”。運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的方法，同樣可以獲得不一樣的收獲。此處，我也舉出一個(gè)例子來(lái)加以佐證觀點(diǎn)。比如題目：“工廠打算生產(chǎn)A和B兩種促銷產(chǎn)品。每件產(chǎn)品的銷售收入分別為3000元和2000元。產(chǎn)品A和B需要在A.B.對(duì)兩種設(shè)備的處理，每個(gè)A和B處理一片A所需的工作時(shí)間分別為1小時(shí)和2小時(shí)。處理一個(gè)B所需的工作時(shí)間分別為2小時(shí)和1小時(shí)。如何安排生產(chǎn)可使收入最大？”這是一個(gè)應(yīng)用程序問(wèn)題。對(duì)應(yīng)的我們可以列出關(guān)系式：x+2y≦400，2x+y≤500，x≥0，y≥0，目標(biāo)函數(shù)是z=3x+2y，要求出適當(dāng)?shù)膞，y，使z=3x+2y取得最大值。從“數(shù)形結(jié)合”的觀點(diǎn)可以先繪制了可行域，當(dāng)然直線應(yīng)該與可行域相交，即當(dāng)滿足約束時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y取最大值。由此可見(jiàn)，數(shù)形結(jié)合在線性規(guī)劃問(wèn)題中也是很重要的，我們?cè)陂_(kāi)展高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，在教學(xué)有關(guān)線性規(guī)劃的問(wèn)題時(shí)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法是很不錯(cuò)的一個(gè)選擇。

總而言之，“數(shù)形組合”的最大作用是發(fā)展和優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)習(xí)者心中的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，可以便于學(xué)生提取有用的信息，考慮解決問(wèn)題。形狀直觀地反映了問(wèn)題，數(shù)據(jù)暗含了問(wèn)題的本質(zhì)，數(shù)形和數(shù)字取長(zhǎng)補(bǔ)短，優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)。數(shù)形結(jié)合法在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用方法還需要教師和學(xué)生一起在教育過(guò)程中不斷探討。