數(shù)學(xué)歸納法的教與學(xué)

李 敏

（南京市第十三中學(xué)，江蘇 南京）

【教學(xué)內(nèi)容解析】

數(shù)學(xué)歸納法是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)》蘇教版選修2-2中2.3的內(nèi)容，是本書的重要內(nèi)容之一。

本課是數(shù)學(xué)歸納法的第一課時(shí)，前面學(xué)生已經(jīng)通過數(shù)列一章內(nèi)容和其他相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，初步掌握了由有限多個(gè)特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，即不完全歸納法。不完全歸納法是研究數(shù)學(xué)問題，猜想或發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的重要手段。但是，由有限多個(gè)特殊事例得出的結(jié)論不一定正確，這種推理方法不能作為一種論證方法。因此，在不完全歸納法的基礎(chǔ)上，必須進(jìn)一步學(xué)習(xí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)的論證方法——數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)學(xué)歸納法安排在數(shù)列之后極限之前，是促進(jìn)學(xué)生從有限思維發(fā)展到無限思維的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。并且，本節(jié)內(nèi)容是培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的推理能力、訓(xùn)練學(xué)生的抽象思維能力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在美的好素材。

【教學(xué)目標(biāo)設(shè)置】

知識(shí)目標(biāo)

1.了解由有限多個(gè)特殊事例得出的一般結(jié)論不一定正確。

2.初步理解數(shù)學(xué)歸納法原理。

3.理解和記住用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的兩個(gè)步驟。

4.初步會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的與正整數(shù)有關(guān)的恒等式。

能力目標(biāo)

1.通過對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)、應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、猜想、分析能力和嚴(yán)密的邏輯推理能力。

2.讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

【教學(xué)重難點(diǎn)】

重點(diǎn)

1.初步理解數(shù)學(xué)歸納法的原理。

2.明確用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟。

3.初步會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明簡(jiǎn)單的與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)恒等式。

難點(diǎn)

1.對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的理解，即理解數(shù)學(xué)歸納法證題的嚴(yán)密性與有效性。

2.假設(shè)的利用，即如何利用假設(shè)證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論正確。

【學(xué)生學(xué)情分析】

這節(jié)課是借班上課，通過了解，這個(gè)班級(jí)的學(xué)生基礎(chǔ)不錯(cuò)，學(xué)生思維靈活，因此，這節(jié)課選擇讓學(xué)生自主研究多尼諾骨牌倒下的原因，教師從旁引導(dǎo)。

數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)是高中數(shù)學(xué)選修2-2中，雖然學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中已經(jīng)對(duì)推理方法有了一定的了解和應(yīng)用，有了初步的感性、理性認(rèn)識(shí)，但是數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)，使學(xué)生的認(rèn)識(shí)更進(jìn)一步，并形成了一定的研究方式與體系，為學(xué)生從n的有限到無限的證明方法拓寬了思路。同時(shí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力與思想方法有待繼續(xù)培養(yǎng)、提高、完善，要結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，分解難點(diǎn)，逐一突破。

【教學(xué)策略分析】

教材從摸球和骨牌實(shí)例出發(fā)，引出數(shù)學(xué)歸納法公理，接著研究了具體數(shù)學(xué)歸納法的證明，找出了每個(gè)步驟之間的關(guān)系，然后通過觀察一系列具體實(shí)例的證明加深公理的理解。

而根據(jù)學(xué)生思維從具體形象到抽象邏輯的特點(diǎn)，本節(jié)課在教學(xué)材料的組織上選擇了學(xué)生利用多米諾骨牌的視頻作出一系列類比聯(lián)想，獨(dú)立思考、自主探究最后分組交流得出骨牌倒下需要的條件，進(jìn)而得出數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟。學(xué)生是課堂的主體，教師是課堂的主導(dǎo)，在討論中教師可以點(diǎn)撥利用類比推理的方法，使學(xué)生能夠更快地找到解決問題的方法

【教學(xué)過程】

環(huán)節(jié)一 情景引入，揭示課題

屏幕顯示：

引例1：今天，據(jù)觀察第一個(gè)到學(xué)校的是男同學(xué)，第二個(gè)到學(xué)校的也是男同學(xué)，第三個(gè)到學(xué)校的還是男同學(xué)，于是得出：這所學(xué)校里的學(xué)生都是男同學(xué)。

引例 2：數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為 an=（n2-5n+5）2，計(jì)算得a1=1，a2=1，a3=1，于是猜出數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為：an=1。

