非慣性系中小球在液體管內(nèi)運動的研究

張航凡，古學崠，楊陳明浩，黃 敏，趙蕓赫

（1.四川省成都市新都一中 銘章學院，四川 成都 610500；2.北京師范大學 物理學系，北京 100875）

長久以來，球形物體在裝滿液體的管子中運動時，因其邊界條件以及雷諾數(shù)的多變，一直是流體問題中研究的重點之一[1-3]，眾多科學家力圖對Stokes公式進行修正，以滿足任意邊界與雷諾數(shù)條件下的受力情況，至今已獲得大量經(jīng)驗或半經(jīng)驗公式[4-5]。2017年，IYPT（國際青年物理學家錦標賽）的賽題中就描述了這樣一種特殊的“管中球”運動，即“將一根充滿液體并含有一枚小球的密封透明管傾斜放置，且下端與馬達相連，如此管沿錐形面運動，探討球在相關(guān)參數(shù)作用下的運動?！边@個實驗中會出現(xiàn)一些有趣的現(xiàn)象，但目前鮮有文獻對這些現(xiàn)象進行定量的理論與實驗分析。

從本質(zhì)上講，本文所討論的現(xiàn)象是非慣性系中流體中剛體運動的過程，因此涉及到了非慣性系中剛體、流體的運動規(guī)律。而流體的運動相對復(fù)雜，如果考慮其復(fù)雜的流動行為，會對理論框架建設(shè)和求解造成不小的阻礙，因此，本文簡化了管中流體的運動，從理論上研究了管中物體的運動情形，得到了較為清晰的物理圖像，并對此進行了實驗驗證。

1 “管中球”運動的理論研究

1.1 非慣性系中液體的壓強

如果在轉(zhuǎn)動參考系（非慣性系）下考慮小球在液體中的運動，就會涉及到小球所受浮力的計算，而浮力又取決于小球在液體中所受的壓強差，所以，我們先分析非慣性系中液體的壓強。考慮在加速度場a（r）中的一段液柱，如圖1所示，r處質(zhì)量為dm＝ρSdr的液體的力平衡方程為：

積分得：

在重力場中，a（r）＝g是一個常數(shù)，這時，p（r）＝p（0）＋ρgr.這是我們熟知的液體壓強公式，這里p（0）是大氣壓。當加速度場a（r）不是常數(shù)時，就需要具體積分計算。注意，在這種情況下，r處一體積為V的物體受到的浮力為F（r）＝ρa（r）V，適用條件為

1.2 “管中球”運動的動力學分析

如圖2所示，當管沿錐形面運動時，設(shè)液體的密度和黏滯系數(shù)分別為ρ0，η，小球的密度、半徑和體積分別為ρ1，R，V，系統(tǒng)轉(zhuǎn)速為ω.

圖1 加速場中的液柱示意圖

圖2 沿錐形面運動的管中球

選取與管子隨動的非慣性參考系，此時，沿著管子方向的等效加速度為：

管中球在運動過程中受到的力有（非慣性系）：重力、離心力、支持力、浮力、黏滯阻力，由于我們僅考慮沿著管方向的運動，即僅考慮上述力在管方向的分量即可。于是，我們可以給出該非慣性系中的運動方程為：

這一結(jié)果與文獻[6]中用非慣性系中的歐拉平衡方程得到的結(jié)果一致，我們引入等效加速度可以更直觀地理解這一非慣性系中的浮力效應(yīng)。注意m＝ρ1V，因此，定義無量綱相對密度為：

則式（4）可以化為：

再定義單位質(zhì)量黏滯力系數(shù)為：

最終得到化簡的小球運動方程為：

這是一個二階的常微分方程，數(shù)值求解即可。在此需要注意到的是，式（8）中存在一個穩(wěn)定解，即小球的速度r˙＝0時，有：

這說明，當管子口斜向上時，轉(zhuǎn)速和管子傾角滿足一種特定關(guān)系，小球可以在管中特定位置受力平衡，出現(xiàn)穩(wěn)定態(tài)。根據(jù)式（9），我們固定角度和固定轉(zhuǎn)速，通過Matlab模擬得到圖3所示的圖像。

圖3 固定角度和固定轉(zhuǎn)速通過Matlab模擬得到的圖像

對于給定長度的管，只有當平衡位置小于管長時才有意義。圖3說明，當轉(zhuǎn)速一定時，傾斜角越大，平衡位置越遠離轉(zhuǎn)軸；當傾斜角一定時，轉(zhuǎn)速越大，平衡位置越靠近轉(zhuǎn)軸。而在另外一些非穩(wěn)定解的特殊情況下，我們也可以討論一些解析的有意義的物理情境。

1.2.1 系統(tǒng)不轉(zhuǎn)動時的情境

系統(tǒng)不轉(zhuǎn)動時，小球的運動方程可化為：

實驗時不妨直接取θ＝0，豎直下落，則有

1.2.2 管子與鉛垂線成垂直放置時的情境

當管子垂直放置時，小球的運動方程可化為：

在這種情況下，重力在管子方向不起作用，于是，小球只受到離心力和黏滯阻力的支配。

1.2.3 小球密度與液體密度相同時的情境

當小球密度與與液體相同時，則有：

無量綱相對密度為0，意味著小球密度與液體相同，即處于懸浮狀態(tài)。此時，小球只受到黏滯力的作用，而黏滯力又需要球有速度時才有，所以，如果小球有一個初速度，則會不斷減速直到速度為0，最終懸浮在轉(zhuǎn)動的管子中。顯然式（12）的解為：

