基于新二重積分不等式T睸模糊系統(tǒng)穩(wěn)定性分

趙鑫　林崇　劉煥霞

摘要： 針對(duì)時(shí)滯TS模糊系統(tǒng)時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性問(wèn)題，本文在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，結(jié)合模糊線積分Lyapunov泛函方法和更為先進(jìn)的一重積分不等式與新型雙重積分不等式，得到了保守性更低的非線性時(shí)滯系統(tǒng)時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性條件。構(gòu)建合適LyapunovKrasovskii泛函，運(yùn)用兩種積分不等式技術(shù)對(duì)泛函導(dǎo)數(shù)進(jìn)行處理，所得到的判定準(zhǔn)則一方面能獲得更大的時(shí)滯上界，降低了保守性；另外，相比完全Lyapunov泛函、時(shí)滯分割等方法減少了決策變量，為檢驗(yàn)本文結(jié)果的有效性和優(yōu)越性，通過(guò)2個(gè)數(shù)值例子進(jìn)行驗(yàn)證。驗(yàn)證結(jié)果表明，比現(xiàn)有成果所得到的穩(wěn)定性準(zhǔn)則面能獲得更大的時(shí)滯上界，減少了決策變量，而且降低了保守性和復(fù)雜度。該研究對(duì)時(shí)滯TS模糊系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法具有重要意義。

關(guān)鍵詞： 時(shí)滯TS模糊系統(tǒng)； 模糊線積分Lyapunov泛函； 積分不等式； 穩(wěn)定性分析

中圖分類(lèi)號(hào)： TP13； N941.1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

在現(xiàn)實(shí)生活中，大部分系統(tǒng)都是非線性的，但相比于對(duì)線性系統(tǒng)的分析與控制，對(duì)非線性系統(tǒng)的直接分析與控制要難得多。為解決此問(wèn)題，人們提出了基于模型的模糊邏輯控制策略，其中最為常用的是日本學(xué)者在1985年提出的TakagiSugeno模糊模型[1]（TS模糊模型）。基于此理論，非線性系統(tǒng)可以通過(guò)該模糊模型建立TS模糊系統(tǒng)。眾所周知，時(shí)滯現(xiàn)象大量存在于工業(yè)系統(tǒng)、通信系統(tǒng)、機(jī)械系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)及生態(tài)系統(tǒng)中，是系統(tǒng)不穩(wěn)定甚至振蕩的根源，并且經(jīng)常出現(xiàn)在工程系統(tǒng)中。因此，對(duì)時(shí)滯TS模糊系統(tǒng)的研究不僅具有理論上的重要性，也具有現(xiàn)實(shí)意義。目前，在研究時(shí)滯TS模糊系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題上，已經(jīng)有許多有效的成果出現(xiàn)。通常解決時(shí)滯TS模糊系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題采用LyapunovKrasovskii泛函方法，而在處理泛函導(dǎo)數(shù)的交叉項(xiàng)問(wèn)題上，常見(jiàn)的有完全Lyapunov泛函法[2]、積分不等式法[35，1112]、自由權(quán)矩陣法[6]、時(shí)滯分割法[7，18]等。本文基于線性矩陣不等式（linear matrix inequalities，LMI）方法，利用TS模糊模型方法，對(duì)非線性時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析進(jìn)行研究。采用更為先進(jìn)的一重積分不等式與新型雙重積分不等式，結(jié)合模糊線積分Lyapunov泛函方法[89]給出了非線性時(shí)滯系統(tǒng)時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性的判定準(zhǔn)則。同時(shí)，運(yùn)用Matlab軟件中的線性矩陣不等式（LMIs）工具包，對(duì)時(shí)滯TS模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性給出新的LMIs時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性判據(jù)進(jìn)行計(jì)算，并通過(guò)數(shù)值例子進(jìn)行驗(yàn)證，與文獻(xiàn)[2，1420]相比，本系統(tǒng)能獲得更大的時(shí)滯上界，降低了保守性，減少了決策變量，驗(yàn)證了該方法的有效性和優(yōu)越性。而且本文與文獻(xiàn)[14]相比，沒(méi)有引入自由權(quán)矩陣，進(jìn)一步減少了決策變量。該研究有助于解決非線性系統(tǒng)的分析與控制設(shè)計(jì)問(wèn)題。

