基于稀疏自表示的模糊聚類圖像分割算法

張寶軍, 張麗丹, 吳成茂, 田妮花

(1. 西安郵電大學(xué) 電子工程學(xué)院, 陜西 西安 710121; 2.中國石油慶陽石化公司, 甘肅 慶陽 745002)

圖像分割[1-2]是圖像處理和計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域中的核心研究內(nèi)容，圖像分割的好壞直接影響圖像分析、識別等其它后續(xù)工作。

圖像分割的方法很多，其中模糊C均值(fuzzy C-means，F(xiàn)CM)聚類算法[3-4]被廣泛應(yīng)用于圖像分割，但其只考慮到圖像的灰度信息，未考慮到鄰域像素的相關(guān)性，致使算法對噪聲的魯棒性差，分割效果不理想[5]。空間約束模糊C均值(fuzzy C-means with spatial constraints，F(xiàn)CM_S)聚類算法[5]將像素鄰域空間信息加入到FCM算法的目標(biāo)函數(shù)中，抗噪性能有一定的提高，但增加了算法的迭代次數(shù)和聚類時(shí)間，其改進(jìn)算法FCM_S1和FCM_S2[6]分別用鄰域矩陣的均值和中值代替FCM_S算法中鄰域像素，降低了算法的計(jì)算復(fù)雜度，前者對高斯噪聲有很好的魯棒性，但對椒鹽噪聲的效率較低；后者對椒鹽噪聲有較好的抑制作用。增強(qiáng)模糊C均值(enhanced fuzzy C-means，EnFCM)聚類算法[7]和快速廣義模糊C均值(fast generalized fuzzy C-means，F(xiàn)GFCM)聚類算法[8]通過構(gòu)建權(quán)值和圖像，以圖像的灰度級來代替像素點(diǎn)進(jìn)行聚類分割，提高了分割效率，但在聚類過程中丟失圖像的部分細(xì)節(jié)，降低了圖像的聚類精度[8]。模糊局部信息C均值(fuzzy local information c-means，F(xiàn)LICM)聚類算法[9]利用無參數(shù)模糊因子控制圖像噪聲和圖像細(xì)節(jié)之間的平衡，但這種算法只考慮局部鄰域信息，對復(fù)雜圖像特別是受強(qiáng)噪聲污染圖像，尚未達(dá)到理想的分割效果。

現(xiàn)有的模糊聚類算法沒有考慮到圖像的全局結(jié)構(gòu)信息，多數(shù)模糊聚類算法中的聚類數(shù)據(jù)只描述了一種表示圖像樣本的基本物理性質(zhì)，如位置，大小和灰度等，沒有反映樣本間的相關(guān)性。樣本的類內(nèi)相似性和類間差異性有助于聚類。若知道每個(gè)樣本在樣本集中所發(fā)揮的作用，將相似樣本劃分為同一類，有助于實(shí)現(xiàn)理想的聚類結(jié)果。樣本的結(jié)構(gòu)不可預(yù)測，但通過稀疏表示(sparse repreaentation, SR)方法[10-15]可以挖掘出反映全局結(jié)構(gòu)中任意樣本之間的相關(guān)性。

為了提高噪聲污染圖像分割的魯棒性，本文擬將包含樣本數(shù)據(jù)集全局結(jié)構(gòu)信息的SR技術(shù)和經(jīng)典的FCM算法相結(jié)合，提出一種基于稀疏自表示的模糊C均值聚類(fuzzy C-means clustering based on sparse self-representation, SSR_FCM )的圖像分割算法。不同于傳統(tǒng)的FCM算法基于圖像的灰度值實(shí)現(xiàn)圖像分割，本文算法以超像素為基元，提取超像素特征構(gòu)成圖像特征矩陣，通過稀疏自表示的方法找出表示樣本間相關(guān)性的系數(shù)矩陣，作為圖像的判別特征，利用FCM算法對該判別特征分類，實(shí)現(xiàn)圖像分割。對不同類型的圖像添加高斯噪聲和椒鹽噪聲，比較算法分割后的峰值信噪比(peak signal to noise ratio, PSNR)，驗(yàn)證算法的抗噪魯棒性。

