偏微分方程數(shù)值解法對比研究

高莉

【摘 要】構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的主要方法一般以偏微分方程為主，以便于解決科學(xué)工作中的各類問題。一般情況下，在構(gòu)建好模型的基礎(chǔ)上都需要借助一定的方法得出所需要的結(jié)果。這些數(shù)值方法主要包括有限差分法、有限元方法、有限體積法、修正方程分析、辛積分格式等。其中，應(yīng)用最為廣泛的有3種方法，分別是有限差分法、有限元方法、有限體積法。文章從應(yīng)用范圍、基本思路和解題步驟等方面對比這3種數(shù)值解法的異同。

【關(guān)鍵詞】有限差分法；有限元方法；有限體積法

【中圖分類號】O175 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674-0688（2018）02-0195-02

隨著社會進(jìn)步和科技發(fā)展，越來越多復(fù)雜的計算問題有待人類解決。在計算機(jī)沒有發(fā)明出來前，為了使得一些比較復(fù)雜的計算問題得到解決，許多科學(xué)家竭盡一生的精力進(jìn)行研究思考，傾注了大量的心血。因此，數(shù)值方法便以解決復(fù)雜問題為目的應(yīng)運(yùn)而生，而其中至關(guān)重要的一部分便是偏微分方程的數(shù)值解。例如，人們想要得到精準(zhǔn)的數(shù)據(jù)來預(yù)測天氣變化情況，就需要人工計算，但是需要求解成千上萬的偏微分方程組。工作量之大，耗時之長，需要消耗大量的人力腦力[1]。所以，這樣的方法很不現(xiàn)實。此時，偏微分方程的數(shù)值解就顯得非常重要了。而偏微分方程數(shù)值解中最重要的方法便是以下3種：有限差分法、有限元方法、有限體積法。對于任何一種數(shù)學(xué)問題的研究，我們在掌握它各種解決思路的同時，應(yīng)該更好地分辨每種解決方法之間細(xì)微的差別，以便對癥下藥，為今后可能遇到的數(shù)學(xué)問題尋找最佳的解決方法。

1 應(yīng)用范圍和基本思路不同

一個問題多種解決方法的本質(zhì)區(qū)別在于求解思想的差別，由于每種解決方法的求解思想不同，一些方法的基本思路由于更利于大眾接受而被廣泛利用，當(dāng)然不能排除一些因素，例如解決方法的適用范圍。另外，解題人的偏愛和解題方法操作的難易程度也會對偏微分方程數(shù)值解法的選擇產(chǎn)生影響。

1.1 有限差分法基本思路

應(yīng)用于計算機(jī)數(shù)值模擬最早的，可以說是有限差分法。一直到今天，該方法仍然被廣泛運(yùn)用。同其他方法相比，有限差分方法無疑是最年長、應(yīng)用范圍最廣，也是最有閱歷的。這種方法首先將需要求解的領(lǐng)域進(jìn)行分割，劃分為不同的網(wǎng)格。利用有限的網(wǎng)格節(jié)點來代替需要持續(xù)計算求解的領(lǐng)域。通過開展不同的方法，將網(wǎng)格節(jié)點上的不同數(shù)值間的差商來替代方程中的數(shù)值，進(jìn)行縮小，達(dá)到需求數(shù)值組建代數(shù)方程組的目的，并運(yùn)用包含可以計數(shù)的差分方程中的未知量，逐步接近并且漸漸產(chǎn)生可以代替的數(shù)值的微分方程和定解條件。同時，我們在差分方程求得的結(jié)果，可以作為所需求的近似解。接著，把以前方程中出現(xiàn)的微分和在邊界條件中出現(xiàn)的微分，使用差分來尋求近似。近似值也可以運(yùn)用到機(jī)械求積公式中，進(jìn)一步使其逐步運(yùn)用不同的條件轉(zhuǎn)化成為差分方程組。在有限差分法中，最簡便的方法就是把微分問題變成代數(shù)問題，進(jìn)一步求得近似值?？梢哉f，有限差分法是一種發(fā)展較早同時比較成熟的數(shù)值方法。