1問(wèn)題描述

對(duì)于非線性系統(tǒng)，考慮具有r個(gè)模糊規(guī)則的時(shí)滯TS模糊模型進(jìn)行逼近。

模糊規(guī)則i：如果x1（t）是Fαi11，…，xn（t）是Fαinn，那么

（t）=Aix（t）+Aτix（t-τ）x（t）=φ（t），-τ≤t≤0（1）

其中，x（t）=[x1（t），x2（t），…，xn（t）]T∈Rn是狀態(tài)向量；Ai，Aτi是已知的系統(tǒng)常量；τ>0為常量；初始條件φ（t）是連續(xù)可微的向量函數(shù)。狀態(tài)是前提變量，針對(duì)第i個(gè)模糊規(guī)則，F(xiàn)αijj是基于xj的模糊集。

通過(guò)對(duì)式（1）進(jìn)行模糊融合，得到全局模糊模型為

（t）=A（x）x（t）+Aτ（x）x（t-τ）（2）

其中

A（x）=∑ri=1hi（x（t））Ai，Aτ（x）=∑ri=1hi（x（t））Aτi

這里，hi（x（t））是模糊規(guī)則i的隸屬函數(shù)，且

hi（x（t））=∏nj=1μαijj（xj（t）），μαijj（xj（t））=wαijj（xj（t））∑rjαij=1wαijj（xj（t））

其中，wαijj（xj（t））是模糊集Fαijj的隸屬度函數(shù)。μαijj（xj（t））滿足如下條件

0≤μαijj（xj（t））≤1，∑rjαijμαijj（xj（t））=1

進(jìn)而

0≤hi（x（t））≤1，∑ri=1hi（x（t））=1

本文利用模糊線積分Lyapunov泛函法，解決系統(tǒng)（2）的穩(wěn)定性問(wèn)題。

2準(zhǔn)備知識(shí)

定義1[10]（lie導(dǎo)數(shù)）設(shè)h（x）：Rn→R是一個(gè)光滑的標(biāo)量函數(shù)，g（x）：Rn→Rn是一個(gè)光滑的向量場(chǎng)，h（x）關(guān)于g（x）的lie導(dǎo)數(shù)定義為

Lgh（x）=Δh（x）g（x），其中Δh（x）=hx

如果，V（x）是Lyapunov泛函關(guān)于系統(tǒng)（2），則V（x）關(guān)于系統(tǒng)（2）=g（x）的lie導(dǎo)數(shù)為L(zhǎng)gV（x）=ΔV（x）g（x）=ΔV（x）。

引理1[11]對(duì)于矩陣R∈Rn×n>0，標(biāo)量a和b滿足b>a，以及連續(xù)可微函數(shù)x（t），使如下積分不等式成立，即

（b-a）∫ba（s）R（s）ds≥[ΩT1ΩT2ΩT3]R3R5RΩ1Ω2Ω3（3）

其中

Ω1=x（b）-x（a）， Ω2=x（b）+x（a）-2b-a∫bax（s）dsΩ3=x（b）-x（a）+6b-a∫bax（s）ds-12（b-a）2∫ba∫bux（s）dsdu

引理2[12]對(duì)于矩陣R∈Rn×n>0，標(biāo)量b>a，對(duì)于連續(xù)可微函數(shù)x（t），使如下不等式成立，即

∫ba∫buT（s）R（s）dsdu≥T1T2T32R4R6R123（4）

其中

1=x（b）-1b-a∫bax（s）ds， 2=x（b）+2b-a∫bax（s）ds-6（b-a）2∫ba∫bux（s）dsdu3=x（b）-3b-a∫bax（s）ds+24（b-a）2∫ba∫bux（s）dsdu-60（b-a）3∫ba∫bu∫bsx（r）drdsdu

本文為避免隸屬函數(shù)求導(dǎo)，采用模糊線積分Lyapunov泛函方法[9]，研究系統(tǒng)（2）的穩(wěn)定性問(wèn)題。構(gòu)造一個(gè)增廣LyapunovKrasovskii泛函，即

V（xt）=V1（xt）+V2（xt）（5）

其中，V1（xt）是一個(gè)模糊線性積分Lyapunov函數(shù)，即

V1（xt）=2∫Γ（0，x）f（ψ）dψ（6）

式中，Γ（0，x）是系統(tǒng)初始狀態(tài)到當(dāng)前狀態(tài)x的路徑；ψ∈Rn是虛擬積分向量，dψ∈Rn是微小位移向量；其中，f（x）∈Rn是x的向量函數(shù)，擁有相同的模糊規(guī)則和隸屬函數(shù)和模糊模型。