1 模糊C均值聚類算法

模糊C均值聚類算法通過最小化目標(biāo)函數(shù)將數(shù)據(jù)集劃分成不同的類，其目標(biāo)函數(shù)可描述為

(1)

約束條件為

其中，

Y={yi;i=1,2,…,n}

是待分割圖像，n為像素個(gè)數(shù)，yi表示第i個(gè)像素的灰度值；

V={vk,k=1,2,…,c}

表示區(qū)域的聚類中心，c為聚類個(gè)數(shù)，vk表示第k個(gè)類別的聚類中心；

d(yi,vk)=‖yi-vk‖

根據(jù)模糊C均值聚類算法，目標(biāo)函數(shù)利用拉格朗日乘子方法得到隸屬度函數(shù)和聚類中心，分別為U={uki}和V={vk}，更新迭代公式為

(2)

(3)

利用式(2)和(3)分別更新隸屬度矩陣和聚類中心，直到算法收斂；然后采用最大隸屬度方法將像素i分配到對應(yīng)類別中，完成圖像的分割。

2 基于稀疏自表示的模糊C均值聚類算法

2.1 建立稀疏自表示模型

稀疏表示是將樣本表示為預(yù)先規(guī)定的字典中的少數(shù)原子的線性組合。以樣本數(shù)據(jù)本身作為字典，對于每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)都可以被除它之外的數(shù)據(jù)點(diǎn)線性表示，這種構(gòu)造字典的方式稱為稀疏自表示[16]。該方法能夠反映出數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性，同時(shí)也避免了構(gòu)建字典過程中的計(jì)算復(fù)雜度。稀疏自表示的目標(biāo)模型[12]

(4)

其中，樣本的基本特征矩陣

X=[X1,X2,…,Xn]∈a×n,

n為樣本數(shù)，xi(i=1,2,…,n)表示第i個(gè)樣本的具有a維屬性的特征向量(1≤a≤n)?！ぁ?為L1-范數(shù)，即

Z=[Z1,Z2,…,Zn]∈n×n

為X的稀疏自表示系數(shù)矩陣；參數(shù)λ>0用來平衡式(4)中的權(quán)重，diag(Z)=0表明每一類樣本都不能將自身作為相關(guān)性樣本。本文算法中，圖像以超像素為基元，選擇合適的超像素特征，X為所有超像素特征構(gòu)成的基本特征矩陣，n為超像素塊數(shù)，Xi代表一個(gè)超像素的a維特征向量。該模型應(yīng)用于被噪聲干擾的數(shù)據(jù)中。

利用交替方向乘子法(the alternating direction method of multipliers, ADMM)[17]對(4)式進(jìn)行求解。

消除目標(biāo)函數(shù)中的E，等價(jià)于求解

適當(dāng)引入輔助變量，將約束增加到目標(biāo)函數(shù)中。

首先，引入輔助矩陣H，式(4)可以改寫為

其次，引入矩陣W∈Rn×n拉格朗日乘子，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

式中μ為懲罰因子，〈·〉表示標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積。

最后，給出交替方向乘子法實(shí)現(xiàn)稀疏自表示系數(shù)實(shí)現(xiàn)的具體步驟如下。

步驟1輸入X，參數(shù)λ。

步驟2初始化

H(0)=0,Z(0)=0,W(0)=0,
η=10-3,μ=10-4,ε=1.1,k=0。

步驟3更新

步驟4更新

H(k+1)=J-diag(J)。

步驟5更新

W(k+1)=W(k)+μ(Z(k+1)-H(k+1))。

步驟6更新

μ=min (εμ, 1010)。

步驟7判斷是否有‖H(k)-Z(k)‖∞≤η,并且‖H(k)-H(k-1)‖∞≤η,如果滿足條件，則算法迭代結(jié)束，否則返回步驟3。

步驟8輸出最優(yōu)稀疏自表示系數(shù)矩陣Z。

2.2 構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)