引例 3：數(shù)列為｛1，2，4，8｝，則它的通項(xiàng)公式為 an=2n-1。（n≤4，n∈N*）

教師：?jiǎn)栴}1：以上3個(gè)結(jié)論正確嗎？

問題2：以上結(jié)論用了什么推理方法？——?dú)w納法

學(xué)生：思考討論，并回答問題

屏幕顯示：

引例 4：對(duì)于數(shù)列｛an｝，已知 a1=1，an+1= an，n∈N*an+1

（1）求出數(shù)列的前4項(xiàng)，你能得到什么猜想？

（2）你的猜想一定正確嗎？

教師：?jiǎn)栴}3：能否保證從特殊到一般猜想歸納的結(jié)論正確？（n從有限到無限，無法一一驗(yàn)證猜想）

學(xué)生：討論給出屏幕上引例4的答案

屏幕顯示：播放多米諾骨牌視頻

學(xué)生：看視頻現(xiàn)象思考本質(zhì)

板書課題 數(shù)學(xué)歸納法

環(huán)節(jié)二 啟發(fā)引導(dǎo)，生成概念

屏幕顯示：

思考：請(qǐng)同學(xué)們思考所有骨牌都一一倒下只需滿足哪幾個(gè)條件？透過現(xiàn)象揭示本質(zhì)，給時(shí)間空間讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)。

學(xué)生分組討論總結(jié)

屏幕顯示：

條件：1.第一塊骨牌倒下；

2.任意相鄰兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下——給出了一個(gè)遞推關(guān)系，即假設(shè)第k塊倒下，則相鄰的第k+1塊也倒下。

教師來回巡視，小組間指導(dǎo)點(diǎn)撥

學(xué)生分享小組討論結(jié)果

屏幕顯示：

1.類比骨牌倒下的條件，得出證明引例4所需步驟（附表1）

2.當(dāng)一個(gè)命題滿足圖1中（1）（2）兩個(gè)條件時(shí)，能把證明無限問題用有限證明解決么？

類比歸納，所有學(xué)生共同完成圖1

表1

環(huán)節(jié)三 提煉總結(jié)，構(gòu)建知識(shí)

屏幕顯示：

1.數(shù)學(xué)歸納法

屏幕顯示（老師板書）：

一般地，對(duì)于某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，我們有數(shù)學(xué)歸納法公理：

如果

（1）當(dāng)取第一個(gè)值n0（例如n0=1，2等）時(shí)，結(jié)論正確；

（2）假設(shè)當(dāng) n=k（k∈N* 且 k≥n0）時(shí)結(jié)論正確；

證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也正確。

那么對(duì)于從n0開始的所有正整數(shù)n都成立。

學(xué)生理解思考，體會(huì)新概念

環(huán)節(jié)四 探究思考，認(rèn)知升華

屏幕顯示：

思考：（1）數(shù)學(xué)歸納法能證明什么樣類型的命題？

（2）數(shù)學(xué)歸納法有幾個(gè)步驟？每一個(gè)步驟說明什么問題？

學(xué)生思考解答

教師總結(jié)數(shù)學(xué)歸納法公理是證明有關(guān)自然數(shù)命題的依據(jù)

四個(gè)步驟：一驗(yàn)二設(shè)三證四總結(jié)

學(xué)生理解四個(gè)步驟的含義，知識(shí)升華

屏幕顯示：利用數(shù)學(xué)歸納法公理能解決引例4么？

教師學(xué)生一起利用數(shù)學(xué)歸納法解決引例4，鞏固新知識(shí)

環(huán)節(jié)五 典型例題，知識(shí)應(yīng)用

例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：等差數(shù)列｛an｝中，a1為首項(xiàng)，d為公差，則通項(xiàng)公式為 an=a1+（n-1）d。①

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的初步應(yīng)用，尤其注意步驟的完整性和證明的規(guī)范重點(diǎn)。

證明：（1）當(dāng) n=1 時(shí)，等式左邊 a1，等式右邊=a1+0×d=a1，等式①成立。

（2）假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí)等式①成立，即 ak=a1+（k-1）d，

那么，當(dāng) n=k+1 時(shí)，有 ak+1=ak+d=a1+（k-1）d+d=a1+［（k-1）-1］d。

這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。

根據(jù)（1）和（2）可知，對(duì)任何 n∈N*，等式①都成立。

總結(jié)：由以上例題可知，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法需注意：

1.三個(gè)步驟缺一不可:第一步是奠基步驟，是命題論證的基礎(chǔ)，稱之為歸納基礎(chǔ)；第二步是歸納假設(shè)，“假設(shè)n=k時(shí)成立”（注意是“假設(shè)”，而不是確認(rèn)命題成立）。