對(duì)于模糊規(guī)則i：如果x1（t）是Fαi11，…，xn（t）是Fαinn，則

f（xt）=ix（t）（7）

式中，i∈Rn是正定矩陣，且滿足

i=+Di=0p12…p1np120…p2np1np2n…0，Di=dαi1110…00dαi211…000…dαin11（8）

由式（8）可以看出，i的對(duì)角元素根據(jù)基于前提變量的模糊集的模糊規(guī)則不同而變化，非對(duì)角元素對(duì)稱相等。

對(duì)以上模糊向量進(jìn)行融合，得以下全局模糊向量為

f（x（t））=∑ri=1hi（x）ix（t）（x）x（t）（9）

另外，V2（xt）選取泛函形式為式（9），即

V2（xt）=βT（t）Pβ（t）+∫tt-τxT（s）Qx（s）ds+τ∫tt-τ∫tuT（s）S（s）dsdu+∫tt-τ∫tu∫tsT（r）R（r）drdsdu（10）

其中，

β（t）=xT（t）∫tt-τxT（s）ds∫tt-τ∫tuxT（s）dsdu∫tt-τ∫tu∫tsxT（r）drdsduT；

P∈R4n×4n，且P>0，Q>0，S>0，R>0，為適當(dāng)維數(shù)的矩陣。

3主要結(jié)果

本文由增廣的LyapunovKrasovskii泛函（5）可知，V（xt）是正定的。因此，選取V（xt）作為候選的Lyapunov泛函，運(yùn)用引理1和引理2，可得以下結(jié)果：

定理1對(duì)于給定的標(biāo)量τ>0，系統(tǒng)（2）漸進(jìn)穩(wěn)定的充分條件是存在P∈R4n×4n，且P>0，n×n的矩陣Q>0，S>0，R>0及j>0（如（8）式定義）（i=1，2，…，r），使如下LMIs成立，即

Ξii<0（11）

Ξij+Ξji<0（12）

其中

Ξij=sym（eT0je1）+sym（ΠT1PΠ2）+eT1Qe1-eT2Qe2+τ2eT0Se0-ΠT3SΠ3-3ΠT4SΠ4-5ΠT5SΠ5+τ22eT0Re0-2ΠT6RΠ6-4ΠT7RΠ7-6ΠT8RΠ8（13）

其中

e0=Aie1+Aτie2，Π1=[eT1，eT3，eT4，eT5]T，Π2=[eT0，eT1-eT2，τeT1-eT3，τ22eT1-eT4]TΠ3=e1-e2，Π4=e1+e2-2τe3，Π5=e1-e2+6τe3-12τ2e4Π6=e1-1τe3，Π7=e1+2τe3-6τ2e4，Π8=e1-3τe3+24τ2e4-60τ3e5

其中，ei=[0n×（i-1）nIn0n×（6-i）n]∈Rn×5n，i=1，2，…，5。

證明選取式（5）中的Lyapunov泛函V（xt），由上述可知，V（xt）是正定的。下面證明LMIs（11）、（12）保證（xt）<0。通過(guò)上述lie導(dǎo)數(shù)的定義1和式（9）可知

1（xt）=ΔV1（xt）（t）=2fT（x（t））（t）=2xT（t）（x）（t）（14）

另外，對(duì)V2（xt）關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo)，為了方便，將V2（xt）寫(xiě)成

V2（xt）=1+2+3+4

1=βT（t）Pβ（t），2=∫tt-τxT（s）Qx（s）ds3=τ∫tt-τ∫tuT（s）S（s）dsdu，4=∫tt-τ∫tu∫tsT（r）R（r）drdsdu