1.2 有限元方法基本思路

有限元方法的基本理論主要是變分原理和加權(quán)余量法。它主要是將所需計算的領(lǐng)域通過劃分，變成可以計數(shù)的并不重復(fù)的單元。在不同的單元內(nèi)，需求適合的節(jié)點作為插值點，最終得到一系列插值函數(shù)組成的線性表達(dá)方式。以主要理論為基礎(chǔ)，將微分方程分散求解，在選取了不同的數(shù)值以后，會形成不同的有限元方法。通過利用得到的線性組合不斷接近方程的精確值，所有計算域內(nèi)的解就能夠看成是由所有單元上的近似解組成的[2]。使用有限元法解題過程中，可以把求解域人為地分成許多有限元的小的、相互接近的子域組成。接著，假設(shè)一個比較簡單的近似值，針對所劃分的所有小單元，逐步地演算出這個領(lǐng)域需要的條件，進(jìn)而得到我們需要的答案。但是，求得的結(jié)果并不是精確值，而是近似的。總的來說，有限元法在計算精度上算是很高的，并且可以應(yīng)對各種不同復(fù)雜的形狀，是使用最多也是最有效的方法。這種方法最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)領(lǐng)域，隨著計算機(jī)技術(shù)的持續(xù)發(fā)展，逐漸可以應(yīng)用于流體力學(xué)領(lǐng)域。相信隨著科技的不斷發(fā)展，將衍生出更多、更便捷的方法來進(jìn)行計算，解決科學(xué)及工程中的問題。

1.3 有限體積法基本思路

有限體積法的另外一個名字是控制體積法。它主要是將所需要計算的區(qū)域分割成為一系列不重疊的可控制的體積。同時，不同網(wǎng)格點的四周都得到一個控制體積，接著運(yùn)用一定的方法將需要解決的方程進(jìn)行計算，得到一組離散方程。假如需要求出控制體積的積分，則設(shè)定假設(shè)值，并將其插入網(wǎng)格點間的分布剖面上。因此，可以得到有限體積法的基本方法就是子區(qū)域法。這種方法非常利于理解和認(rèn)識，同時可以直接應(yīng)用于實際。它最大的優(yōu)點就是可以達(dá)到令人滿足的守恒，就像是守恒原理。通過對有限差分法與離散方法進(jìn)行比較，可以看出有限體積法即使在粗網(wǎng)格的狀況下，依然能夠展示出精確的積分守恒，而有限差分法只能在網(wǎng)格特別細(xì)密時，離散方程才有條件符合積分守恒[3]。在實際生活中，不同的工程由于具體情況不同會產(chǎn)生各種復(fù)雜的狀況或者難于解決的問題。而使用有限體積法，面對許多復(fù)雜的問題，都能夠得到更好的解決方式，同時也可以更好地適應(yīng)網(wǎng)格。在進(jìn)行不同的分析時，可以與其他方法完美融合，比如有限元法。

2 解題步驟方面的不同

同樣的問題會產(chǎn)生不同的解決方法，在具體的解決過程中會產(chǎn)生不同的解題思路。由于每種解決方法的求解步驟不同，因此所利用的原理亦不同，產(chǎn)生的優(yōu)缺點也各不相同，進(jìn)而適用的范圍也不同。以下從不同解法出發(fā)，進(jìn)行詳細(xì)的闡釋，讓大家對偏微分方程數(shù)值解的不同方法有更為清晰、明確的認(rèn)識。

2.1 有限差分法解題步驟

在數(shù)學(xué)模型形成一定的系統(tǒng)之后，主要就是運(yùn)用此種方法求解。主要步驟可具體分為以下幾步：第一，區(qū)域離散。將在偏微分方程中得到的區(qū)域，通過方法分成含有可以計數(shù)的格點網(wǎng)格，即網(wǎng)格的節(jié)點。第二，近似代替。運(yùn)用所學(xué)的有限差分公式成為導(dǎo)數(shù)，能夠代替其中任何一個格點。第三，逼近求解。換句話說，即在求解的過程都可以認(rèn)為是使用一個插值多項式及其微分來代替其求解的過程。在一定意義上，以上方法可以在一定程度上達(dá)到使人滿意的計算精度。在不斷的求解過程中，方程中的數(shù)值解將不斷減小變量間格，或是求得近似的數(shù)值，使用離散點上的函數(shù)值。按照一定的理論，要想求得更加精確的數(shù)值，那么網(wǎng)格步長就要逐漸接近零。但是，人為或者機(jī)器計算是存在偏差的，所以說沒有必要一定取得特別小。此時，它的收斂性顯得尤為重要。例如，在二階偏微分方程中，都可以進(jìn)行相似的使用。在二階偏微分方程的一般形式中，包括某種特征的物理量也就是常說的連續(xù)函數(shù)。在A、B、C為具體數(shù)值時，會出現(xiàn)3個方程形式。分別是橢圓形方程、拋物型方程及雙曲型方程。不同的方程形式會解決不同的問題，同時還需要給出定界的3個不同條件。