稀疏自表示系數(shù)有較好的類別區(qū)分性能，可以作為圖像的判別特征，將矩陣Z表示為圖像的判別特征矩陣。利用模糊C均值聚類算法聚類圖像的判別特征矩陣,將其代入式(1)中，目標(biāo)函數(shù)、隸屬度函數(shù)和聚類中心分別描述為

(5)

(6)

其中，Zj=[Z1,Z2,…,Zn]∈Rn×n為圖像的判別特征矩陣，n為樣本數(shù)；Z=[Zj1,Zj2,…,Zjn]表示Z的第j列，是圖像基本特征矩陣X的線性表示；c是聚類中心數(shù)(10。

利用式子(5)和(6)分別更新隸屬度和聚類中心，直到算法收斂；將判別特征Z中的每個(gè)樣本分配到對應(yīng)類別中。

2.3 本文算法步驟

本文算法主要步驟，如圖1所示。

圖1 算法主要步驟

圖1中，在對圖像過分割生成超像素時(shí)，對超像素做標(biāo)記，圖像像素點(diǎn)的標(biāo)簽值與所屬的超像素標(biāo)簽值相同，在FCM算法中采用最大隸屬度方法將判別特征Z中稀疏自表示系數(shù)Zj(1≤j≤n)分配到對應(yīng)類別中，若Zj隸屬于第p類(1≤p≤c)，則標(biāo)簽值為j的超像素中的像素點(diǎn)也隸屬于第p類，從而實(shí)現(xiàn)圖像分割。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

選取合成圖像、自然圖像和遙感圖像，驗(yàn)證算法對受噪聲污染圖像分割的魯棒性，比較改進(jìn)算法與FCM，F(xiàn)CM_S，EnFCM，F(xiàn)GFCM，F(xiàn)LICM五種算法對待分割圖像的分割結(jié)果。其中實(shí)驗(yàn)運(yùn)行環(huán)境為Matlab.R2014.b，對所有的比較算法，共同設(shè)置模糊加權(quán)指數(shù)m=2，迭代終止條件ε=0.000 1，局部鄰域窗口的大小為3×3。

對于FCM_S和EnFCM算法，鄰域信息對中心像素的影響因子α=2。FGFCM算法[8]中控制鄰域信息對聚類結(jié)果影響程度的各個(gè)參數(shù)均采用文獻(xiàn)[8]的設(shè)置。改進(jìn)算法中，首先對原始圖像使用Turbopixels算法[18]進(jìn)行超像素分割，替代單個(gè)像素作為圖像基元，對Turbopixels算法的分割尺度設(shè)置為600，提取超像素的灰度均值和灰度直方圖2種特征量生成一個(gè)統(tǒng)一整體特征作為圖像的基本特征矩陣。

3.1 算法魯棒性測試與分析

選取自然圖像、遙感圖像和人造圖像3幅灰度圖像，對其添加不同均方差的高斯噪聲和不同強(qiáng)度的椒鹽噪聲，利用FCM、FCM_S、ENFCM、FGFCM、FLICM以及本文算法對其進(jìn)行分割測試，采用峰值信噪比[19](peak signal to noise ratio, PSNR)作為圖像分割算法抗噪性能好壞的評價(jià)指標(biāo)。PSNR值越大，表明分割算法抗噪性越好。

3.1.1 高斯噪聲干擾圖的分割結(jié)果及分析

選取遙感圖像，人造圖像，鮮花圖像，如圖2所示。其分別添加均值為0且方差為0.1、0.08、0.15的高斯噪聲。采用FCM算法、FCM_S算法、ENFCM算法、FGFCM算法、FLICM算法以及改進(jìn)算法對加噪圖像進(jìn)行分割測試，測試結(jié)果如表1和表2 所示。

圖2 標(biāo)準(zhǔn)灰度圖像

圖像加噪灰度圖FCM算法FCM_S算法ENFCM算法FGFCM算法FLICM算法改進(jìn)算法遙感圖人造圖鮮花圖

表2 不同算法抗高斯噪聲的PSNR值

由表1和表2可見，改進(jìn)算法與另5種算法相比，差異顯著；FCM算法去噪和分割能力較差，加入鄰域信息的FCM_S算法、ENFCM算法、FGFCM算法和FLICM算法比FCM算法效果好；本文的改進(jìn)算法將稀疏自表示技術(shù)嵌入到FCM算法中，所得去噪效果和分割效果優(yōu)于其他5種算法。