令

ξ（t）=xT（t）xT（t-τ）∫tt-τxT（s）ds∫tt-τ∫tuxT（s）dsdu∫tt-τ∫tu∫tsxT（r）drdsduT

其中

1=2T（t）Pβ（t）=ξT（t）sym（ΠT1PΠ2）ξ（t）（15）

2=xT（t）Qx（t）-xT（t-τ）Qx（t-τ）=ξT（t）（eT1Qe1-eT2Qe2）ξ（t）（16）

3=τ2T（t）S（t）-τ∫tt-τT（s）S（s）ds（17）

4=τ22T（t）R（t）-∫tt-τ∫tuT（s）R（s）dsdu（18）

對(duì)式（16）中的-τ∫tt-τT（s）S（s）ds項(xiàng)，根據(jù)引理1，可得

-τ∫tt-τT（s）S（s）ds≤ξT（t）-ΠT3SΠ3-3ΠT4SΠ4-5ΠΤ5SΠ5ξ（t）（19）

對(duì)（17）式中的-∫tt-τ∫tuT（s）R（s）dsdu項(xiàng)，根據(jù)引理2，可得

-∫tt-τ∫tuT（s）R（s）dsdu≤ξT（t）-2ΠT6RΠ6-4ΠT7RΠ7-6ΠT8RΠ8ξ（t）（20）

對(duì)式（14）～式（20）進(jìn)行整理后，得

（xt）≤ξT（t）{sym（eT0（x）e1）+sym（ΠT1PΠ2）+eT1Qe1-eT2Qe2+τ2eT0Se0-ΠT3SΠ3-3ΠT4SΠ4-5ΠT5SΠ5+τ22eT0Re0-2ΠT6RΠ6-4ΠT7RΠ7-6ΠT8RΠ8}ξ（t）=ξT（t）Ξξ（t）

其中

Ξ=∑ri=1∑rj=1hi（x）hj（x）Ξij=∑ri=1h2i（x）Ξii+∑ri

進(jìn)而，通過(guò)對(duì)模糊模型的解模糊，可得式（11）和式（12）成立，則（xt）<0。因此，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，可得系統(tǒng)（1）穩(wěn)定。

注1通過(guò)運(yùn)用更有效的一重積分不等式（引理1）和新型二重積分不等式（引理2）在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，得到了保守性更低的時(shí)滯相關(guān)漸進(jìn)穩(wěn)定的充分條件。通過(guò)數(shù)值例子計(jì)算對(duì)比，該條件能夠獲得更好結(jié)果，且與文獻(xiàn)[9]比，本文去除了自由權(quán)矩陣的引入，降低了保守性。

4數(shù)值例子

本節(jié)通過(guò)兩個(gè)數(shù)值實(shí)例，與文獻(xiàn)[2，7，9，1318]中的方法進(jìn)行比較，說(shuō)明本文結(jié)果的有效性和優(yōu)越性。

例1對(duì)于多篇文獻(xiàn)廣泛研究的時(shí)滯TS模糊系統(tǒng)，其中

A1=-2101-02-09，A2=-190-02-11，Aτ1=-1101-08-09，Aτ2=-090-11-12

考慮以上具有兩個(gè)模糊規(guī)則的數(shù)值算例，系統(tǒng)（2）漸進(jìn)穩(wěn)定時(shí)，時(shí)滯上限最大容許的τ值如表1所示。由表1可以看出，定理1的結(jié)果優(yōu)于文獻(xiàn)[2，7，9，13，1516，18]的結(jié)果，此外相比較文獻(xiàn)[7]采用的時(shí)滯分割方法和完全Lyapunov泛函方法[2]，充分說(shuō)明了本文方法的有效性和優(yōu)越性。

例2對(duì)于多篇文獻(xiàn)廣泛研究的時(shí)滯TS模糊系統(tǒng)，其中

A1=-200-09，A2=-1050-1，

Aτ1=-10-1-1，Aτ2=-10-01-1

考慮以上具有2個(gè)模糊規(guī)則的數(shù)值算例，最大容許的時(shí)滯上限τ值如表2所示，由表2可以看出，定理1的結(jié)果優(yōu)于文獻(xiàn)[2，9，14，1718]且文獻(xiàn)[18]采用了輸入輸出方法和時(shí)滯分割法，說(shuō)明定理1的穩(wěn)定性條件能夠獲得保守性更低的結(jié)果。

5結(jié)束語(yǔ)