2.2 有限元法解題步驟

偏微分方程中的有限元法在求解過程中，可以比較隨意的配置離散點，選取合適的數(shù)值和單元剖分密度，從而達(dá)到要求中的計算精確程度。具體運(yùn)用步驟如下：第一，剖分。首先把需要的區(qū)域進(jìn)行分裂，分割成為可以計數(shù)的要素集合。每一個小的單元，原則上形狀是可以隨意的。這樣可以使得計算更加簡便，結(jié)果更加準(zhǔn)確。一般情況下，二維問題通常使用的形狀為三角形或者是矩形；三維空間使用的則是多面體等。第二，單元分析。在分割的不同區(qū)域中，插入我們研究所得的數(shù)值，也就是說把任意單元中的任意點進(jìn)行展開計算，從而建立一個線性的插值函數(shù)。第三，求解近似變分方程。在可以計數(shù)的單元將連續(xù)體的數(shù)值進(jìn)行相應(yīng)縮小，提高計算的時空效率，同時分區(qū)域插值解決各種需要解決的問題。桿系結(jié)構(gòu)的形狀是一個桿件，而連續(xù)體的形狀可以是三角形、四邊形或者是六面體等[4]。不同的單元中，包含著一些可以計數(shù)的簡單函數(shù)。這些簡單函數(shù)集合是整個連續(xù)體函數(shù)的元素集合。接著，通過精確的計算，可以得到所需求的數(shù)值。現(xiàn)在，有限元法已經(jīng)應(yīng)用于各種大型或是專用程序。隨著時間的推移，有限元法也不斷衍生出更多解法，以便于解決更多問題。

2.3 有限體積法解題步驟

有限體積法易于人們理解和使用，并且可以得到合理的解釋。它的最大意義在于，使用有限體積法得到的離散方程，完美地體現(xiàn)了守恒性，就同在微分方程中因為不斷變化的量而產(chǎn)生不斷變小的體積的原理守恒是同樣的道理。同時，假設(shè)可以更具靈活性，解決了泰勒由于離散產(chǎn)生的一些缺點。其具體步驟如下：第一，在計算過程當(dāng)中，將需要計算的區(qū)域分割成為一連串的具有不重復(fù)的控制體積，使各個得以控制的體積都有一個作為代表的節(jié)點，把需要求出的方程在隨意的控制體積內(nèi)或是具體的時間間隔內(nèi)作積分。第二，提出不同的假設(shè)。面對需要求解的函數(shù)或?qū)?shù)，通過對它們的時間或空間的變化線做出可能的需要假設(shè)，進(jìn)一步提高計算的精準(zhǔn)度，達(dá)到所需要的數(shù)值，使得工程能夠得到更好的解決。第三，整理。對以上步驟中出現(xiàn)的一系列線型進(jìn)行類別劃分，作出不同的整理。總結(jié)出節(jié)點上不可知量的離散方程的形式。這樣得到的數(shù)值，最大限度滿足了守恒，數(shù)值更加精確，整個計算推導(dǎo)過程更加清晰。

參 考 文 獻(xiàn)

[1]龐娜.橢圓型偏微分方程反問題的數(shù)值解法[J].科技風(fēng)，2017（7）.

[2]王海林，徐珊，宋論兵，等.偏微分方程數(shù)值解法的研究[J].赤峰學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2012（18）.

[3]劉鳳楠.若干四階非線性偏微分方程的數(shù)值解法[D].長春：吉林大學(xué)，2017.

[4]王剛.一類非線性偏微分方程的數(shù)值解法[J].河南城建學(xué)院學(xué)報，2013（1）.