我們所給出的3種特殊情況的物理圖像很清晰，對于一般情況，可以直接用數(shù)值的方法求解式（3），在實驗中驗證控制變量的結(jié)果即可。

2 實驗驗證

根據(jù)上述理論上的討論，本研究設(shè)計了如圖4所示的實驗裝置，通過調(diào)節(jié)量筒與轉(zhuǎn)軸的角度，固定拍攝設(shè)備進行拍攝，利用Tracker軟件分析小球的運動情況。

圖4 實驗裝置圖

2.1 黏滯系數(shù)的修正

我們知道，斯托克斯公式應(yīng)用的條件是小球在無限寬廣、均勻的液體中下落，而實驗時，液體總要盛放在一定的容器內(nèi)，其邊界不可能是無限寬廣的，即小球不可避免地會受到容器壁和液體有限深度的影響。蘭登堡曾從實驗中總結(jié)出小球在圓筒形容器的液體中下落時受到的黏滯阻力的經(jīng)驗公式為[7]：

式（14）中：R0為圓筒的內(nèi)半徑；H為容器中液體的深度；vT為小球運動的末速度。

由于實驗中選擇的管子半徑比較小，會導(dǎo)致黏滯阻力相比于無限深廣的液體環(huán)境更大。這一過程可以等效于小球在一個黏滯阻力系數(shù)為的無限深廣的液體中運動。這里我們稱之為等效黏滯系數(shù)。這樣一來，之前得到的運動方程在實際的實驗環(huán)境中應(yīng)該表示為：

在式（15）中，

在實驗中，對于等效黏滯系數(shù)的測量，我們只需要讓小球在豎直放置的裝滿液體的管中自由下落，即θ＝0°，同時，測量其末速度的大小，此時，重力等于阻力，再通過式（13）（14）即可求得等效黏滯系數(shù)。結(jié)果如圖5所示。

圖5 小球在管中軸向位移隨時間的變化圖像

從圖5中可以看出，小球的實際運動與理論預(yù)測結(jié)果相符合，而且小球在較短的時間內(nèi)達到了勻速運動的狀態(tài)，這正是管子的尺寸所導(dǎo)致的有效黏滯系數(shù)遠大于液體黏滯系數(shù)這一事實的體現(xiàn)。但是，由于管徑大于小球，小球在其中的運動其實并不是直線運動。這是因為，小球有一時刻不再位于管中心，由于兩側(cè)的流速不同，壓強也不同，因此，會對小球產(chǎn)生擾動，使它在水平方向也有運動。受管長和其他因素的限制，本文未研究小球非沿管方向的運動。

2.2 不同角度放置的“管中球”運動的實驗驗證

本文選取了管與鉛垂線成不同角度、管子以不同轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動的幾種情況進行研究，實驗結(jié)果如圖6所示。在此需要注意的是，實驗中的轉(zhuǎn)動采用的是手動操作，所以，轉(zhuǎn)速的取值是整個運動過程中的平均值。

從圖6中可以看出，小球的實際運動與理論預(yù)測結(jié)果相符合，驗證了該理論的簡潔性和正確性。

圖6 不同傾斜角度下小球沿管方向的運動實驗與理論比對結(jié)果

3 結(jié)論與展望

本文討論了在一個充滿液體的管子中球的運動情況。經(jīng)過理論分析，得到了非慣性系中液體的壓強p（r）＝p（0）并在此基礎(chǔ)上分析出了球在沿任意傾角做錐面運動的液體管中的運動方程－Kr˙小球平衡位置隨系統(tǒng)轉(zhuǎn)速和管擺放傾角變化的關(guān)系，以及系統(tǒng)不轉(zhuǎn)動時、管子豎直放置時、小球密度與液體密度相同時3種特殊情境中小球的運動情況。另外，通過定量實驗，利用管子豎直放置時的實驗曲線測得了等效黏滯系數(shù)?；诖说刃юは禂?shù)，對不同角度放置的管子中球的運動進行了定量的實驗驗證，驗證了理論結(jié)果的合理性。

總的來說，通過對本問題的研究，我們?yōu)榉菓T性系中流體背景下剛體的運動建立了較好的理論框架，也通過實驗設(shè)計給出了研究這類問題的方案。特別要說，對于有限尺寸內(nèi)的流體系統(tǒng)，我們給出了一些重新定義的物理量，比如單位質(zhì)量黏滯力系數(shù)、等效黏滯系數(shù)等。這些量的引入為實驗測量和理論形式的化簡提供了方便，也便于我們理解該物理系統(tǒng)中多因素共同作用下的有效作用效果。當然，在實驗中我們也發(fā)現(xiàn)，由于流體的流動所導(dǎo)致的小球在流體中的一些異常運動現(xiàn)象，特別是在高速轉(zhuǎn)動的情況下，忽略流體的流場分布便會帶來較大的影響。在后續(xù)的研究中，我們期望引入流體在高速旋轉(zhuǎn)非慣性系中的動態(tài)分布對小球更多豐富的運動進行研究。