3.1.2 椒鹽噪聲干擾圖的分割結(jié)果及分析

針對遙感圖像、人造圖像和飛機(jī)圖像，如圖3所示。分別添加強(qiáng)度為15%、20%、30%的椒鹽噪聲，采用FCM算法、FCM_S算法、ENFCM算法、FGFCM算法、FLICM算法和本文算法進(jìn)行分割測試，測試結(jié)果見表3和表4所示。

圖3 標(biāo)準(zhǔn)灰度圖像

圖像加噪灰度圖FCM算法FCM_S算法ENFCM算法FGFCM算法FLICM算法改進(jìn)算法遙感圖人造圖飛機(jī)圖

表4 不同算法抗椒鹽噪聲的PSNR值

由表3和表4可見，在視覺效果上，改進(jìn)算法的抗噪能力優(yōu)于其他5種算法；FCM_S算法、ENFCM算法、FGFCM算法和FLICM算法在一定程度上去除了噪聲點(diǎn)，但圖像的分割結(jié)果中仍含有大量噪聲，改進(jìn)算法獲得的分割結(jié)果幾乎可以完全去除噪聲。相比其他5種算法，本文算法將飛機(jī)模型從背景中完整提取，且提取出的飛機(jī)圖像較為清晰、邊緣輪廓較為完整；對于遙感圖中的河流能夠準(zhǔn)確地區(qū)分河流信息和背景信息。

由以上實(shí)驗(yàn)分割圖的視覺效果和相關(guān)數(shù)據(jù)分析可知，對于噪聲污染的圖片，傳統(tǒng)的FCM算法像素點(diǎn)間沒有聯(lián)系，對噪聲較為敏感，分割結(jié)果最差。FCM-S算法、ENFCM算法、FGFCM算法和FLICM算法建立在空間鄰域信息的基礎(chǔ)上，分割結(jié)果比傳統(tǒng)的FCM算法好，但對于圖像中加入不同強(qiáng)度的高斯噪聲和椒鹽噪聲，分割后的圖中依舊留有大量噪聲。改進(jìn)算法中稀疏自表示模型中通過2個(gè)范數(shù)的約束不僅能得到樣本間的相關(guān)性表示，有利于相似樣本分為同一類，而且對包含噪聲的數(shù)據(jù)有魯棒性，增強(qiáng)聚類效果；在基于反映樣本間相關(guān)性和魯棒的判別特征上聚類，清晰地判別出圖像分割類數(shù)，雖然聚類結(jié)果沒有完全去除噪聲，但去除了大部分噪聲，取得較好的分割結(jié)果。

3.2 保真項(xiàng)參數(shù)λ分析

接著來討論改進(jìn)算法稀疏自表示模型中的保真項(xiàng)參數(shù)λ的選取。如圖2(b)所示的人造圖像是分辨率為256×230的三類灰度圖像，灰度值分別為0，195和255。測試人造圖像受到均值為0，方差為0.1的高斯噪聲影響下的正確分割率[20]，為保證數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，正確分割率采用算法15次運(yùn)行結(jié)果的均值，不同保真項(xiàng)參數(shù)λ值對應(yīng)的分割正確率，如圖4 所示。

圖4 不同保真項(xiàng)參數(shù)λ的分割正確率

通過圖4可以看出，曲線在一小段波動后趨于平穩(wěn)。當(dāng)λ≥2時(shí)，分割正確率明顯提高，表明參數(shù)λ在稀疏自表示模型中有重要作用。此外，當(dāng)λ較大時(shí)，分割正確率緩慢下降，這是因?yàn)槭?4)中第2項(xiàng)的作用不能被無限放大，第1項(xiàng)的稀疏約束對算法也起到了作用。

4 結(jié)語