2.在第三步的證明中必須用到前面的歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法了。

3.數(shù)學(xué)歸納法只適用于和自然數(shù)有關(guān)的命題，但并不是所有的正整數(shù)問題都是用數(shù)學(xué)歸納法證明，學(xué)習(xí)時(shí)要具體問題具體分析。

變式：用數(shù)學(xué)歸納法證明：等比數(shù)列｛an｝中，a1為首項(xiàng)，q為公比，則通項(xiàng)公式為an=a1qn-1。

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)數(shù)學(xué)歸納法公理的應(yīng)用，可由學(xué)生作答，教師板書，加深概念的理解。

例 2：用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) n∈N* 時(shí)，1+3+5+…+（2n-1）=n2。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生板演，教師巡視，注意學(xué)生證明過程中有無缺漏。

證明：（1）當(dāng) n=1 時(shí)，等式左邊=1，等式右邊=1，等式成立。

（2）假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí)等式成立，即 1+3+5+…+（2k-1）=k2，

那么，當(dāng) n=k+1 時(shí)，有 1+3+5+…+（2k-1）+［2（k+1）-1］

=k2+［2（k+1）-1］=k2+2k+1=（k+1）2。

這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。

根據(jù)（1）和（2）可知，對(duì)任何 n∈N*，等式都成立。

環(huán)節(jié)六 課堂練習(xí)，鞏固提高

書后練習(xí)

環(huán)節(jié)七 梳理知識(shí)，歸納總結(jié)

重點(diǎn):四個(gè)步驟，缺一不可

注意：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉。

【教學(xué)反思】

數(shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)命題的正確性的證明方法，它的操作步驟簡(jiǎn)單、明確，一驗(yàn)二設(shè)三證四總結(jié)缺一不可。教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該是概念的形成以及方法的應(yīng)用。

數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的過程分二個(gè)階段，第一階段從認(rèn)識(shí)多米諾骨牌現(xiàn)象開始，解剖現(xiàn)象帶來的結(jié)論。第二階段是類比推理，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，由骨牌一一倒下，類比得出證明需要的步驟。

學(xué)生的思維參與往往是從問題開始的，盡快提出適當(dāng)?shù)膯栴}，并提出思維要求，讓學(xué)生盡快投入思維活動(dòng)中，是十分重要的。本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)也想在這方面作些突破，所以選擇的多米諾視頻還是能吸引學(xué)生的注意力，這樣的選擇發(fā)揮了學(xué)生的主體作用，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，而且培養(yǎng)了學(xué)生的觀察、實(shí)踐能力。同時(shí)課堂中也應(yīng)注意及時(shí)收回學(xué)生的關(guān)注，回到本節(jié)課的內(nèi)容。

課堂教學(xué)中要注意掌握：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉。即找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠定基礎(chǔ)，第一步驗(yàn)證，取滿足條件的第一個(gè)值，要注意不一定是n=1；理解數(shù)學(xué)歸納法中的遞推思想，還要注意其中第三步，證明n=k+1命題成立時(shí)必須用到n=k時(shí)命題成立這個(gè)條件，即n=k+1時(shí)等式也成立。因?yàn)檫f推思想要求的不是n=k，n=k+1時(shí)命題到底成立不成立，而是n=k時(shí)命題成立作為條件能否保證n=k+1時(shí)命題成立這個(gè)結(jié)論正確，即要求的這種邏輯關(guān)系是否成立。證明的主要部分應(yīng)改為以上理解不僅是正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)歸納法的需要，也為第三步證明過程的設(shè)計(jì)指明了正確的思維方向。

課堂教學(xué)之后，自己發(fā)現(xiàn)不足的地方還是很多的。引入的時(shí)候沒有生動(dòng)的實(shí)例，概念教學(xué)略快。在實(shí)施證明的過程，遺憾的是在具體教學(xué)過程中沒能明確指出為什么第一步是遞推基礎(chǔ)。在課堂練習(xí)3中，學(xué)生指出錯(cuò)誤的地方，卻忽略了錯(cuò)誤形成的原因。在今后的教學(xué)過程中值得重視。

像數(shù)學(xué)歸納法這樣的內(nèi)容需要多次接觸、反復(fù)應(yīng)用，才能加深理解。但由于時(shí)間關(guān)系數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用練習(xí)較少，以后可適當(dāng)增加課堂練習(xí)與思考，同時(shí)注意題目的難度。