韓信“點(diǎn)”兵

李觀銀

傳說(shuō)漢高祖劉邦曾問(wèn)大將韓信：“你看我能帶多少兵？”韓信斜了劉邦一眼，說(shuō)：“你頂多能帶十萬(wàn)兵吧！”

漢高祖心中有三分不悅，說(shuō)：“那你呢？”心想：你竟敢小看我！

韓信傲氣十足地說(shuō)：“我呀，當(dāng)然是多多益善嘍！”

劉邦心中又添了三分不高興，勉強(qiáng)說(shuō)：“將軍如此了不起，我很佩服.現(xiàn)在我有一個(gè)小小的問(wèn)題向?qū)④娬?qǐng)教，憑將軍的才能，答起來(lái)一定不費(fèi)吹灰之力.”

韓信滿不在乎地說(shuō)：“可以，可以.”

劉邦狡黠地一笑，叫來(lái)一小隊(duì)士兵隔墻站隊(duì)（不足100人），劉邦發(fā)令：“每三人站成一排.”

隊(duì)伍站好后，小隊(duì)長(zhǎng)進(jìn)來(lái)報(bào)告：“最后一排只有兩人.”

劉邦又傳令：“每五人站成一排.”

小隊(duì)長(zhǎng)報(bào)告：“最后一排只有三人.”

劉邦再傳令：“每七人站成一排.”

小隊(duì)長(zhǎng)報(bào)告：“最后一排只有兩人.”

劉邦轉(zhuǎn)臉問(wèn)韓信：“敢問(wèn)將軍，這隊(duì)士兵有多少人？”

韓信脫口而出：“二十三人.”

劉邦大驚，心中的不快已增至十分，心想：此人本事太大，我得想法找個(gè)借口把他殺掉，免生后患.于是劉邦佯裝笑臉夸了幾句，并問(wèn)：“你是怎么知道的？”

韓信說(shuō)：“臣幼得黃石公傳授《孫子算經(jīng)》，算經(jīng)中載有此題之算法，口訣是：三人同行七十稀，五樹(shù)梅花廿一枝，七子團(tuán)圓月正半，除百零五便得知.”

劉邦出的這道題，用現(xiàn)代語(yǔ)言可這樣表述：一個(gè)正整數(shù)，被3除時(shí)余2，被5除時(shí)余3，被7除時(shí)余2，如果這個(gè)數(shù)不超過(guò)100，求這個(gè)數(shù).

《孫子算經(jīng)》中給出這類(lèi)問(wèn)題的解法：“三三數(shù)之剩二，則置一百四十；五五數(shù)之剩三，置六十三；七七數(shù)之剩二，置三十；并之得二百三十三，以二百一十減之，即得.凡三三數(shù)之剩一，則置七十；五五數(shù)之剩一，則置二十一；七七數(shù)之剩一，則置十五，一百六以上，以一百五減之，即得.”

用現(xiàn)代語(yǔ)言解釋這個(gè)解法就是：

首先找出能被5與7整除而被3除余1的數(shù)70，被3與7整除而被5除余1的數(shù)21，被3與5整除而被7除余1的數(shù)15.

所求數(shù)被3除余2，則取數(shù)70×2=140，140是被5與7整除而被3除余2的數(shù).

所求數(shù)被5除余3，則取數(shù)21×3=63，63是被3與7整除而被5除余3的數(shù).

所求數(shù)被7除余2，則取數(shù)15×2=30，30是被3與5整除而被7除余2 的數(shù).

又因?yàn)?40+63+30=233，由于63與30都能被3整除，故233與140這兩個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)相同，都是余2.并且，233與63這兩個(gè)數(shù)被5除的余數(shù)相同，都是3.同理，233與30被7除的余數(shù)相同，都是2.所以，233是滿足題目要求的一個(gè)數(shù).

而3、5、7的最小公倍數(shù)是105，故233加、減105的整數(shù)倍后被3、5、7除的余數(shù)不會(huì)變，從而所得的數(shù)都能滿足題目的要求.由于所求的一小隊(duì)士兵的人數(shù)不超過(guò)100，所以用233減去105的2倍得23，即是所求.

這個(gè)算法在我國(guó)有許多名稱(chēng)，如“韓信點(diǎn)兵”“鬼谷算”“隔墻算”“剪管術(shù)”“神奇妙算”等，題目與解法都記載于我國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中.宋朝的數(shù)學(xué)家秦九韶把這個(gè)問(wèn)題推廣，并把解法稱(chēng)之為“大衍求一術(shù)”.這個(gè)解法傳到西方后，被稱(chēng)為“中國(guó)剩余定理”.而韓信，則最終被劉邦的妻子呂后誅殺于未央宮.

（作者單位：江蘇省句容市天王中學(xué)）