本文主要利用TS模糊模型方法，對(duì)非線性時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析進(jìn)行相應(yīng)的研究。較與文獻(xiàn)[9]相比，采用更先進(jìn)的一重積分不等式和新型二重積分不等式，并結(jié)合模糊線積分Lyapunov泛函方法，給出了保守性更低的非線性時(shí)滯系統(tǒng)時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性的判定準(zhǔn)則。通過(guò)兩個(gè)經(jīng)典的數(shù)值算例進(jìn)行驗(yàn)證，與文獻(xiàn)[2]、[7]和[18]的完全Lyapunov泛函方法、時(shí)滯分割方法和輸入輸出方法相比，降低了保守性和復(fù)雜度。該方法可以應(yīng)用到以后的反饋鎮(zhèn)定、控制器設(shè)計(jì)中，是本文以后的研究方向。

參考文獻(xiàn)：

[1]Takagi T， Sugeno M. Fuzzy Identification of Systems and its Applications to Modeling and Control[J]. IEEE Transactions on Systems， Man and Cybernetic， 1985， 15： 116132.

[2]Mozelli L A， Souza F O， Palhares R M. A New Discretized LyapunovKrasovskii Functional for Stability Analysis and Control Design of TimeDelayed TS Fuzzy Systems[J]. International Journal of Robust Nonlinear Control， 2011， 21（1）： 93105.

[3]Seuret A， Gouaisbaut F. WirtingerBased Integral Inequality： Application to TimeDelay Systems[J]. Automatica， 2013， 49（9）： 28602866.

[4]張冬梅， 俞立. 線性時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析綜述[J]. 控制與決策， 2008， 23（8）： 841849.

[5]趙占山， 李曉蒙， 張靜， 等. 一類(lèi)時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析[J]. 控制與決策， 2016， 31（11）： 20902094.

[6]Zeng H B， He Y， Wu M， et al. FreeMatrixBased Integral Inequality for Stability Analysis of Systems with TimeVarying Delay[J]. IEEE Transactions on Automatic Control， 2015， 60（10）： 27682772.

[7]Zhao Y， Gao H， Lam J， et al. Stability and Stabilization of Delayed TS Fuzzy Systems： a Delay Partitioning Approach[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems， 2009， 17（4）： 750762.

[8]Rhee B J， Won S. A New Fuzzy Lyapunov Function Approach for a TakagiSugeno Fuzzy Control System Design[J]. Fuzzy Sets & Systems， 2006， 157（9）： 12111228.

[9]Zhang Z Y， Lin C， Chen B. New Stability and Stabilization Conditions for TS Fuzzy Systems with Time Delay[J]. Fuzzy Sets and Systems， 2015， 263（c）： 8291.

[10]Lo J C， Zhang C M. Relaxation Analysis Via Line Integral[C]∥Proceedings of the 2009 IEEE International Conference on Fuzzy Systems. Jeju Island， Korea： IEEE， 2009： 12641269.

[11]Park P G， Lee W I， Lee S Y. Auxiliary FunctionBased Integral Inequalities for Quadratic Functions and Their Applications to TimeDelay Systems[J]. Journal of the Franklin Institute， 2015， 352： 13781396.

[12]Zhao N， Lin C， Chen B， et al. A New Double Integral Inequality and Application to Stability Test for TimeDelay Systems [J]. Applied Mathematics Letters， 2017， 65： 2631.

[13]Guan X P， Chen C L. DelayDependent Guaranteed Cost Control for TS Fuzzy Systems with Time Delays[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems， 2004， 12（2）： 236249.

[14]Tian E， Peng C. DelayDependent Stability Analysis and Synthesis of Uncertain TS Fuzzy Systems with TimeVarying Delay[J]. Fuzzy Sets Systems， 2006， 157（4）： 544559.

[15]Wu H N， Li H X. New Approach to DelayDependent Stability Analysis and Stabilization for ContinuousTime Fuzzy Systems with TimeVarying Delay[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems， 2007， 15（3）： 482493.

[16]Yoneyama J. New DelayDependent Approach to Robust Stability and Stabilization for TakagiSugeno Fuzzy TimeDelay Systems[J]. Fuzzy Sets Systems， 2007， 158（20）： 22252237.

[17]Chen P， Tian Y C， Tian E. Improved DelayDependent Robust Stabilization Conditions of Uncertain TS Fuzzy Systems with TimeVarying Delay[J]. Fuzzy Sets Systems， 2008， 159（20）： 27132729.

[18]Zhao L， Gao H， Karimi H R. Robust Stability and Stabilization of Uncertain TS Fuzzy Systems with TimeVarying Delay： An InputOutput Approach[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems， 2013， 21（5）： 883897.